同構出馬，誰與爭鋒

李海玉

在函數與導數中，特別是指數、對數同構思想有著廣泛的應用，指數函數與對數函數變換的核心是[elnx=x=lnex]，利用這個恒等式，可以統一函數的結構，從而找到相應的函數模型，下面以2022年高考甲卷理科數學導數題為例說明利用同構法求解的妙處。

原題呈現：

已知函數[f（x）=exx-lnx+x-a]

（1）若[f（x）≥0，]求[a]的取值范圍；

（2）證明：若[f（x）]有兩個零點[x1，x2，]則[x1?x2<1]

解：對于第一問，[f（x）=exx-lnx+x-a（x>0）]，[f（x）=ex（x-1）x2-1x+1=（ex+x）（x-1）x2]

令[f（x）=0，]解得[x=1]，所以當[0

當[x>1]時，[f（x）>0，∴f（x）]單調遞增；[∴f（x）min=f（1）=e+1-a]，要使得[∴f（x）≥0]恒成立，即滿足：[∴f（x）min=f（1）=e+1-a≥0]，即[a≤e+1]，所以[a]得取值范圍是[e+1，+∞]。

對于第二問，方法很多，本文主要介紹同構的解法

法一：同構+對數均值不等式

（2）由題知[ex1x1-lnx1+x1-a=0ex2x2-lnx2+x2-a=0]，所以[ex1x1-lnx1+x1=ex2x2-lnx2+x2]，

即[e x1-lnx1+x1-lnx1=e x2-lnx2+x2-lnx2]，構函數[g（x）=ex+x]，則[g（x1-lnx1）=g（x2-lnx2）]，顯然[g（x）=ex+x]在[0，+∞]上單增，所以[x1-lnx1=x2-lnx2]，即[lnx1-lnx2x1-x2=1]，

由對數均值不等式可得[x1x2

（法二：偏對稱構造+同構）由（1）可知，[0f（1x2）]

因為[f（x1）=f（x2）]即只用證[f（x2）>f（1x2）]

構造函數[F（x）=f（x）-f（1x）][=exx-lnx+x-e1x1x+ln1x-1x]，下證[F（x）>0]

即證[exelnx+x-lnx>e1xeln1x+1x-ln1x]

即證[ex-lnx+x-lnx>e1x-ln1x+1x-ln1x]，構造函數[g（t）=et+t]，而[g（t）=et+t]是定義上的單調遞增函數，

只用證：[g（x-lnx）>g（1x-ln1x）]

即證明：[x-lnx>1x-ln1x]

下證：[h（x）=x-lnx-1x+ln1x>0]，因為[h（x）=1-2x+1x2=x2-2x+1x2=（x-1）2x2>0]，所以[h（x）]在[（1，+∞）]上單調遞增，[h（x）min>h（1）=1-ln1-11+ln11=0]，即[x-lnx>1x-ln1x]

所以[x1x2<1].

（法三：偏對稱構造+同構）由（1）可知，[0f（1x2）]

因為[f（x1）=f（x2）]即只用證[f（x2）>f（1x2）]

構造函數[F（x）=f（x）-f（1x）][=exx-lnx+x-e1x1x+ln1x-1x]，下證[F（x）>0]

即證[exx+lnex-lnx>e1x1x+lne1x-ln1x]

即證[exx+ln（exx）>e1x1x+ln（e1x1x）]，構造函數[g（t）=lnt+t]，而[g（t）=lnt+t]是[（1，+∞）]的單調遞增函數，

只用證：[g（exx）>g（e1x1x）]

即證明： [exx>e1x1x]，即證明：[ln（exx）>ln（e1x1x）]，即[x-lnx>1x-ln1x]下面證法同法二（略）。

同構法是學習和求解數學問題的一種常見思維方法，用同構法解決問題的一般過程是：分析變形——生成同構——構造函數——利用模型的性質解題。在運用同構法解決問題的過程中，我們要注意觀察函數結構，挖掘隱含的函數共性，然后借助“共性”構造函數模型，最后利用數學模型的性質解決問題。