勾股定理易錯點精練

王雪潔

勾股定理是初中數學中非常重要的定理. 在學習勾股定理之前，求邊時要根據邊元素的已知條件，求角時必須知道角元素，邊角之間好像毫無關系，而有了勾股定理，我們就可以通過邊求角，通過角求邊. 如此“逆天”的定理，同學們應該好好地盤點一下它的易錯點.

一、考慮不全漏解

例1 若一個直角三角形的三邊長分別為 a，b，c ，且a2 = 9，b2 = 16，則c2為 .

解析：受慣性思維影響，許多同學習慣性地認為a2 + b2 = c2，卻忽略了∠B和∠C都有可能是直角. 當∠C為直角時，c2 = a2 + b2 = 9 + 16 = 25；當∠B為直角時，c2 = b2 - a2 = 16 - 9 = 7. 故應填25或7.

二、忽略定義要求

例2 下列各組數能構成勾股數的是（ ）.

A. 6，8，10 B. 1.5，2，2.5 C. 7，8，15

解析：勾股數的定義有兩個方面的要求：一是滿足勾股定理，二是所有數據都是正整數. 故應選A.

總的來說，勾股定理是形題數解的主要工具，形式比較簡單，只要注意基本定義和分類討論即可. 其易錯點還有可能出在與其他知識點的結合上，因此要靈活運用勾股定理.

三、與其他知識點結合時易錯

1. 與圓面積結合

例3 如圖1，在△ABC中，∠ACB = 90°，將其繞點B順時針旋轉一周，則分別以BA，BC為半徑的圓形成一個圓環（陰影部分），為求該圓環的面積，只需測量一條線段的長度即可，這條線段是（ ）.

A. AD B. AB

C. AC ? ? D. BD

解析：根據題意可知圓環的面積 = π·AB2 - π·BC2 = π（AB2 - BC2）. 在Rt△ABC中，根據勾股定理得到AC2 = AB2 - BC2，因而只要知道AC的長即可. 故應選C.

2. 與全等結合

例4 如圖2，在等腰直角三角形[ABC]與等腰直角三角形[DAE]中，[∠BAC=∠DAE=90°]，[AB=AC=2]，[AD=AE=1]，則[BD2+CE2]等于（ ）.

A. 9? ? ? B. 11

C. 10? ? D. 12

解析：連接CD，BE，交于點F，易證△CAD≌△BAE，可得CD⊥BE，根據勾股定理可得BF2 + CF2 = BC2，DF2 + EF2 = DE2，BC2 = AB2 + AC2 = 8，DE2 = AD2 + AE2 = 2，則BD2 + CE2 =10. 故應選C.

3. 與軸對稱結合

圖形的運動只改變圖形的位置，不改變圖形的形狀、大小，運動前后的兩個圖形全等. 翻折就具備這樣的特點. 如圖3，將△ABC沿AD翻折，使點C落在AB邊上的點C'處，則△ADC≌△ADC'.

例5 嘗試解決：（1）如圖4，在△ABC中，∠C = 90°，AC = 6，BC = 8，將△ABC沿AD翻折，使點C落在AB邊上的點C'處，求CD的長. （2）如圖5，在長方形ABCD中，AB = 8，AD = 6，點P在邊AD上，連接BP，將△ABP沿BP翻折，使點A落在點E處，PE，BE分別與CD交于點G，F，且DG = EG. ①求證：PE = DF；②求AP的長.

解析：（1）利用勾股定理求AB，由翻折及三角形全等的性質得到AC = AC' = 6，BC' = AB - AC' = 10 - 6 = 4，再利用勾股定理求出CD = 3；（2）①由翻折可知△PAB≌ △PEB，根據“ASA”證明△DPG≌△EFG，即可得出結論；②先將BF，CF分別用PA表示出來，再根據勾股定理即可求出PA = [24/5].

（作者單位：沈陽市第一四五中學）