聚焦核心素養，在問題解決中體會結構化的優勢

江小蘋

摘要：2022年版《義務教育數學課程標準》指出設計體現結構化，重點是對內容進行結構化整合，探索發展學生核心素養的路徑。我們在解決小學階段的各個領域（數與代數、圖形與幾何、統計與概率、數學好玩）中相關的數學問題時，需要從問題入手，弄清楚問題與已知信息之間的關系，為了解決問題，需要用已知信息進行一系列的認知操作，如果操作成功，問題就得到了解決。本文主要是從知識的本質方面入手，弄清知識的前世今生以及后延，利用結構化來助推問題的解決，以此感悟結構化的優勢。

關鍵詞：結構化? ? 問題解決? ? 數學建模

數學建模是新課標倡導的核心素養之一。模型觀念主要是指對運用數學模型解決實際問題有清晰的認識。在解決問題時，學生初步感知建模的基本過程，感悟數學模型可以解決一類問題，模型應用具有普遍性。本文主要想讓學生在解決問題的過程中，體會模型結構化的優勢。

一、充分運用結構化，體會運算的一致性

運算的一致性是核心素養（2022版課程標準）強調的內容。如何充分運用結構化，體會運算的一致性，從而培養學生的運算能力呢？我將舉一些例子加以說明。

例，北師大版小學數學四年級上冊的第3單元“乘法”中的第1課時“衛星運行時間”，學習內容是三位數乘兩位數的乘法計算。在學習這內容之前，我先把三年級上冊兩位數乘一位數、兩位數乘兩位數的算理及算法匯總在下表中。

★第一個問題：每個游泳圈12元，買三個游泳圈需要多少錢？

這個問題運用了兩種方法，加法：12+12+12，乘法：12×3。

★第二個問題：每行14人，共有12行，有多少人參加表演？

這個問題也可運用兩種方法，加法：14+14+…+14? ?乘法：14×12。

從意義上來看，乘法是加法的簡便運算，都是在算總數，都是多少個計數單位的累加。可見，當相同加數的個數比較多時，我們選擇乘法列式比較簡單。從算理、算法上來看，兩位數乘兩位數與兩位數乘一位數計算方法一樣，都運用了乘法分配律：先拆分，再乘，最后合起來。

如圖中楊樹每捆有20棵，3捆一共有多少棵？我覺得方法⑦是一個很好的一個策略，運用了列舉法，滲透了類推思想。1表示1個20，2表示兩個20，或者是在20的基礎上再加20，3表示3個20，或者在40的基礎上再加20。學生在寫的過程中會發現求幾個幾的多少，可以用加法，也可以用乘法來列式。但是有的學困生在學完乘法和除法之后，往往不知道什么時候用除法什么時候用乘法，就這樣寫著寫著，在理解知識本質的過程中自然而然就會了。把整十數乘一位數的方法遷移到兩位數乘一位數中去，就迎刃而解了。比如，方法①是把乘法轉換成加法。這是一個很好的策略，在后面的小數乘法、分數乘法中會用到。方法②③④的算理是相同的，都運用轉化的方法，結合點子圖、表格等，把兩位數乘一位數的計算轉化成一位數乘整十數、一位數，把未知轉化成已知，即方法③把12分成2個6，先算6×3=18，18＋18=36；②④把12分成10和2，再10和2分別與3相乘，最后把結果合起來，其實就是乘法分配律的運用；方法⑤和⑥是兩位數乘兩位數，與兩位數乘一位數的方法一致。再往前思考，無論怎么拆分，其實都要運用到乘法口訣，這更體現了運算的一致性。

回顧用結構化解決問題的策略過程中，解決問題的方法也形成結構化，進而遷移到三位數乘兩位數。猜想求21個114怎么列式？114×21可以拆、乘、合嗎？學生通過前面結構化的復習，很容易方法遷移，快速解決問題。

學生也可以借助點子圖，動手畫一畫，對比表格和豎式，在算法多樣化中理解算理。比如，先算7個114的結果是798。有3個這樣的798，就是 2394。

通過方法和知識的結構化，學生的運算能力得到提高，推理能力得到發展。

二、在結構化問題解決中，體會方法的一致性

數學學習，最終的指向是問題解決。教學中引導學生尋找解決問題的策略，培養學生的善于思考習慣，更加重視教學過程，而不是教學結果。結構化教學可以喚醒學生已有的學習經驗，便于知識的遷移，讓問題解決更簡單，可見，在遷移與應用中進行實踐，是結構化的創新高地。比如，學習了分數、百分數以后，可以進行這樣變式練習。

★根據題意，選出其中一個信息列出算式或方程，不計算。

水果店運來蘋果120千克，? ? ? ? ? ?運來梨多少千克？

⑴ 運來的梨是蘋果的[14]；⑵ 運來的梨是蘋果的25%。

⑶運來的蘋果是梨的[14]；⑷ 運來的蘋果是梨的25%。

⑸運來的蘋果比梨少[14]；⑹ 運來的蘋果比梨多25%。

收集到學生的下回答，如下：

⑴列式為120×[14]；⑵列式為120×25%，

⑶列式為120÷[14]；（4）列式為120÷25%；

⑸列式為120÷（1－[14] ）；（6）列式為120÷（1＋25%）。

發現：[14] 、25% 都表示的是兩個數之間的關系。可見，分數、百分數有著密切的聯系，我們解決相關問題時，思考方法是一樣的。

三、通過結構化的問題設計， 培養學生建立數學模型的能力

數學建模是新課標倡導的核心素養之一。模型觀念主要是指對運用數學模型解決實際問題有清晰的認識。在解決問題時，學生初步感知建模的基本過程，感悟數學模型可以解決一類問題，模型應用具有普遍性。

例，學習了圓柱與圓錐以后，可以進行這樣的練習題：一個圓柱形容器的底面直徑是10厘米，容器里面水深5厘米。放入小鐵塊后，水面高度是7厘米。求小鐵塊的體積。

這個問題與我們五年級時，求長方體容器里不規則物體的體積方法一樣，用底面積×水面升高的高度，就求得不規則物體的體積。即V長=S底h升。基于知識結構本質，引導學生先復習長方體體積、容積有關的知識，然后遷移到求圓柱形容器中不規則物體體積，問題就迎刃而解了。

知識結構化可以讓我們把散亂的知識點，組成的立體式的整體知識結構網絡，讓學生感悟到知識點不是孤立的，而是相互聯系的。同時促使我們解決問題的方法也結構化，讓核心素養的培養不是一句空話。

接著做練習題：一個長方體容器從里面量長是19厘米，寬是12厘米。里面裝有一些水，水深為9厘米。放入一個石頭后，水面上升到13厘米.求石塊的體積。通過計算交流。學生有兩種解決問題的方法。通過展示這兩種方法，學生積累解決問題的策略，并建立計算不規則物體體積的模型。

方法一：

V水：19×12×9 =2052（立方厘米）

V石+V水：19×12×13=2964（立方厘米）

V石：2964-2052=912（厘米?）

方法二：

V石： 19×12×13-19×12×9=19×12×（13-9）=228×（13-9）=912（立方厘米）

在學生掌握了上述方法之后，學生們很快就有了解決問題的策略。我讓學生們計算圓柱形容器里不規則物體的體積。大部分學生看到這道題，臉上露出了喜悅之情，直說“簡單”。有學生用第1種方法。求出了小鐵塊的體積。根據圓柱體積公式，先求出水的體積。再求出石頭和水的體積。用石頭和水的體積減去水的體積，就是石頭的體積。于是我讓他們再建立一個模型。像圓柱形的容器里面有一些水，加入一個不規則的物體，水淹沒了物體，怎樣求不規則物體的體積？如果把所有的不規則的物體，比如石頭、磚塊兒鐵塊等都看成石頭，你們能建立一個模型，幫助不會解決這類問題的人解決問題嗎？

于是多數學生都能建立下列模型：

方法一：V水=πr?h1? ?V石+V水=πr?h2? ? ?V石=（V石+V水）-V水=πr?h2—πr?h1

方法二：V石=（V石+V水）-V水 = Sh2—Sh2=S（h2-h1）

學生建立了在圓柱形容器中求不規則物體的體積的模型，然后再舉例子驗證這個模型。兩人一組舉例看看。他們用方法二和方法一進行計算，并驗證模型的合理性。然后全班交流，驗證模型的普遍性。對于理解能力一般的學生，他們喜歡用方法一。而思維比較好的學生更喜歡方法二。這也體現了不同的人在數學上有不同的收獲。沒有經過學生組織的知識，納入學生認知結構的知識，都不能被學生真正的理解和吸收。而通過驗證，學生才能體會探究的樂趣。

四、結構化的知識重建教師的教學觀

教學改革由學科本位轉變為以人的發展為本位，教師需要樹立新的教育觀念。且新課標要求教師必須具備整體性把握學科知識結構的能力，設計體現結構化特征的課程內容，適應教學新形式要求，教師需要重建教育觀。

（一）把結構化的知識串連起來

教材存在著內容的結構化，教師要做的就是把這些結構化的知識聯系起來。如，學習了分數、比、正比例、反比例以后，我們可以從結構化思想出發，把相關的知識串成串，變中抓不變。

（二）設計結構化的教學內容

教師的教是為了學生的學。教學是有機的整體，學生有了解決問題的經驗，有了學習的樂趣。變要我學為我要學，讓教與學達到和諧的境地，但這需要教師在課前做好充分的準備。

比如在學習按比例分配時，如果只看教材內容表象，學生在學完按比例分配后，解決問題就有困難。課后的練習中有已知長方形的周長以及長與寬的比，求長方形的面積。很多學生就會直接把周長來按比分配，認為求出的是長和寬，用長乘寬就算出長方形的面積，從而得出錯誤的結論。這是學困生普遍存在的問題，教師在教學這節課之前，先理清長方形的周長的實際意義：周長表示兩條長與兩條寬的和。直接用周長按比例分配得到的是兩條長與兩條寬，而我們要求面積，實際上在數長方形里有多少個面積單位，長（表示一排有多少個面積單位）乘寬（有幾排這樣的面積單位），因此要把先周長除以2，再按比例分配，就可求出正確答案。教師正確引導，從知識本質出發，厘清知識的來龍去脈，學生在結構化中抓核心，學習就很輕松了。

教師的改變，學生不僅獲得了知識，增長智力，德育也在不知不覺中滲透，教師的一點點改變，對于幾十個學生來說就是巨大的改變。教師要與時俱進，為了學生的成長，不斷更新教育觀念，教師教育觀的轉變，是要給課堂帶來變化。“變”是過程，“變”是方法，“變”更是目標。

內容的結構化是實現學科知識向學科核心素養的轉換的關鍵。教師在教學時應設計結構化的知識，便于學生發現規律，積累活動經驗，形成解決問題的策略。聚焦核心素養，在解決問題的過程中去體會結構化的優勢，從而培養學生用數學的眼光觀察現實世界，用數學的思維思考現實世界，用數學的語言表達現實世界。