齒輪傳動系統建模與典型界面傳遞特性研究 *

高 普，劉 輝，貝文瑾，項昌樂

（1. 北京理工大學機械與車輛學院，北京 100081；2. 北京理工大學前沿技術研究院，濟南 250307）

前言

齒輪傳動系統是車輛、航天、船舶等領域應用最廣泛的傳動形式之一，是機械設備的重要組成部分。由于復雜的工況和惡劣的工作環境，在運行過程中容易出現故障，造成系統停機。齒輪傳動系統故障形式眾多，結構復雜，故障信號識別困難。因此，有必要開展齒輪傳動系統建模與典型界面傳遞特性的研究，探究齒輪傳動系統動力學機理及振動信號傳遞規律，為車輛齒輪傳動系統故障的識別和診斷提供參考依據。

在齒輪嚙合界面模型及建模方法方面，為了準確描述齒輪嚙合界面對振動信號的傳遞特性，許多國外學者做了廣泛的研究，其中做出有影響力和標志 性 成 果 的 有Zschippang［1］、Eriki［2］以 及Sanche等［3-5］，齒輪嚙合界面模型采用非線性系統模型，建立模型的方法主要有：集中參數法，傳遞矩陣法和有限元法。模型中考慮了齒輪的時變嚙合剛度、嚙合阻尼、齒側間隙和齒輪傳遞綜合誤差等非線性因素，同時考慮了橫向振動、軸向振動和扭轉振動之間的耦合振動影響。近年來很多學者考慮了其他因素，建立了更加精細的齒輪系統動力學模型。這些因素包括：齒面摩擦和輪齒裂痕［6-7］、薄壁外齒圈變形［8］、嚙合相位差［9］、中心距變動和軸承剛度［10］、“契入效應［11］”、非線性阻尼［12］、彈流潤滑［13］、時變壓力角和重合度［14］、載荷分布［15］等。此外，針對不同類型的齒輪，Huangfu 等［16-17］研究了齒廓最優曲線漸開線齒輪建模方法，深入分析了剝落齒輪系統的嚙合動力學特性。總體來說，建模理論逐步向多自由度、大規模、精細化和非線性方向發展。國內王成［18］建立了關于齒輪系統動力學建模比較完整的理論體系，除了考慮時變嚙合剛度、嚙合阻尼、齒側間隙和齒輪傳遞綜合誤差等非線性因素外，還考慮了齒廓微觀尺寸參數對齒輪動力學特性的影響。同時對特殊結構的齒輪動力學模型進行了探索，如輪齒裂紋、剝落等。建模方法多以有限元分析與集中參數法相結合，如利用有限元分析法求解出齒輪副時變嚙合剛度，再與集中參數法結合建立模型。

在軸承界面模型及建模方法方面，經歷了4 個研究階段，分別是靜力學、擬靜力學、擬動力學與動力學，且大部分接觸模型都是基于赫茲接觸理論建立的，赫茲接觸理論是由赫茲于1881 年針對彈性體接觸問題提出的，為后面建立滾動體與滾道接觸模型提供了基礎。國外代表性學者包括Palmgern、Jones、Harris 等［19-21］基于赫茲接觸理論，考慮軸承內外圈熱位移的影響，建立了滾子軸承模型，考慮了離心力和陀螺力矩的影響，用經驗拖動力計算公式替代滾道控制理論，提升了模型分析結果的精確度；國內專家學者在Harris 等的基礎上對軸承進行了更加深入的研究，袁茹等［22］建立了高速滾子軸承的擬動態分析計算模型和方法，研究了浪子凸度、滾子傾斜及滾子歪斜等因素對高速滾子軸承工作性能的影響。Yu 等［23］采用基于轉子力學關系和數據庫擬合滾子軸承模型，拓展了軸承建模理論。葉振環［24］通過分析軸承內部零件間的運動和位置關系，建立了零件間的相互作用模型和高速球軸承和滾子軸承的完全動力學模型。通過Newtown-Raphson 算法和Runge-Kutta 算法結合的計算方法提升了計算效率，同時保證了動力學結果的精度。

目前，齒輪嚙合界面和軸承界面建模的研究取得諸多顯著成果，但對于系統故障診斷和識別的工程應用，仍需解決以下問題：缺少能夠綜合描述齒輪嚙合和軸承典型界面的傳遞特性量化表征形式，難以構建振動信號在各條傳遞路徑衰減傳遞矩陣，實現齒輪傳動系統典型故障振動信號的特征辨識與定位。

針對上述問題，本文開展齒輪傳動系統建模與典型界面傳遞特性的研究，對某實際的齒輪傳動箱提取嚙合齒輪、傳動軸和軸承的質量、慣量、安裝尺寸等，考慮齒輪時變嚙合剛度、嚙合阻尼、軸承支承剛度和阻尼等因素，建立系統非線性動力學方程，并搭建試驗振動特性測試平臺，提取關鍵位置的振動響應，與仿真模型對比驗證所建模型的準確性；基于系統動力學模型構建能夠有效表征典型界面傳遞特征的界面力數學表達式，以振動信號衰減系數作為振動傳遞的量化表征，研究定頻穩態、掃頻瞬態以及變工況下典型界面振動傳遞規律，開展仿真和試驗研究，揭示振動信號在典型界面信號傳遞的本質特征，為車輛齒輪傳動系統故障診斷中各條路徑衰減傳遞矩陣的構建提供有效的指導意見。

1 齒輪傳動系統動力學模型及驗證

選取包含齒輪嚙合、軸承接觸典型界面的三軸兩級定軸齒輪傳動系統為對象，綜合考慮齒輪時變嚙合剛度、嚙合阻尼、軸承支承剛度和阻尼等多種因素，建立系統非線性動力學方程，搭建三軸兩級定軸齒輪傳動系統振動特性測試平臺，結合試驗與仿真結果驗證系統建模的準確性。

1.1 齒輪傳動系統動力學建模

三軸兩級定軸齒輪傳動系統三維模型示意圖如圖1所示。相應的齒輪主要參數如表1所示。

圖1 三軸兩級定軸齒輪傳動系統三維模型

表1 齒輪主要參數

根據拉格朗日法建立系統各個部件的動力學方程。

軸承b1動力學方程：

齒輪g1動力學方程：

軸承b2動力學方程：

軸承b3動力學方程：

齒輪g2動力學方程：

齒輪g3動力學方程：

軸承b4動力學方程：

軸承b5動力學方程：

齒輪g4動力學方程：

軸承b6動力學方程：

式中：mn0、mn1、mn2分別表示齒輪、軸承內圈、軸承外圈的質量，其中n0 = g1、g2、g3、g4，n1 = b1i、b2i、b3i、b4i、b5i、b6i，n2 = b1o、b2o、b3o、b4o、b5o、b6o；x、y、θ分別為各個部件3 個自由度的位移；kxbi(o)、kybi(o)分別為各個軸承內外圈的橫向剛度；cxbi(o)、cybi(o)分別為各個軸承內外圈的橫向阻尼；Tin、Tout分別為輸入、輸出轉矩；Fm為各對齒輪的嚙合力，Fm=km δ(b，Δt) +cm(b，Δt)；km為時變嚙合剛度，利用能量法［25］計算得到，1.70 × 108～3.15 × 108N/m；cm為 嚙 合 阻 尼，cm=ξ為 阻 尼 比；δ(b，Δt) 和(b，Δt)分別為嚙合線變形量和嚙合線變形量的1階 導 數；R為 各 齒 輪 基 圓 半 徑；kxn0-xn1、kyn0-yn1、kθn0-θn1表示相鄰的齒輪和軸承之間各個軸段的彎曲剛度和扭轉剛度；kr、cr分別為軸承外圈與箱體之間的支撐剛度和阻尼。本文所建立的三軸兩級定軸齒輪傳動系統采用4 階龍格-庫塔法（RK4）進行求解。

1.2 振動特性測試平臺與模型驗證

1.2.1 振動特性測試平臺

加工定軸齒輪傳動系統模型驗證樣機，搭建振動特性測試平臺，主要包括驅動電機、電渦流測功機、數據采集系統、轉矩轉速傳感器、三向加速度傳感器，試驗設備如表2 所示，臺架試驗測試系統如圖2和圖3所示。

圖2 振動特性測試平臺示意圖

圖3 振動特性測試平臺現場布置

表2 試驗設備列表

驅動電機1 為齒輪箱測試臺架的動力輸入，電渦流測功機7 為系統負載。轉速轉矩傳感器3 和6分別采集定軸齒輪系統傳動模型驗證樣機輸入端和輸出端的轉速、轉矩信號，加速度傳感器4 和5 分別采集定軸傳動系統模型驗證樣機輸入端和輸出端軸承座的振動加速度，將數據傳輸給數據采集系統進行數據轉化和后處理。

1.2.2 振動特性測試與數據處理

測試工況：負載為空載、50%、80%，調節電機輸入轉速為1 200、1 600、2 200 r/min。共選取編號為4和5 的2 個測點。在每種穩定運轉工況下采集不少于30 s的振動響應數據。為了更全面分析傳動系統模型驗證樣機的振動水平，須對比分析振動加速度和振動速度相關數據。

以輸入轉速2 200 r/min、80%負載工況為例，分析輸入端軸承座的振動加速度、振動速度信號。輸入端軸承座的垂向振動加速度試驗結果如圖4所示。

圖4 輸入端軸承座振動加速度

由圖4 可知，綜合分析時域數據和頻域數據，低頻區內軸承座處振動加速度存在輸入軸的轉頻，而高頻區振動主要以嚙合頻率及其倍頻為主。

根據軸承座振動加速度時域數據，計算其均方根值：

式中：aRMS為振動加速度均方根值；a（i）為振動加速度的時域數據；N為振動加速度數據總長度。獲得輸入端軸承座振動加速度均方根值隨轉速變化曲線，如圖5所示。

圖5 輸入端軸承座振動加速度均方根值曲線

由圖5 可知，隨著轉速的增加，振動加速度逐漸減小，在1 600 r/min 后趨于平穩；在1 600 r/min 以下負載對振動加速度影響較大，轉速升高后影響變小。

根據軸承座振動加速度時域數據，計算振動速度。輸入、輸出端振動速度可通過對其振動加速度測量結果進行積分得到，利用時域積分法將輸入、輸出端振動加速度信號轉化為振動速度信號。其計算方式如下式所示：

式中：a(i)為振動加速度數據；N為振動加速度數據總長度；v(i)為振動速度數據；Δt為積分步長。獲得的輸入端軸承座的垂向振動速度試驗結果如圖6所示。

圖6 輸入端軸承座振動速度時域和頻域曲線

由圖6 可知，響應頻率與加速度的響應頻率類似，低頻區包含輸入軸轉頻的倍頻，而高頻區包含嚙合頻率及其倍頻。但相對嚙合頻率，轉頻的幅值變大。

根據軸承座振動速度時域數據，可以計算其均方根值：

式中：vRMS為振動加速度均方根值；v（i）為振動加速度的時域數據；N為振動加速度數據總長度。獲得輸入端軸承座振動速度均方根值隨轉速變化曲線，如圖7所示。

圖7 輸入端齒輪的速度均方根值曲線

由圖7 可知，輸入端軸承座振動速度均方根值隨轉速變化的情況，隨著轉速的增加，振動速度逐漸減小，1 600 r/min 后轉速對振動速度的影響很小。在1 400 r/min 以下負載對振動速度影響較大，轉速升高后影響變小。

1.2.3 仿真與試驗測試對比

根據軸承與箱體表面軸承座的連接接觸關系，可以有效轉化仿真計算定軸齒輪傳動系統輸入輸出端軸承座的振動加速度和振動速度仿真數據，并利用進行處理獲取的仿真振動加速度均方根值和振動速度均方根值，與試驗測試獲得輸入輸出端振動加速度均方根值和振動速度均方根值進行對比分析，不同轉速不同負載試驗與仿真數據對比結果如表3～表5所示。

表4 1 600 r/min振動仿真精度測試結果

表5 2 200 r/min振動仿真精度測試結果

由表3～表5 可知，各工況下輸入輸出端軸承座振動加速度仿真值與試驗值最小精度為84.67%，振動速度仿真值與試驗值最小精度為84.72%，均大于84%。可以驗證所建立的齒輪轉動系統非線性動力學仿真模型的可靠性和有效性，為后續的典型界面振動特性傳遞研究提供有效的模型基礎。

2 典型界面振動傳遞特性研究

根據齒輪傳動系統非線性動力學模型，以系統的綜合響應作為主要衡量指標，以齒輪嚙合力和軸承內外圈接觸力分別表征齒輪嚙合界面和軸承界面模型，分析定頻穩態激勵和掃頻瞬態激勵作用下，振動信號經過齒輪和軸承典型界面后的傳遞變化情況，并以衰減系數量化描述典型界面對振動信號的衰減作用，進一步分析不同工況下衰減系數的變化趨勢。通過扭轉激振典型界面振動傳遞試驗測試，驗證仿真分析規律的有效性和可靠性，揭示振動信號經過典型界面的傳遞規律，為齒輪傳動系統故障診斷傳遞路徑衰減傳遞矩陣的構建提供依據。

2.1 齒輪嚙合界面振動傳遞特性

采用齒輪嚙合力表征一對齒輪副的嚙合界面，形式如下：

式中：km和cm分別為嚙合剛度和嚙合阻尼函數；f[Δδ(t)]為齒輪的嚙合線變化量的函數。齒輪界面嚙合力隨時間的變化特性如圖8 所示，經過一段時間后，齒輪界面嚙合力沿X、Y兩個方向上的分力都趨于穩定。

圖8 齒輪界面嚙合力變化情況

用Zin表示齒輪嚙合界面的輸入振動信號，Zout表示齒輪嚙合界面的輸出振動信號，輸出振動信號與輸入振動信號的時域均方根值之比表示信號傳遞率TgRMS。則齒輪嚙合界面對信號的衰減系數κg可表示為

在傳動系統輸入施加500 Hz 定頻穩態轉矩激勵，提取齒輪界面振動響應數據。對齒輪輸入、輸出信號進行時域、頻域的對比分析，結果如圖9所示。

圖9 定頻激勵齒輪嚙合界面輸入輸出振動信號對比

由圖9 可知，齒輪在500 Hz 定頻穩態激勵作用下，振動信號經過齒輪嚙合界面后，信號產生了衰減。提取獲得齒輪界面輸入和輸出振動信號的均方根值，并計算獲得衰減系數κg= 0.11。在頻譜圖中，在外激勵頻率f0處(f0= 500 Hz)產生了衰減，峰值衰減率為13.5%。

在傳動系統輸入施加0～1 000 Hz 掃頻轉矩激勵，提取齒輪界面振動響應數據。對齒輪輸入、輸出信號進行對比分析，結果如圖10所示。

圖10 齒輪嚙合界面輸入輸出振動信號掃頻對比

由圖10 可知，在0-1 000 Hz 的掃頻激勵下，振動信號在198 Hz 附近產生了明顯峰值，在0-500 Hz的激勵信號頻率區間，齒輪嚙合界面的輸入輸出信號幅值衰減明顯，而在500-1 000 Hz區間，齒輪嚙合界面的輸入輸出信號幅值相差不大。

利用衰減系數κg來表征齒輪嚙合界面對信號的整體衰減作用，衰減系數κg在不同轉速負載工況下整體變化趨勢如圖11所示。

圖11 齒輪嚙合界面衰減系數隨工況變化情況

由圖11 可知，隨著轉速和負載的增加，衰減系數呈現緩慢增大的趨勢；在相同的轉速下，隨著負載的增加，衰減系數隨之增加；而當負載一定的情況下，衰減系數對于轉速的變化不敏感，受轉速的影響較小。

2.2 軸承界面振動傳遞特性

采用軸承內外圈接觸力表征軸承的內外圈界面，公式如下：

式中：kb、cb分別為軸承內外圈接觸剛度和阻尼；f[Δδ(t)]為軸承徑向變形量的函數。

軸承界面力隨時間的變化情況如圖12 所示，經過一段時間后，軸承界面力沿X、Y兩個方向上的分力都趨于穩定。軸承界面力主要是由軸承每個滾動體上的非線性赫茲接觸力組成，軸承單個滾動體的非線性赫茲接觸力隨時間變化特性如圖13 所示，由于軸承徑向間隙的存在，滾動體的非線性赫茲接觸力呈現周期性的變化。

圖12 軸承界面力變化情況

圖13 軸承滾動體非線性赫茲接觸力變化情況

在傳動系統輸入施加500 Hz 定頻穩態轉矩激勵，提取軸承界面振動響應數據。對軸承內外圈輸入、輸出振動信號進行時域、頻域的對比分析，結果如圖14所示。

由圖14 可知，軸承在500 Hz定頻穩態激勵作用下，振動信號經過軸承界面后，信號產生了衰減。提取獲得軸承界面輸入和輸出振動信號的均方根值，并計算獲得衰減系數κb= 0.71。在頻譜圖中，在外激勵頻率f0處(f0= 500 Hz)產生了衰減，峰值衰減率為87.5%。

在傳動系統輸入端施加0～1 000 Hz掃頻轉矩激勵，提取軸承界面振動響應數據。對軸承內外圈輸入、輸出信號進行對比分析，結果如圖15所示。

由圖15 可知，在0-1 000 Hz 的掃頻激勵下，振動信號在141.9 Hz 附近產生了峰值，在0-450 Hz 的激勵信號頻率區間，軸承界面的輸入輸出信號幅值衰減明顯，而在450-1 000 Hz區間，軸承界面的輸入輸出信號幅值相差不大。

利用衰減系數κg表征軸承界面對信號的整體衰減作用，衰減系數κg在不同轉速負載工況下整體變化趨勢如圖16所示。

圖16 軸承界面衰減系數隨工況變化情況

由圖16 可知：在相同的轉速下，隨著負載的增加，衰減系數隨之減小；而當負載一定的情況下，衰減系數對于轉速的變化不敏感，受轉速的影響較小。

綜上所述，在時域上，軸承界面對于振動信號的衰減作用最明顯，隨著仿真工況的變化，衰減系數在0.835 到0.860 之間。齒輪嚙合界面對于振動信號衰減作用較弱，隨著仿真工況的變化，衰減系數在0.160到0.260之間。在頻域上，齒輪嚙合和軸承界面對于振動信號的衰減作用主要體現在嚙合頻率及其倍頻上，且軸承界面對于振動信號的衰減作用最明顯，在嚙合頻率和各倍頻上的衰減率較為平均，而齒輪嚙合界面對于信號的衰減作用較弱，在嚙合頻率和各倍頻上的衰減率較大，在其他頻段較小。

2.3 扭轉激振典型界面振動傳遞試驗測試

為了探究振動信號經過典型界面的傳遞規律，搭建扭轉激振典型界面振動傳遞試驗平臺，系統測試振動信號經過典型界面后的幅頻特性變化情況。扭轉激振典型界面振動傳遞試驗平臺整體布置如圖17所示，在齒輪齒根、傳動軸、軸承內圈及軸承外圈部位安裝加速度傳感器，分別采集齒輪嚙合界面輸入輸出振動加速度信號和軸承界面輸入輸出振動加速度信號。

圖17 扭轉激振典型界面振動傳遞試驗平臺

通過扭轉激振試驗，提取齒輪嚙合界面輸入輸出振動加速度信號和軸承界面輸入輸出振動加速度信號，進行快速傅里葉變化，得到其幅頻特性曲線，如圖18所示。

圖18 典型界面振動加速度幅頻特性曲線

由圖18 （a）可知，齒輪嚙合界面對振動信號在低頻段影響很小，在高頻段峰值有衰減作用，整個頻段影響較小；由圖18 （b）可知，軸承對振動信號在低頻和高頻段均有較大的衰減作用，低頻的頻譜結構基本不變，峰值改變較大。在中高頻段不但改變頻譜結構，且對應的頻率峰值衰減較大。

采集處理振動加速度時域數據，齒輪嚙合界面的振動加速度均方根值衰減系數為0.180，與仿真衰減系數0.160～0.260 相符；軸承界面的振動加速度均方根值衰減系數為0.840，與仿真衰減系數0.830～0.860相符。

綜上所述，齒輪嚙合界面對振動信號的影響最小，頻譜結構、頻率峰值及時域均方根值均有小幅衰減，軸承對振動信號的影響最大，頻譜結構、頻率峰值及時域均方根值均有較大衰減。上述試驗結果與2.1節和2.2節的仿真結果具有良好的一致性，驗證了仿真計算的有效性和可靠性。

振動信號在齒輪傳動系統傳遞規律的仿真和試驗數據綜合表明：齒輪嚙合界面對振動信號衰減作用較弱，振動具有良好的傳遞特性；而軸承對振動信號的衰減作用較強，具有較差的振動傳遞特性。因此，如果系統故障源信息經過布置在軸承傳遞路徑末端的傳感器時，由于信號衰減作用較大，很難采集較為全面的振動信號時域和頻域信息，不利于監測出故障信號，故應該選取系統故障源經過齒輪嚙合傳遞路徑末端布置傳感器，才能采集較全的振動信號時域和頻域信息，為故障信號特征的提取提供更全面的信息。在實際齒輪傳動系統中，各條振動傳遞路徑的組成是由多個齒輪嚙合界面和軸承界面組合而成的。用于檢測系統故障信號的傳感器布置原則為，傳遞路徑中存在較少的軸承和較多齒輪嚙合界面，可以在該條路徑末端布置傳感器，反之，則不適合布置傳感器。

3 結論

本文針對某三軸兩級定軸齒輪傳動系統，開展齒輪傳動系統建模與典型界面傳遞特性的研究，得到以下結論。

（1）考慮齒輪時變嚙合剛度、嚙合阻尼、齒側間隙及軸承支承剛度等影響因素，建立了齒輪傳動系統非線性動力學模型，搭建了齒輪傳動系統振動特性測試平臺。在各工況下關鍵位置的振動加速度仿真結果與試驗值的吻合程度達到84%以上，驗證所建齒輪傳動非線性動力學模型的有效性和可靠性。

（2）基于齒輪傳動系統動力學模型提取典型界面力的數學表達式，構建振動信號傳遞衰減系數，量化表征典型界面對振動信號傳遞衰減作用，搭建扭轉激振界面振動傳遞特性試驗平臺用于仿真和試驗對比分析，揭示了振動信號在齒輪傳動系統的傳遞規律，為車輛齒輪傳動故障診斷中構建各條傳遞路徑衰減傳遞矩陣提供依據。