具有相依性元件的串聯系統的冗余元件分配問題

李曉琴, 游銀萍

(華僑大學 數學科學學院, 福建 泉州 362021)

在工業工程中,冗余分配是提高系統可靠性的常見做法.工程師通常采用冷儲備和熱儲備這兩種分配方式.熱儲備是指將冗余元件并聯在工作元件上一同運行;冷儲備是指將冗余元件置于備用階段,只有當工作元件失效后才開始工作.目前,已有一些學者對冗余元件分配進行開創性討論[1-10].其中,關于冗余分配的大部分研究都是在元件壽命相互獨立的假設下進行的.然而,在實際問題中,工作元件都是在相同環境中運行,故考慮工作元件壽命具有相依性的相關研究更切合實際.在元件壽命相互獨立的假設下, Misra等[5]和Romera等[11]分別研究了兩個冗余元件下串聯系統在隨機占優序下的冗余冷分配問題和冗余熱分配問題,證明了分配兩個冗余元件中的一個冗余元件時,將壽命較長的冗余元件分配給壽命較短的工作元件可以延長系統壽命,分配兩個冗余元件時,將壽命較長的冗余分配給壽命較短的工作元件的分策略較優.在工作元件壽命具有相依性的假設下,除了Belzunce等[12-13]和You等[14]建立了單個冗余元件下不同冗余分配策略的冗余串聯系統壽命在隨機占優序下的大小關系外,還未有關于工作元件壽命和冗余元件壽命相互獨立且分別具有相依性的假設下串聯系統在隨機占優序下的冗余分配問題的研究.因此,本文在工作元件壽命和冗余元件壽命相互獨立且分別具有相依性的假設下,研究分配兩個冗余元件后的冗余系統壽命在隨機占優序下的大小關系.

1 預備知識

在許多與概率相關的領域,如工程可靠性、金融精算、風險管理和統計等,隨機序發揮著重要的作用,采用使用隨機占優序來比較隨機變量之間的大小關系.

根據具有排列遞增的相依概念,對于任意函數g：Rn→R,任意對(i,j),使1≤i

式中：τi,j(x)=(x1,…,xj,…,xi,…,xn)是向量x=(x1,…,xn)的一個置換.

定義2[15-16]向量X或者它的概率分布為

容易證明SAI?LWSAI.

對于連續型的隨機變量,Li等[17]首次提出置換單調相依性的概念.

定義3稱聯合概率密度f(x)為

對于連續型的隨機變量LTPD等價于LWSAI.

引理1～5在主要結論中起到關鍵作用.

引理2[15]設(X1,X2)是SAI的,當且僅當E[g2(X1,X2)]≥E[g1(X1,X2)],對于任意的x1≤x2,其中,g2,g1滿足：1)g2(x1,x2)≥g1(x1,x2);2)g2(x1,x2)+g2(x2,x1)≥g1(x1,x2)+g1(x2,x1).

引理3[15-16]SAI和LWSAI性質的一些充要條件.1) 如果(X1,…,Xn)相互獨立,那么X是SAI的,當且僅當X1≤lr…≤lrXn;2) 如果X1,…,Xn由生成元具有完全單調性的阿基米德copula耦合,那么X是LWSAI的,當且僅當X1≤rh…≤rhXn.

引理4[18]假設X的聯合密度函數為f(x)=f(x1,…,xn),那么X是SAI的,當且僅當f(x)是排列遞增的.

引理5[19]假設(X1,X2)是LWSAI的, 當且僅當E[g2(X1,X2)]≥E[g1(X1,X2)], 其中,g2,g1滿足：1)g2(x1,x2)-g1(x1,x2)關于x1∈(-∞,x2]遞減;2)g2(x1,x2)+g2(x2,x1)≥g1(x1,x2)+g1(x2,x1),對于任意x1≤x2.

建立引理6,7.

引理6對于任意的y1≥y2,令g1(x1,x2)=I(x2

證明：對于x1≤x2,容易得I(x2

對于y1≥y2和x1≤x2,有I(x1

引理7對于任意給定的y1≥y2,令g(x1,x2)=I(x1∨y2

證明：1) 固定x2∈[y2,y1]和x1≤x2,有I(y1

2) 固定x2≤y2≤y1和x1≤x2,有I(x1∨y2

3) 固定x2≥y1,x1≤x2,有I(x2

綜上所述,對于任意的y1≥y2,可得Δg(x1,x2)關于x1∈(-∞,x2]遞減.

2 主要結論及其證明

2.1 冗余元件熱分配

研究具有相依性工作元件的串聯系統分配兩個熱儲備冗余元件中的一個熱儲備冗余元件和分配兩個熱儲備冗余元件之后,冗余系統壽命在隨機占優序下的大小關系.

假設分配兩個熱儲備冗余元件中的一個熱儲備冗余元件后,兩個系統壽命分別為

U1=(X1∨Y1)∧X2,U2=X1∧(X2∨Y2).

假設分配兩個熱儲備冗余元件之后,兩個系統壽命分別為

V1=(X1∨Y1)∧(X2∨Y2),V2=(X1∨Y2)∧(X2∨Y1).

Romera等[11]考慮在工作元件壽命和冗余元件壽命相互獨立的條件下,研究兩種分配模型的冗余熱分配問題,獲得冗余系統壽命在隨機占優序下的大小關系.其中,一種分配模型是分配兩個熱儲備冗余元件中的一個熱儲備冗余元件,建立命題1.

由命題1可知：對于冗余元件壽命和工作元件壽命相互獨立的冗余系統,分配兩個熱儲備冗余元件中的一個熱儲備冗余元件時,將壽命長的熱儲備冗余元件分配給壽命較短的工作元件可延長系統的壽命.考慮到元件在相同環境下工作,故猜想可以將文獻[11]的結論從元件壽命相互獨立推廣到工作元件壽命和冗余元件壽命相互獨立且分別具有相依性的情形上.

由此可得在工作元件壽命和冗余元件壽命相互獨立且分別具有相依性下的第1個結論(定理1).

定理1假設(X1,X2)是LWSAI的,(X1,X2)和(Y2,Y1)相互獨立,且(Y2,Y1)是SAI的,則得到U1≥prU2.

證明：由文獻[11]的命題1(a)可知,在幾乎處處意義下U1>U2等價于

X1

故U1≥prU2等價于證明

P(X1

令g1(x1,x2)=I(x2

E[I(X1

對任意的y1≥y2,令

t1(y2,y1)=E[I(X2

由上式可得

t2(y2,y1)≥t1(y2,y1).

(1)

E[I(X1

即

t2(y2,y1)+t2(y1,y2)≥t1(y2,y1)+t1(y1,y2).

結合式(1)可知,t1,t2滿足引理2的條件1),2),又因為(Y2,Y1)是SAI的,可推出E[t2(Y2,Y1)]≥E[t1(Y2,Y1)],即

E[I(X1

從而可得

P(X1

證畢.

定理1說明分配兩個熱儲備冗余元件中的一個熱儲備冗余元件給具有LWSAI壽命的兩個工作元件的串聯系統時,將壽命較長的冗余元件分配給壽命較短的工作元件可以提高系統可靠性.引入例1,以說明定理1中壽命(Y2,Y1)的SAI條件是不可去的.

例1(Clayton copula) 對于任意x∈(0,1),貝塔分布B(a,b)的概率密度函數為xa-1(1-x)b-1/

Y的概率密度差值(Δg(y2,y1),0≤y2

圖1 Y的概率密度差值(0≤y2

P(X1

?f(x1,x2)g2(y2)dy2dx1dx2=

-0.002 349 67≤0,

該例子說明U1≥prU2是不成立的.

對于分配兩個熱儲備冗余元件,Romera等[11]建立命題2.

命題2[11]假設X1,X2,Y1,Y2相互獨立,如果滿足X1≤hrX2和Y2≤hrY1,則有V1≥prV2.

由命題2可知：對于冗余元件壽命和工作元件壽命相互獨立的冗余系統,分配兩個熱儲備冗余元件時,將壽命較長的冗余分配給壽命較短的工作元件的分配策略較好.將上述結論從元件壽命相互獨立推廣到工作元件壽命和冗余元件壽命相互獨立且分別具有相依性的情形上,得到第2個結論(定理2).

定理2設(X1,X2)是LWSAI的,(X1,X2),(Y2,Y1)相互獨立且(Y2,Y1)是SAI的,則V1≥prV2.

證明：由文獻[11]的命題2(a)可知,在幾乎處處意義下V1>V2等價于

X1∨Y2

式中：X1∨Y2

因此,有

P(V1>V2)=P(X1∨Y2

類似可得

P(V1

由此可知,V1≥prV2等價于證明

P(X1∨Y2

E[I(X1∨y2

對任意的y1≥y2,令

t(y2,y1)=E[I(X1∨y2

由上式可知,對于y1≥y2時,有

t(y2,y1)≥t(y1,y2).

E[I(X1∨Y2

從而可得

P(X1∨Y2

證畢.

由定理2可知,分配兩個熱儲備冗余元件給工作元件壽命具有LWSAI壽命的串聯系統時,將壽命較長的熱儲備冗余元件分配給壽命較短的工作元件的分配策略較優.

2.2 冗余元件冷分配

給工作元件壽命具有相依性的串聯系統分配兩個冷儲備冗余元件中的一個冷儲備冗余元件和分配兩個冷儲備冗余元件之后,冗余系統壽命在隨機占優序下的大小關系.

假設分配兩個冷儲備冗余元件中的一個冷儲備冗余元件后,兩個系統壽命分別為

W1=(X1+Y1)∧X2,W2=X1∧(X2+Y2).

假設分配兩個冷儲備冗余元件后,兩個系統壽命分別為

Z1=(X1+Y1)∧(X2+Y2),Z2=(X1+Y2)∧(X2+Y1).

Misra等[5]考慮在工作元件壽命和冗余元件壽命相互獨立的條件下,研究兩種分配模型下的冗余冷分配問題,獲得冗余系統壽命在隨機占優序下的大小關系.其中,一種分配模型是分配兩個冷儲備冗余元件中的一個冷儲備冗余元件,建立命題3.

命題3[5]假設X1,X2,Y1,Y2相互獨立,如果X1或X2具有凸性的生存函數,那么當X1≤icvX2時,則有W1≥prW2.

由命題3可知：對于冗余元件和工作元件壽命相互獨立的冗余系統,分配兩個冷儲備冗余元件中的一個冷儲備冗余元件時,將壽命較長的冷儲備冗余元件分配給壽命較短的工作元件可延長系統的壽命.將該結論從元件相互獨立推廣到工作元件壽命和冗余元件壽命相互獨立且分別具有相依性的情形上,得到第3個結論(定理3).

定理3假設(X1,X2)是LWSAI的,(X1,X2)和(Y2,Y1)相互獨立且(Y2,Y1)是LWSAI的,則有W1≥prW2.

證明：由文獻[5]的定理2.4的證明可知,在幾乎處處意義下W1>W2等價于

X10.

由此可知：W1≥prW2等價于

P(X10)≥P(X1>X2,Y2>0).

因此,要證明W1≥prW2等價于證明P(X10)≥P(X1>X2,Y2>0).

對于任意的y1≥y2,令

t1(y2,y1)=E[I(X20)],t2(y2,y1)=E[I(X10)].

當x1≤x2時,易得I(x20)=I(x20)=0,可得

式中：P(X1>X2)是非負的,即

又因為-I(y2>0)關于y2∈(-∞,y1)遞減,故可知t2(y2,y1)-t1(y2,y1)關于y2∈(-∞,y1)遞減.

E[I(X10)+I(X10)]≥E[I(X1>X2)I(y2>0)+I(X1>X2)I(y1>0)],

即

t2(y2,y1)+t2(y1,y2)≥t1(y2,y1)+t1(y1,y2).

對于任意的y1≥y2,綜上可知,t1,t2滿足引理5的條件1),2),又因為(Y2,Y1)是LWSAI的,可得E[t2(Y2,Y1)]≥E[t1(Y2,Y1)],即

E[I(X10)]≥E[I(X20)],

從而可得

P(X10)≥P(X1>X2,Y2>0).

證畢.

定理3指出分配兩個冷儲備冗余元件中的一個冷儲備冗余元件給具有LWSAI壽命的兩個元件的串聯系統時,將壽命較長的冗余元件分配給壽命較短的工作元件可延長系統壽命.為了更好說明定理3的結論,引入例2.

例2(Clayton copula) 假設X1,X2是失效率分別為2,1的指數分布函數,聯合概率密度可表示為f(x1,x2),Y2,Y1服從標準指數分布,g2(y),g1(y)分別表示Y2,Y1的概率密度函數且(Y2,Y1)由Clayton copula耦合.X1,X2相互獨立且X1≤lrX2,可知(X1,X2)是LWSAI的.又因為Y2≤rhY1,由引理3的條件2)可知(Y2,Y1)是LWSAI的.根據兩個系統壽命概率分布函數可知它們的差值為

因此,W1≥prW2成立.

對于分配兩個冷儲備冗余元件,Misra等[5]建立以下結論(命題4).

命題4[5]假設X1,X2,Y1,Y2相互獨立,如果X1或X2具有凸性的生存函數,那么當X1≤icvX2和Y2≤hrY1時,則有Z1≥prZ2.

由命題4可知：對于冗余元件壽命和工作元件壽命相互獨立的冗余系統,分配兩個冷儲備冗余元件時,將壽命長的冗余元件分配給壽命較短的工作元件的分配策略較好.將該結論從元件壽命相互獨立推廣到工作元件壽命和冗余元件壽命相互獨立且分別具有相依性的情形上,得到第4個結論(定理4).

定理4假設(X1,X2)是LWSAI的,(X1,X2)和(Y2,Y1)相互獨立且(Y2,Y1)是LWSAI的,則有Z1≥prZ2.

證明：由文獻[5]的定理3.1的證明可知,在幾乎處處意義下Z1>Z2等價于

X2>X1,Y2Y1.

式中：X2>X1,Y2Y1互斥.

因此,有

P(Z1>Z2)=P(X2>X1,Y2Y1),

類似可得

P(Z2>Z1)=P(X2X1,Y2>Y1).

由此可知,Z1≥prZ2等價于

P(X2>X1,Y2Y1)≥P(X2>X1,Y2>Y1)+P(X2

因此,要證明Z1≥prZ2等價于證明

P(X2>X1,Y2Y1)≥P(X2X1,Y2>Y1).

對于任意的y1≥y2,令

t(y2,y1)=E[I(X2>X1)I(y2y1)],

Δt(y2,y1)=t(y2,y1)-t(y1,y2).

對任意的x1≤x2,y1≥y2,易得

I(x1>x2)I(y2x2)I(y1

可得

根據引理1可知

E[I(X2>X1)I(Y2Y1)]≥
E[I(X2X1)I(Y2>Y1)].

從而可得

P(X2>X1,Y2Y1)≥P(X2>X1,Y2>Y1)+P(X2

證畢.

定理4指出分配兩個冷儲備冗余元件給具有LWSAI壽命的兩個工作元件的串聯系統時,將壽命較長的冗余元件分配給壽命較短的工作元件的分配策略較好.

3 結束語

考慮在工作元件壽命和冗余元件壽命相互獨立且分別具有相依性的條件下,分別研究串聯系統下一個冗余元件和兩個冗余元件的冷儲備問題和熱儲備問題.利用隨機序和相依性相關的定義和性質,建立不同冗余分配策略下串聯系統在隨機占優序下的冗余最優分配,研究表明,將壽命較長的冗余元件分配給壽命較短的工作元件的分配策略較好.注意到,串聯系統是屬于特殊的n中取k系統結構,因此,一個直接的想法是在工作元件壽命具有相依性下,考慮冗余分配之后n中取k系統的壽命之間的隨機占優序關系,這將是今后工作的一個中心.