“雙線”并進提升學生的核心素養

李俊強

【摘要】本文呈現人教版高中數學教材必修第一冊第三章“函數的概念與性質”第2節“函數的基本性質”“單調性與最大（小）值”一課的教學片段，從教學目標、教學策略、概念辨析過程、教學組織以及其他細節等五個方面進行評析，為高中數學教師“雙線”并行推進概念教學、發展學生數學學科核心素養提供范例。

【關鍵詞】函數單調性 函數最值 數學建模 高中數學 核心素養

【中圖分類號】G63 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2023）23-0079-04

中國教育學會中學數學教學專業委員會主辦的第十一屆高中青年數學教師課例展示活動于2022年12月落下帷幕，廣西籍參展選手王學建老師執教的“單調性與最大（小）值”一課因其具備“明暗雙主線”教學特點，給筆者留下了深刻的印象，本文呈現課例片段并進行評析，旨在為教師教學提供范例。

一、課例片段

“單調性與最大（小）值”為人教版高中數學教材必修第一冊第三章“函數的概念與性質”第2節“函數的基本性質”的內容。

（一）提出問題，建立模型

引導語：“詩圣”杜甫在《望岳》一詩中寫道，“會當凌絕頂，一覽眾山小”。這句詩描繪了山頂的絕妙風景。周末我們去爬山，想在山的最高處拍一張合照，請問哪里是山的最高處（如圖1所示）？

問題1：我們如何判斷到達了山的最高處？

師生活動：教師利用多媒體創設真實的情境，追問學生判斷最高處的依據，引導學生用數學的觀點描述問題。學生觀察發現，可以將山的輪廓抽象為函數圖象，水平位移是自變量，海拔高度是函數值，山頂可以抽象為函數圖象的最高點，山頂的海拔高度可以抽象為函數的最大值。學生自主建模，教師板書標題，引出研究的問題。

（二）形成概念，研究模型

問題2：如何求函數的最大（小）值？請舉例說明。

師生活動：教師引導學生舉出具體的例子，并追問學生。如學生舉例“f（x）=-x2的最大值為0”，教師追問“為什么0是這個函數的最大值？”

預設：從圖象上看，f（x）=-x2是開口向下的二次函數，頂點坐標為（0，0），即在對稱軸處取到最大值0；從解析式上看，-x2恒不大于0，則最大值為0。

教師活動：教師利用GeoGebra動態演示函數圖象上動點縱坐標的變化情況，引導學生明確最大值的本質特征。從函數圖象上看，任意一點的縱坐標都不超過最高點的縱坐標；從函數要素上看，該函數的所有函數值都不大于函數的最大值。

問題3：你能否用數學語言刻畫函數y=f（x）的最大（小）值？

師生活動：教師引導學生將上述特例推廣到一般情形，學生先獨立思考或小組討論，然后組織全班交流。教師根據學生的回答，引導學生用符號語言表示“任意”“所有”“不超過”“不大于”等意義，啟發學生明確先要給出函數y=f（x）的定義域為I，存在一個實數M，引導學生說出“（1）[?]x∈I，都有f（x）≤M；（2）[?]x0∈I，使得f（x0）=M”。教師總結“這里借助符號語言，給出了最大值M是最大的函數值的本質特征，兩個條件缺一不可，條件與結論互為充要條件”。

教師追問：你能仿照函數最大值的定義，給出函數y=f（x）最小值的定義嗎？

師生活動：教師引導學生明確任意函數值都不小于最小值，學會用類比的方法獲得最小值的概念。

（三）深化概念，明確模型特征

函數的最大值與最小值統稱函數的最值。注意到定義中的第二個條件，最大（小）值是其中一個函數值，因此函數最大（小）值的定義還可以有以下表述。

①如果有x0∈I，使得不等式f（x）≤f（x0）對一切x∈I成立，就說f（x）在x=x0處取到最大值M=f（x0），稱M為f（x）的最大值，x0為f（x）的最大值點。

②如果有x0∈I，使得不等式f（x）≥f（x0）對一切x∈I成立，就說f（x）在x=x0處取到最小值N=f（x0），稱N為f（x）的最小值，x0為f（x）的最小值點。

師生活動：教師引導學生注意定義中的關鍵詞，給出函數最值定義的另一種表述。引導學生理解函數最大（小）值是整個定義域上的整體性質。

問題4：是不是所有的函數都有最大（小）值？請舉例。

師生活動：學生先獨立思考，再集體交流。學生容易舉出一次函數、二次函數的例子，教師引導學生根據定義說明函數有無最值的原因。教師提醒學生，函數的表示方式有三種，即解析法、圖象法、列表法，讓學生展開討論，嘗試用不同的方法表示函數。學生通過投影展示所舉例子，教師再進行補充，全班討論交流最值存在與否的情況。

教師追問：函數取到最大（小）值時，x的取值可能有多少個？

師生活動：教師引導學生觀察前面的例子，容易發現x的取值個數可能是1個、2個、3個……甚至是無數個，教師要求學生舉出“無數個”的例子。學生可能舉出周期函數的例子，教師利用GeoGebra畫圖進行驗證。

問題5：如何說明定義中的“任意性”？

師生活動：教師引導學生明確說明“任意性”的困難，理論上需要將所有函數值無一例外地逐個比較，但這顯然是難以執行的。教師引導學生利用函數單調性的本質特征來說明，讓學生明確函數單調性描述了隨著自變量的變化，函數值在增大或者減小，正好是比較函數值的大小，因此可以先證明單調性再求最值。教師通過多媒體展示課本例5，引導學生通過具體的例子來說明。

［2，6］，求函數的最大值和最小值。

師生活動：教師引導學生明確以下兩點。1.利用定義證明單調性的五個步驟：取值、作差、變形、定號、得出結論。2.結合圖象，指出函數f（x）在閉區間［a，b］上的最值與單調性的聯系（如表1所示）。

（四）應用探索，運用模型

例2（課本第80頁例4）“菊花”煙花是最壯觀的煙花之一。制造時一般是期望在它達到最高點時爆裂。如果煙花距地面的高度h（單位：m）與時間t（單位：s）之間的關系為h（t）=-4.9t2+14.7t+18，那么煙花沖出去后什么時候是它爆裂的最佳時刻？這時距地面的高度是多少（精確到1 m）？

師生活動：學生先獨立思考“爆裂的最佳時刻”的含義，建立實際意義與函數最大值的聯系。教師強調解答實際問題時要注意定義域的實際意義，引導學生根據函數圖象得到函數的最大值。

解法2：開口向下的拋物線，函數在對稱軸左邊區間單調遞增，在對稱軸右邊區間單調遞減。先說明二次函數的單調性，可得最大值在對稱軸處取到。

師生活動：實際問題的數據一般不是很簡潔的，且運算量也比較大，教師通過板書，引導學生關注數據的特征，通過運用適當的運算律簡化運算。

（五）歸納小結，回顧思路

教師呈現下列問題。

1.本節課從哪些方面研究了函數的最大（小）值？

2.你認為本節課知識產生的主要過程是什么？

師生活動：學生獨立思考后作答，教師再進行歸納。

（六）目標檢測設計（略）

二、課例評析

執教教師“明暗”雙線并行推進地進行教學設計和實施課堂教學，自然融入了信息技術，設計新穎，實施順暢，效果明顯，亮點頗多，示范性強。筆者從教學目標、教學策略、概念辨析過程、教學組織以及其他細節等五個方面進行評析。

（一）教學目標清晰

本節課教學目標清晰，而且課時目標符合函數主題大單元教學的總體目標，引導學生從函數的視角發現問題、提出問題和分析問題，并運用函數模型解決問題。

教學明線為問題串貫通情境引入、概念形成、概念深化、應用探索等四個教學過程，問題設置自然貼切，指向性強。教師在學生得出一般化結論之后再引導學生去深挖概念的本質特征，分析概念的內涵與外延，重點提升了學生的數學抽象素養，在知識育人、思維育人、審美育人等三個方面都較好地完成了育人目標。

教學暗線包括將模型觀念滲透于背景材料以及模型建立、分析求解、模型應用等環節，教學暗線也是本節課的最大亮點。執教教師利用“詩圣”杜甫《望岳》中的詩句“會當凌絕頂，一覽眾山小”引入一個實際問題：爬山時如何判斷山的最高處？進而自然產生以下問題串：函數是否有最大值？如何判斷一個值是否為函數的最大值或最小值？引導學生想到一個用數學解決問題的辦法，即用數學語言描述，將實際問題抽象為數學問題，進而教會學生探究，再用數學的觀點解決實際問題，從而引出探究函數最值模型的一般思路。學生在解決問題的過程中積累了運用數學模型解決實際問題的基本技能和基本活動經驗，提升了發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力，促使生活育人、活動育人等更好地融入課堂教學，從而發展了數學建模核心素養。

（二）教學策略恰當

本節課的教學策略是基于學生的知識和經驗，設置一系列問題串，依托“是什么”“為什么”“怎么樣”的邏輯，研究有關最值的具體內容，引導學生逐步抽象出函數最值的概念。在此過程中，執教教師給學生創造了充分表達的機會，同時適時給予學生鼓勵與點撥，讓學生獲得了成就感，滿足了學生的求知欲，提高了學生的學習興趣，最終達成了教學目標。

例如，執教教師在深化概念教學中設置的問題5——“如何說明定義中的‘任意性’？”就起到了畫龍點睛的作用；執教教師在教學中還刻意調整了課本例題的呈現順序——將課本例5提前到函數最值概念深化環節進行呈現，讓學生理解函數單調性在解釋“任意性”中發揮的重要作用；課本中的例4以“煙花最佳爆裂時刻”為背景，為學生運用函數模型提供情境，執教教師在應用探索環節呈現例4，引導學生從函數圖象與函數單調性兩個角度解答問題，培養了學生從多角度分析問題、解決問題的能力。這樣的資源重建，體現了教學策略的運用得當，也體現了執教教師深厚的專業功底和良好的專業素養，為廣大數學教師提供了很好的借鑒。

（三）概念辨析到位

對數學概念中的各個要素進行辨析，重視數學概念的充分必要性，是概念課的重要組成部分。執教教師通過分析定義中的關鍵詞，從“存在性”和“任意性”兩個方面深化學生對概念的理解，為使學生更好地理解最大（小）值的符號定義做足了鋪墊，讓學生能更好地建構函數最大（小）值的概念意義。“任意性”確定了函數在求最值時要滿足的不等式，“存在性”確定了函數能取得到這個值。

為深化學生對“存在性”和“任意性”的直觀認識，執教教師還利用信息技術手段，通過現場作圖等方式直觀地呈現函數最大（小）值的本質特征，從而降低了學生理解概念內涵和外延的難度。

概念越辯越明。通過辨析，學生明確“任意性”和“存在性”都是函數最值概念中的關鍵要素，進而能夠深度理解和運用函數最值模型，為發展核心素養奠定了扎實的基礎。

（四）教學組織嚴謹

執教教師恰當地處理“預設”和“生成”的關系，重視對學生課堂展示的反饋調節，展現了很強的課堂教學組織能力。

本課中，執教教師通過“是什么”“為什么”“怎么樣”“什么是最值”“最值有幾個”“如何求最值”“最值與單調性有什么聯系”等一系列問題，不斷地發問，從而實現“概念越辯越明”。這就是反饋調節機制的具體應用。

在教學應用探索環節例2的過程中，筆者注意到了一個細節：由于本例是實際問題，所以數據不是那么的簡潔，導致運算量較大，但題目背景又很真實自然。執教教師先讓學生計算，在不少學生感到存在困難后再板書演示，同時引導學生關注式子結構及數據特征，運用適當的運算律簡化運算。在教師的引導下，學生也完成了相關運算，學生的數學運算核心素養獲得了很自然的發展。

在整節課中，師生間這種形式的互動是高頻的，執教教師對教學過程的把控是到位的，教學效果也是很好的。由此可見執教教師在組織教學方面的深厚功力。

（五）商榷兩個細節

第一個細節是，執教教師在形成概念環節提出了“問題2：如何求函數的最大（小）值？請舉例說明”這一問題。筆者思考，這一問題可否慢點提出？因為函數的最值是一個需要定義的概念，在還沒有給出最值概念之前就開始求最值了，不符合邏輯。建議改為“問題2：由‘山有最高處’思考，函數是否也可以有‘最大值’的概念呢？類似地，還可以有‘最小值’的概念嗎？如果有，同學們認為應該怎樣下定義呢？”。

第二個細節是，執教教師可以在提出問題3和問題3的追問后，讓學生自己去歸納整理。函數的“最大值”和“最小值”是完全同構的兩個概念。理解了“最大值”概念之后，學生完全可以通過類比推理得出“最小值”概念，因而這里有必要讓學生自主進行探究，使學生體驗到“發現”的快樂。

總之，“單調性與最大（小）值”這一課例，執教教師立足大單元視角，“雙線”并行推進，實施了具有創新性、整體性且有深度的教學，符合學生的認知規律，能夠提高學生學習數學的興趣和發展學生的數學應用意識，有助于學生初步形成數學建模思想，提升學生的數學學科核心素養，是一節成功的數學概念課及建模思想滲透課，對優化高中數學教學有較高的研究價值和借鑒價值。