帶電粒子在等邊三角形分界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中周期性運(yùn)動(dòng)軌跡分析*

李 崢

(重慶求精中學(xué) 重慶 400015)

黃海洋

(復(fù)旦大學(xué)自然科學(xué)試驗(yàn)班 上海 200433)

1 問題的提出

帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)往往涉及圓心、半徑及運(yùn)動(dòng)時(shí)間的確定,通常的解題思路為根據(jù)速度方向或入射點(diǎn)、出射點(diǎn)的情況確定圓心,根據(jù)圓心確定運(yùn)動(dòng)軌跡,根據(jù)幾何關(guān)系確定半徑,根據(jù)偏轉(zhuǎn)的圓心角確定運(yùn)動(dòng)時(shí)間.由于帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的約束條件,其運(yùn)動(dòng)往往具有對(duì)稱性和周期性[1].

【例題】如圖1所示,邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的等邊三角形ABC內(nèi)、外分布著兩方向相反的勻強(qiáng)磁場(chǎng),三角形內(nèi)磁場(chǎng)方向垂直紙面向外,兩磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B[2].頂點(diǎn)A處有一粒子源,粒子源能沿∠BAC的角平分線發(fā)射不同速率的粒子,粒子質(zhì)量均為m、電荷量均為+q,不計(jì)粒子重力及粒子間的相互作用力,則發(fā)射速度v0為哪一值時(shí)粒子能通過B點(diǎn)( )

圖1 例題情境圖

粒子通過B點(diǎn)以后在洛倫茲力的作用下將繼續(xù)運(yùn)動(dòng),那么具體的情況又如何呢?筆者對(duì)粒子運(yùn)動(dòng)情況及運(yùn)動(dòng)軌跡做了初步的分析.

2 粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡分析

2.1 從A點(diǎn)出發(fā)的帶電粒子軌跡分析

通過分析計(jì)算,筆者發(fā)現(xiàn)通過B點(diǎn)的粒子經(jīng)過一定時(shí)間后均能回到A點(diǎn),利用GeoGebra作出其運(yùn)動(dòng)的軌跡,分別如圖2至圖9所示.

圖2 r=L的粒子軌跡

圖3的粒子軌跡

圖4的粒子軌跡

圖5的粒子軌跡

圖6的粒子軌跡

圖7的粒子軌跡

圖8的粒子軌跡

圖9的粒子軌跡

通過運(yùn)動(dòng)軌跡分析,我們可以初步得到以下結(jié)論:

(1)所有通過B點(diǎn)的帶電粒子之后的運(yùn)動(dòng)軌跡一定過A點(diǎn).

(2)所有的運(yùn)動(dòng)軌跡都是關(guān)于過入射點(diǎn)A點(diǎn)的豎直軸線軸對(duì)稱.

(3)所有的運(yùn)動(dòng)軌跡在從A點(diǎn)出發(fā)到回到A點(diǎn)的過程中不重復(fù).

(4)粒子回到A點(diǎn)時(shí)速度方向與入射速度方向相反.

進(jìn)一步討論分析,我們發(fā)現(xiàn)其運(yùn)動(dòng)時(shí)間及對(duì)應(yīng)的路程存在以下的遞推關(guān)系:

(1)當(dāng)n=2k+1(k=0,1,2,3,…)時(shí),對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間

即

將n=2k+1(k=0,1,2,3,…)代入得

整理可得

(2)當(dāng)n=2k(k=1,2,3,…)時(shí),對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間

即

整理可得

對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)路程

整理可得

綜上可得

帶電粒子回到A點(diǎn)之后會(huì)繼續(xù)運(yùn)動(dòng)且具有周期性,其完整的運(yùn)動(dòng)情況又如何呢?筆者通過分析,作出了該情況下對(duì)應(yīng)軌跡,如圖10至圖17所示.

圖10 r=L的粒子軌跡

圖11的粒子軌跡

圖12的粒子軌跡

圖13的粒子軌跡

圖14的粒子軌跡

圖15的粒子軌跡

圖16的粒子軌跡

圖17的粒子軌跡

圖18 與回到A點(diǎn)相比軌跡增加部分

圖19 時(shí)的完整運(yùn)動(dòng)軌跡

2.2 從BC中點(diǎn)出發(fā)的帶電粒子軌跡分析

若帶電粒子從BC中點(diǎn)垂直于邊界進(jìn)入三角形磁場(chǎng),那么運(yùn)動(dòng)情況又如何呢?

圖20 的粒子軌跡

圖21 的粒子軌跡

圖22 的粒子軌跡

圖23 的粒子軌跡

圖24 的粒子軌跡

圖25 的粒子軌跡

通過分析,軌跡具有以下特點(diǎn):

(1)運(yùn)動(dòng)軌跡具有高度的對(duì)稱性,且運(yùn)動(dòng)具有周期性.

(3)設(shè)其運(yùn)動(dòng)的周期為T0,則

3 結(jié)束語

帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的周期性運(yùn)動(dòng)通常可以利用對(duì)稱性進(jìn)行分析和求解,特別是針對(duì)分界磁場(chǎng),通過計(jì)算在某邊界兩邊的運(yùn)動(dòng)時(shí)間,通過對(duì)稱性找到對(duì)應(yīng)的總時(shí)間,但這個(gè)過程中需要特別注意其具有軸對(duì)稱還是中心對(duì)稱的性質(zhì).其運(yùn)動(dòng)的周期通常可以采用單邊界兩側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間乘以對(duì)應(yīng)邊數(shù),再減去重復(fù)情況進(jìn)行處理.