多邊形內角和問題之化繁為簡

夏明

求解多邊形內角和問題，可將其轉化成三角形內角和的知識，使復雜問題簡單化．

真題呈現

例1 （2022·四川·攀枝花）同學們在探索“多邊形的內角和”時，利用了“三角形的內角和”. 請你在不直接運用結論“n邊形的內角和為（n - 2）·180°”計算的條件下，利用“一個三角形的內角和等于180°”，結合圖形說明：五邊形ABCDE的內角和為540°．

解析：如圖1，連接AD，AC，把五邊形ABCDE的內角和轉化為△AED，△ADC，△ABC的內角和即可，則五邊形ABCDE的內角和為540°．

變式演練

例2 閱讀材料：多邊形上或內部的一點與多邊形各頂點的連線，將多邊形分割成若干個小三角形. 圖2給出了四邊形的具體分割方法，分別將四邊形分割成了2個、3個、4個小三角形. 請你按照上述方法將圖3中的六邊形進行分割，并寫出得到的小三角形的個數．試把這一結論推廣至n邊形．

解析：圖2①是從一個頂點出發作所有對角線，對其進行分割；圖2②是連接其中一邊上的一個點和各個頂點，對其進行分割；圖2③是連接內部的任意一點和多邊形的各個頂點，對其進行分割. 根據上述方法對圖3分別進行分割，如圖4所示，所分割成的三角形的個數分別是4個、5個、6個．

結合兩組特殊圖形，可以發現：第一種分割法把n邊形分割成了（n - 2）個三角形；第二種分割法把n邊形分割成了（n - 1）個三角形；第三種分割法把n邊形分割成了n個三角形．

例3 如圖5①所示，已知一個五角星ABCDE．（1）求∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E的度數．（2）如圖5②所示，如果點B向下移動到AC上，求∠A + ∠EBD + ∠C + ∠D + ∠E的度數．（3）如果點B繼續向下，移到AC的另一側，如圖5③所示，（2）中的結果還成立嗎？如果成立，請說明理由；如果不成立，請求出它的值． [A][B][G][C][H][F][E] [1][2][A][B][C][H][F][D][G][E][B][C][G][I][F][H][D][E][A][D][圖5][①][②][③]

解析：（1）如圖5①，∵∠BJF = ∠C + ∠E，∠BFJ = ∠A + ∠D，

又∵∠B + ∠BFJ + ∠BJF = 180°，∴∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E = 180°.

（2）如圖5②，∵∠A + ∠C = ∠DFH，∠EBD + ∠E = ∠DHF，

又∵∠DFH + ∠D + ∠DHF = 180°，∴∠A + ∠C + ∠EBD + ∠E + ∠D = 180°.

（3）結果仍成立.

理由：如圖5③，∵∠B + ∠D = ∠2，∠A + ∠C = ∠1，∠1 + ∠2 + ∠E = 180°，∴∠B + ∠D + ∠A + ∠C + ∠E = 180°.故結論都成立．

分層作業

難度系數：★★★ 解題時間：2分鐘

數學課上，老師在組織同學們探索多邊形的內角和公式時，同學們提出了將此問題轉化為已學的三角形內角和知識進行探索的思路. 圖6是四名同學探索多邊形內角和公式時運用的不同的分割方法，將多邊形轉化為多個三角形，并得出了相同的結論. 這四名同學在探索過程中主要體現的數學思想是（ ）．

A. 建模思想? B.分類討論思想? ? C.數形結合思想 D. 轉化思想

（作者單位：大連市第七十一中學）