諧波疊加法在道路譜重構中的改進與應用研究

鐘岳， 張緯華， 徐峰， 方虎生

（1. 中國人民解放軍32184部隊，北京 100072；2. 陸軍工程大學，南京 210007）

路面不平度是汽車行駛最主要的激勵，對汽車舒適性、可靠耐久性等有直接影響，是汽車底盤部件磨損、疲勞失效的主要外因。采用虛擬試驗來檢驗并預測樣本的可靠性、安全性以及舒適性，可以減少汽車開發的周期從而節省開發成本。道路虛擬試驗技術的關鍵是獲取準確可靠的路面激勵信號，即道路路面譜。道路譜是將實際路面的形狀和特性參數用數字化的形式表示出來，以用于理論研究和試驗，它表示的是路面表面偏離理想平面的幅度的一種時間域或空間域的模型。在工程實際中，重構路面的準確性是關鍵，結合實測路面數據進行路面重構能保證這一點。

目前，國內外對道路譜獲取方法的研究主要有直接測量法、仿真模擬法和載荷譜迭代法。直接測量法測量精度相對較高。黃亮等［1］采用nCode 軟件，對采集的路譜進行預處理得到準確可用的原始采集數據，將實測的較多工況路面載荷重構等效為部分工況進行后續的分析，取得了較好的成效，但是測量得到的只是單一道路軌跡。載荷譜迭代法測試儀器原理簡單，操作方便，成本較低，但是誤差源多，數據精度受迭代誤差影響較大，周期長，迭代原理較復雜。仿真模擬法包括諧波疊加法、濾波白噪聲法、Fourier逆變換生成法等。仿真模擬法不需要測試設備，成本很低，周期短，仿真結果可直接導入道路模擬系統。其中，采用濾波白噪聲作為路面輸入的算法具有簡單易行的優點，然而其生成的時域路面隨機模型僅能用于擬合型的路面譜結構，具有局限性。諧波疊加法是一種離散化數值模擬路面的方法，能滿足路面不平度的隨機各態特性，在道路譜獲取方面有一定的優勢。關于諧波疊加法在道路譜重構中的應用，相關學者進行了一些研究。聶彥鑫等［2］應用諧波疊加法對路面不平度隨機序列進行仿真。結果表明通過諧波疊加法能很好地擬合路面不平度，且AR 模型譜估計具有擬合結果平滑且精度高的特點。劉大維等［3］基于諧波疊加法和三角網格法的基本原理，建立了三維隨機路面數學模型。程國勇等［4］提出了基于諧波疊加法的道面不平度模擬方法，利用功率譜估計的方法對模擬路面譜和標準路面譜進行了比較，結果二者是一致的，表明諧波疊加法能很好地擬合路面不平度。此外，諧波疊加法在電力、風場譜重構等方面的應用也取得了較好的效果。例如，CALVO 等［5］提出了大正則系綜的諧波疊加方法；何甜田等［6］提出了一種自適應諧波疊加的復調音樂主旋律提取算法，自適應疊加諧波構建顯著函數；駱光杰等［7］推導了模擬脈動風速的諧波疊加法，利用Matlab數學平臺編寫了具備時空相關性的脈動風速時程模擬程序。由此可知，與直接測量法、載荷譜迭代法等相比，諧波疊加法具有顯著的優勢，為復雜勢能圖重構提供了理論框架。目前關于諧波疊加法的研究較多，但是其在道路譜重構中的應用研究以理論分析為主，缺乏對諧波疊加法不足的關注以及優化方案，對于諧波疊加法在道路譜重構中的應用效果也還有待檢驗。鑒于此，本文采用諧波疊加法進行道路譜重構，針對諧波疊加法的不足，提出諧波疊加法的改進方案，并應用道路譜重構，通過數值模擬仿真驗證改進諧波疊加法在道路譜重構中的優勢，試圖做出新的探索。

1 基于諧波疊加法的道路譜重構

道路譜重構主要有兩種思路，一是通過實際測試方法，記錄路面不平度數據并根據測得數據進行重現；二是進行時域信號重構。在路面實測信號點預處理基礎上，進行功率譜密度分析，得到基于諧波疊加法的路面功率譜密度，從而實現道路譜重構。

1.1 路面實測信號點預處理

本文以縱向距離為100 m 的普通砂石路面為對象進行高程數據采集，得到了相關原始數據，圖1分別展示了砂石路面實車測試圖和所得到的路面實測信號數據。

圖1 砂石路面實車試驗結果

在數據采集過程中，受到外部信號的干擾，由于隨機干擾信號的頻帶較寬，導致采集的離散數據形成尖峰產生了較多的異常值點。為此，利用萊茵達準則對其進行異常值剔除。

將測量值中與平均值相差大于三倍標準差的點進行剔除，從而得到了相應的信號點，如圖2所示。

圖2 異常值剔除后的路面數據

與原始采集信號相比，經過萊茵達準則處理后，信號中的異常值明顯減少，然而，可以發現，圖中仍含有部分的趨勢項數據，即信號中周期大于采樣長度的頻率部分，這是由于傳感器等數據采集儀器在采集過程中出現的零點漂移、基礎運動等引起了信號波形偏移。在試驗中，利用最小二乘原理建立趨勢項多項式的一般模型，從而進行趨勢項去除，圖3則展示了去趨勢項后的結果。

圖3 路面實測高程信號去趨勢項后結果

在此基礎上，選用小波閾值方式對其進行去噪，最終利用小波重構方式得到了所需的“純凈”信號。常用的閾值選擇準則有4 種［8］，分別為無偏似然估計（rigrsure）原則、固定閾值（sqtwolog）原則、啟發式閾值（heursure）原則以及極值閾值（minmax）原則，圖4 則展示了4 類閾值原則下的去噪結果。

圖4 4類小波閾值去噪方式結果對比

分別計算4種去噪結果后的信噪比（SNR），并比較大小，見表1。

表1 四種閾值原則去噪后的信噪比

根據信噪比結果對比，初步得出結論：基于rigrsure原則的小波去噪方式效果最佳。

1.2 基于諧波疊加法的路面不平度

諧波疊加法源于譜估計的周期延拓，是一種以離散譜逼近目標隨機過程的模型，具有較嚴謹的數學推導過程。

首先，利用平穩隨機過程將不同空間頻率范圍內的路面位移功率譜密度Gq(n)轉化為路面不平度方差。

然后，通過中心頻率代替整個頻段方式得到了路面不平度方差在離散空間下的求和方法。

對于頻率為nmid_k(k= 1，2，……，m)的各頻帶，通過正弦波函數疊加方式從而得到了空間路面的不平度，如式（1）所示。

式中：x為路面縱向距離；θk為［0，2π］區間內均勻分布的隨機數；Gq(nmid_k)為各頻段的中心頻率處的功率譜密度；Δnk為頻段數。

考慮到車輛在行駛時產生的左右輪橫向路面不平度差異性，將諧波疊加法拓展至三維空間，從而得到了三維空間條件下的路面不平度函數，如式（2）所示。

式中：x為縱向距離；y為橫向距離；θk(x，y)為［0，2π］內均勻分布的二維隨機矩陣；F(x，y)表示由路面橫縱向位置決定的位置參數，設為F(x，y) =(x2+y2)12。

2 基于改進諧波疊加法的道路譜重構

2.1 三次樣條插值法

諧波疊加算法模型是一個平穩的各態歷經、零均值的隨機過程，廣泛應用于路面譜［9］、風場譜重構［10］、復雜橋梁結構方程［11］求解等多個數值模型問題。

樣條插值，是指在某一節點上，用一組已測量的點，在各節點間隔上構造三次多項式函數，并在一定的條件下，得到的曲線或曲面的一次導數和二次導數都是存在的，也就是說，擬合出的曲面或曲面為連續且光滑。因此，在實際應用中，樣條插值是一種較普遍的擬合逼近方法。相較于傳統的諧波疊加或特征參數描述等數值模擬方法，引入三次樣條插值函數的最大優勢在于在不影響模擬精度的前提下，通過壓縮道路互功率譜矩陣的正定平方分解（Cholesky）次數來減少計算內存，大大地縮短模擬計算所花費的時間，從而提升道路譜不平度模型的擬合時間。因此，采用三次樣條插值技術對諧波疊加法進行改進，以提高道路譜重構精度。

卵石路、砂石路等不規則路面的側向特性具有很強的隨機性，同時原始數據不夠，分辨率低。因此，利用三次樣條插值法，對采集得到的高程數據進行插值，如圖5 所示。將多個測量點的高程資料以平均路徑S為水平間距。通過三次樣條插值，獲得了整個道路的高程資料，圖中K（1）為傳感器采集的第1 組數據，根據采集的高程數據采用Matlab 編程軟件進行5 mm 間隔橫向插值，插值出第二組數據K（2），同理可以插值出第3 組數據K（3），進而得到整條路面的數據點信息。使建立的數字路面不平度與實際路面不平度一致。

圖5 三次樣條插值方法

2.2 中心頻率點的互功率譜獲取

根據中心頻帶方差表示法，得到了頻率為nmid_k(k= 1，2，……，m)的各個頻帶，再根據式（3）計算方式可以得到各中心頻帶之間的互功率譜密度。

式中：Gii(n)為第i個中心點的功率譜密度；Gjj(n)為第j個中心點的功率譜密度；cohij為兩點之間的相干函數。

陳水生等［12］曾根據汽車左右輪之間的相干性擬合出基于輪距參數的相干函數模型，如式（4）所示。

式中：(n1，n2)為有效頻帶范圍；B為左右輪輪距；ρ為經驗系數，通常取為1。

根據式（4），可以得到關于各頻帶中心頻率點的相干函數表達式，如式（5）所示。

將式（5）代入至式（3）中，從而得到了關于頻帶中心點間的互功率譜模型。

2.3 諧波疊加函數獲取

通過輪距之間的相干函數得到了各頻帶中心的互功率譜密度模型。將其轉化為矩陣形式，從而得到了各頻帶中心頻率處的互功率譜密度矩陣，如式（6）所示。

利用Cholesky 分解可以關于矩陣G(n)的下三角矩陣，Cholesky分解如式（7）所示。

式中：LT(n)為L(n)的轉置矩陣，且為下三角矩陣，L(n)如式（8）所示。

相較于基于插值技術的風速場諧波疊加，此類方法最大的優勢在于獲得了更多具有“插值”屬性的離散點，因此，下一步驟將直接對這m個中心頻率點進行多項式插值并獲得相對應的下三角矩陣L(n)，令L′(nmid_k)=Mk，s=(nmid_d-nmid_l)/k。從而可得到互譜分解矩陣L′(nmid_k)關于s的插值方程，如式（9）所示。

由式（9）可知，若確定了譜密度Cholesky 分解矩陣L′(nmid_k)的二階導數Mk，則此p元方程可以進行求解，根據三次樣條函數性質可知，內部的m- 2 個中心頻率點處一階導數連續，從而確立了m- 2個約束方程，而針對兩邊界處的中心頻率點，試驗中進行了兩類邊界條件下的插值結果對比。

邊界條件1：兩邊界處的中心頻率點nmid_l和nmid_m處的二階導數連續，即：

邊界條件2（拉格朗日邊界條件）：令兩邊界處中心頻率點的斜率與通過前后各4 個離散點的三次函數在端點處的斜率相同，可表示為：

為驗證樣條插值技術試驗結果的可靠性，試驗同時引入了多項式插值技術，多項式插值線性插值的推廣，是利用更高階的多項式對原始的離散中心頻率點進行函數擬合，而對于m個中心頻率點，則建立m- 1次多項式，如式（12）所示。

根據式（7）～（10）得到了擬合后的中心離散點互譜分解矩陣Lij(nmid_n)，再代入式（6）得到了互功率譜密度矩陣Gij(nmid_n)，最后將其代入式（2）得到了關于路面不平度的插值諧波疊加函數。

3 基于改進諧波疊加法的道路譜重構仿真

為說明以上基于改進諧波疊加法的道路譜重構算法的有效性，選擇了普通砂石路面的采樣路段進行虛擬重構。

3.1 參數設置

選取了長度為100 m，寬度為4 m 的普通砂石路面模型。圖6 為采用韋爾奇法對圖3 進行功率譜分析所得到的曲線，通過觀察該路面的功率譜曲線可以得到砂石路面不平度信號的主頻為0.117 2 Hz、功率譜密度峰值為（1 589×10-6）m3。

圖6 原始路面功率譜密度曲線

通過消除趨勢項、去噪處理等方法，獲得一維的自相關系數。基于道路的等向性特征，結合坐標轉動轉換的基本原理，利用一維自相關函數進行插補，得到了二維自相關函數矩陣。重構路面一維時域序列如圖7所示。

圖7 重構路面一維時域序列

砂石路三維模型如圖8所示。

圖8 砂石路三維模型

3.2 路面譜重構流程

根據普通砂石路面得到的道路譜重構模型，嘗試將其推廣到各類強化試驗道路。為制定更加具有泛化性的道路譜重構模型，試驗中利用Matlab/GUI建立了基于第1 類邊界條件下三次樣條插值技術的諧波疊加重構模型，其流程如圖9 所示，其中N表示橫縱向距離上的采樣頻率。

圖9 三次樣條插值諧波疊加法的隨機路面重構流程

3.3 路面譜重構仿真

結合三次樣條插值諧波疊加法的隨機路面重構流程，對基于改進諧波疊加法的道路譜重構效果進行仿真分析。

首先，選取了長度為100 m 的普通砂石路作為數值模擬對象，并根據不同的中心頻率劃分范圍分別抽取了10，20，30，40，50 個中心頻率點進行比較分析，表2 則比較了選取不同數量的中心頻率點時，各類模型重構方法的時間。

表2 四類方法模擬路面不平度函數運行時間 單位：s

根據不同的路面不平度函數重構方法運行時間結果可以發現，傳統的諧波疊加法運行時間最多，多項式插值技術次之，樣條插值技術所耗時間最少，并且隨著模擬點數的不斷增長，插值技術的時間縮短更加明顯，從而驗證了功率譜密度經Cholesky 分解后在優化插值疊加函數效率中的可行性；而比較表中兩類邊界條件下的樣條插值技術運行時間發現，其運行時間隨模擬點數的增長較相似，所以僅僅根據重構時間難以得出可靠性結論，需要對四類方法所得到的路面不平重構函數的準確性進行分析。

然后，運用相關系數法在級分布圖中，對實測路面原始數據功率譜和重構路面功率譜做驗證分析。為提升各類重構方法功率譜與原始路面的功率譜密度的直觀差異度，將A 級至H 級道路譜［13］作為參考從而得到了原始路面的位移功率譜密度-空間頻率圖，如圖10所示。

圖10 砂石路原始位移功率譜密度與諧波疊加重構數據對比圖

對其余三類方法所得到的重構功率譜密度函數進行同理變換，得到了三類重構譜與原始譜在空間頻率上的變化對比，如圖11所示。

圖11 三類插值重構法與原始數據功率譜密度對比圖

利用式（15）分別計算諧波疊加法以及三類插值重構譜與原始譜的相關系數r，得到結果見表3。

表3 4類重構譜與原始譜的相關系數比較

根據圖10～11 所示的功率譜密度-空間頻率對比曲線可以發現：相較于原始的諧波疊加重構法，三類插值重構法在與原始功率譜數值的相關程度上均獲得了較大的提升，且大大提升了主頻、峰值與原始譜的距離，從而驗證了插值重構方法在道路譜重構模擬工程中的可行性。

同時將三類插值重構法重構精度與直接測量法、載荷譜迭代法、諧波疊加法以及濾波白噪聲法等進行對比。重構精度計算式為：

式中：xi為原始道面不平度數據樣本；yi為重構路面不平度數據樣本；m為正整數。

結果見表4。

表4 道路譜重構精度對比

由表3 可知，三類插值重構法的重構精度明顯優于現有方法，具有顯著的優勢。

在此基礎上，利用Matlab可以做出上一節中利用改進諧波疊加法重構獲得的道路不平度模擬信號離散序列的功率譜密度曲線，將其與目標信號的功率譜密度曲線進行對比可以驗證信號重構的效果。GB/T7031—2005 是描述道路譜特性的最新國家標準，給出了從位移功率譜出發的典型道路的近似分類方法并提供了常規道路的分類。進一步利用標準路面譜生成模擬路面后，對生成的路面進行評估，分析本文模擬路面的功率譜與標準路面譜的接近程度［16］。標準功率譜曲線與重構信號的功率譜對比，如圖12所示。

圖12 標準功率譜與重構信號功率譜

由圖12 可知，改進諧波疊加法重構的功率譜能很好地逼近目標譜，較好地符合了國標中規定的標準功率譜，滿足了重構要求。

最后，利用標準路面譜生成模擬路面后，對生成的路面進行評估，分析模擬路面的功率譜與標準路面譜的接近程度。具體是采用經典的周期圖法和現代AR 參數模型進行功率譜估計［17-18］，驗證改進諧波疊加法重構的有效性。

周期圖法估計的改進諧波疊加法重構功率譜密度如圖13所示。

圖13 周期圖法估計的功率譜密度

由圖13 可知，采用周期圖法估計的功率譜得到的仿真結果與理論基本上一致。譜線的分辨率較高，但是離散度較大，資料波動較大，方差較大，特別是在高頻部分，曲線較粗糙，信息十分豐富。

AR 參數模型估計功率譜與理論譜對比如圖14所示。

圖14 AR參數模型估計的功率譜密度

由圖14 可知，AR 參數模型估算的功率頻譜與理論頻譜具有很好的一致性，而且曲線的平滑程度明顯高于傳統頻譜估算，其處理結果的方差比經典譜估計方法的小。

無論是采用經典周期圖法譜估計，還是現代AR 參數模型譜估計，得到的結果與標準路面理論譜具有很好的一致性，從而驗證了本文所提出的改進的諧波疊加算法的正確性和實用性，能較好地符合路面譜重建的需求。同時，可以根據不同的參數設定，使模擬結果更理想。

4 結論

本文對諧波疊加法在道路譜重構中的應用進行研究，結合諧波疊加法在道路譜重構中的優勢與存在的不足，采用三次樣條插值技術對諧波疊加法進行改進，提出改進的道路譜重構方法，并進行仿真檢驗，主要結論如下。

1）針對傳統諧波疊加法重構運行時間較長以及精度較低這一現象，本文引入了樣條插值函數中的正定平方分解（Cholesky）這一方法，通過壓縮道路互功率譜矩陣的Cholesky 次數來減少計算內存，利用Cholesky 分解得到了互譜密度分解矩陣，提升了道路譜模型的重構擬合時間，提高了道路譜重構精度。

2）利用Matlab/GUI 建立基于第一類邊界條件下三次樣條插值技術的諧波疊加重構模型，比較插值重構模型與原始道路譜模型的相關系數，并對常見道路譜重構方法的精度進行對比。研究發現，相較于傳統的諧波疊加重構方法，其平均重構運行模擬時間可減少37.22%，精度提升可達14.1%。與直接測量法、載荷譜迭代法、諧波疊加法以及濾波白噪聲法、Fourier逆變換生成法等進行對比，改進的諧波疊加法道路譜重構精度在90%以上，具有顯著優勢。并且，采用經典周期圖法和現代AR 參數模型譜估計，基于改進諧波疊加法的道路譜重構模擬仿真重構的路面功率譜與標準路面譜能很好地契合，得到更加滿意的仿真效果。

總之，本文提出的基于諧波疊加法的道路譜重構方法為車輛虛擬道路試驗提供了一種比較有效的譜重構模型方法，不僅在道路譜重構中有重要的應用價值，同時在隨機風場模擬、牽引供電系統、車輛荷載模擬等方面也具有廣闊的應用前景。