勾股定理在實際生活中的應用

曹洪

勾股定理及其逆定理是幾何學中一顆光彩奪目的明珠，其應用十分廣泛，被譽為“幾何學的基石”. 現舉例說明其在實際生活中的應用，供同學們參考學習.

一、是否合格

例1 圖1是一農民建房時挖的地基平面圖，按標準應為長方形，他挖完地基后測量了一下，發現AB = DC = 8 m，AD = BC = 6 m，AC = 9 m，請你幫他看一下他挖的地基是否合格.

解析：要判斷地基是否合格，就要看他挖的四邊形的四個角是否都是直角. 在? ?△ADC中，AD2 + DC2 = 62 + 82 = 100，AC2 = 92 = 81，∴AD2 + DC2 ≠ AC2，∴△ADC不是直角三角形，∴∠ADC不是直角. 因此，該農民挖的地基不合格.

二、飛行多遠

例2 如圖2，有兩棵樹，一棵高10米，另一棵高4米，兩樹相距8米. 一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，這只小鳥至少飛行（ ）.

A. 8米  ? B. 10米? ? C. 12米? ? D. 14米

解析：作AB⊥BC于點B，連接AC，如圖2.

根據題意可得BC = 10 - 4 = 6（米），AB = 8米.

在Rt△ABC中，∠ABC = 90°，

∴AC2 = AB2 + BC2 = 82 + 62 = 100.

∵AC > 0，∴AC = 10. 故選B.

三、水有多深

例3 《九章算術》中有一道“引葭赴岸”問題：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊，問水深、葭長各幾何？”題意是：有一個池塘，其地面是邊長為10尺的正方形，一棵蘆葦AC生長在它的中央，高出水面部分BC為1尺，如果把該蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，那么蘆葦的頂部C恰好碰到岸邊的C'處（如圖3），水深和蘆葦長各多少尺？則該問題的水深是__________尺.

解析：如圖3，設蘆葦長AC = AC' = x尺，則水深AB = （x - 1）尺.

∵C'E = 10尺，∴C'B = 5尺.

在Rt△AC'B中，由勾股定理可得方程52 + （x - 1）2 = x2，解得x = 13，

即蘆葦長13尺，則水深為12尺. 故應填12.

四、巷有多寬

例4 如圖4，小巷左右兩側是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時，梯子底端到左墻角的距離為0.7米，頂端距離地面2.4米，如果保持梯子底端位置不動，將梯子斜靠在右墻，頂端距離地面2米，則小巷的寬度為（ ）.

A. 0.7米 B. 1.5米

C. 2.2米 D. 2.4米

解析：先求出AB2，即得到A'B2，再求出BD，由CD = BC + BD即可得結論.

∵∠ACB = 90°，BC = 0.7，AC = 2.4，∴AB2 = 0.72 + 2.42 = 6.25.

∵A'B = AB，∴A'B2 = AB2.

∵∠A'DB = 90°，A'D = 2，BD2 + A'D2 = A'B2，∴BD2 + 22 = 6.25，∴BD2 = 2.25.

∵BD > 0，∴BD = 1.5，∴CD = BC + BD = 0.7 + 1.5 = 2.2（米）. 故選C.

五、路有多短

例5 如圖5，透明的圓柱形容器（容器厚度忽略不計）的高為12 cm，底面周長為10 cm，在容器內壁離容器底部3 cm的點B處有一飯粒，此時一只螞蟻正好在容器外壁，且離容器上沿3 cm的點A處，則螞蟻吃到飯粒須爬行的最短路徑是__________cm.

解析：如圖6，將容器側面展開，作點A關于EF的對稱點A'，連接A'B，根據兩點之間線段最短可知，A'B的長度即為螞蟻吃到飯粒需爬行的最短距離.

過點A'作A'D⊥BD，∵高為12 cm，底面周長為10 cm，點B在容器內壁離容器底部3 cm處，螞蟻在容器外壁離容器上沿3 cm的點A處，∴A'D = 5 cm，A'E = AE = 3 cm，BD = 12 - 3 + A'E = 12 （cm），A'B2 = A'D2 + BD2 = 52 + 122 = 169 = 132.

∵A'B > 0，∴A'B = 13 cm，即螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路徑是13 cm.

分層作業

難度系數：★★★ 解題時間：3分鐘

在一棵樹的10米高處有兩只猴子，一只猴子爬下樹走到離樹20米處的池塘的A處. 另一只爬到樹頂D處后直接躍到A處，距離以直線計算，如果兩只猴子所經過的距離相等，求這棵樹高多少米. （答案見第39頁）

（作者單位：江蘇省興化市楚水初級中學）