動態模型全局靈敏度分析及其在汽車前橋結構中的應用

張凱超， 付銳， 袁偉， 羅耿， 賀冰清

（1. 長安大學 汽車學院，西安 710064；2. 中國聯合網絡通信有限公司陜西分公司，西安 710075）

工程結構系統中存在著大量的不確定性分析問題，特別是在復雜的汽車結構系統中，受零部件加工、制造、裝配誤差，結構中材料分布不均勻及復雜的工作環境等因素的影響，汽車結構系統中不可避免地存在不確定性［1-2］，不確定性分析對于汽車結構系統的分析、設計以及優化等問題有著十分重要的意義。不確定性分析的主要內容包括可靠性分析和靈敏度分析［3-4］：可靠性分析研究結構系統中輸入變量不確定性向輸出響應的傳遞問題，也即研究結構系統中輸出響應的不確定性特征問題；靈敏度分析通常也被稱作重要性分析，研究結構系統中輸出響應不確定性向輸入變量不確定性的分配問題，也即研究結構系統中輸出響應不確定性和輸入變量不確定性之間的關系。

目前，在針對靈敏度分析的研究方面，國內外已經有了大量的研究成果［5-7］，其中，SOBOL等［8-9］提出的基于方差的全局靈敏度分析理論因其概念清晰簡單、易于理解、具有模型通用性等特點，成為最主流的全局靈敏度分析方法，并且在工程實際中得到了廣泛應用，但是該理論只適用于輸入變量獨立且輸出響應為一維變量的模型。對于動態模型的靈敏度分析問題，可以通過時間維度的離散化將其轉化為多維輸出問題［10-14］，SALTELLI 等［10］建議將多維輸出問題轉化為單維問題，即依據實際問題定義一個綜合的輸出響應，然后對這個定義的單個輸出響應進行全局靈敏度分析。該方法可以處理一部分工程實際問題，但是還存在一些不能通過這樣的轉化來解決的問題。CAMPBELL 等［11］提出了一種多維輸出情況下的全局靈敏度分析方法，該方法首先利用正交基對多維輸出進行分解，然后對分解

式中的正交基系數進行全局靈敏度分析，該方法也被簡稱為輸出分解法。LAMBONI 等［12］對輸出分解法進行了補充完善，并定義了一套綜合的全局靈敏度指標以反映輸入變量對多維輸出的綜合影響。輸出分解法將一個維數較高的多維輸出全局靈敏度分析問題，轉化為維數較少的多維輸出問題，一定程度上簡化了多維輸出情況下的全局靈敏度分析。GAMBOA等［13］基于輸出響應的協方差分解以及高維模型替代定義了一套多維輸出情況下的全局靈敏度指標，該方法可以認為是Sobol 基于方差的單維輸出全局靈敏度分析的一種拓展，并且該方法與輸出分解法具有一定的等價性。分析發現，輸出分解法和協方差分解法得到的靈敏度指標反映的是輸入變量對多維輸出響應的協方差矩陣中的對角元素之和的影響，即只反映了輸入變量對多維輸出各個分量方差的影響，并不包含多維輸出之間的相關性。ZHANG Kaichao 等［14］在多維隨機變量不確定性方差量化的基礎上，將多維輸出響應的不確定性歸結為輸入變量單獨的影響，輸入變量之間交叉作用的影響和模型模式不同的影響。

對于動態模型Y=g(X，t)，t∈T=[t1，t2]，工程實際中往往是通過在不同時刻進行采樣來近似研究動態模型的不確定性分析問題，當然，也可以通過該方法將動態模型轉化為多維輸出模型，來實現對動態模型進行全局靈敏度分析。但是依據這樣的思路分析得到的結果往往會受到時間t的離散精度的影響，因此，需要針對動態模型的全局靈敏度分析作進一步研究。動態模型隨著時間t的變化而變化，本文提出的動態模型基于方差的全局靈敏度分析將動態模型輸出響應不確定性影響因素分解為：輸入變量單獨的影響、模型變化單獨的影響、輸入變量交互作用的影響、輸入變量與模型變化交互的影響。文中對各個不確定性影響因素的內涵進行了詳細分析，得到的輸入變量靈敏度指標的物理意義解釋與一維輸出Sobol 基于方差的全局靈敏度分析相同，只多了一維反映模型變化對輸出響應不確定性影響的量，因此，計算量方面與Sobol 基于方差的全局靈敏度分析相當，不會造成新的計算難度。

1 Sobol基于方差的全局靈敏度分析

假設所考慮結構系統的輸入-輸出關系可以由函數Y=g(X)來描述，其中X=(X1，X2，…，Xn)為n維相互獨立的輸入變量，Y為結構系統的一維輸出響應，輸入隨機變量Xi(i= 1，2，...，n)的概率密度函數表示為fXi(xi)，聯合概率密度函數表示為fX(x)。Sobol 基于方差的全局靈敏度分析以輸出響應函數的高維模型展開為基礎，如式（1）所示［15-17］。

其中

式中：E( · )為期望算子。

在輸入變量獨立的情況下，對式（1）兩邊求方差，可得：

其中

式中：Var( · )為方差算子；式（3）右端的各個方差項為部分方差貢獻；Vi為主方差貢獻，Vi1i2為二階方差貢獻，依此類推。

輸入變量Xi的總方差貢獻VTi定義為與Xi有關的各階方差貢獻的總和，即：

總方差貢獻也可通過式（6）進行計算：

式中：X-i為除Xi以外的所有輸入變量組成的向量。

式（3）表明，結構系統響應函數的方差可以分解為每個輸入變量的方差貢獻及它們之間交互作用的方差貢獻。其中，Vi表示輸入變量Xi獨自變化對輸出響應方差的貢獻，Vi1i2表示由于響應函數結構關系產生的Xi1與Xi2交互作用對輸出響應方差的貢獻，依此可以解釋高階的方差貢獻。總方差貢獻表示輸入變量Xi對輸出響應方差的總貢獻。用式（3）中的部分方差貢獻除以無條件方差V，可得到SOBOL 等定義的基于方差的全局靈敏度指標，其中主貢獻靈敏度指標（主指標）為：

總貢獻靈敏度指標（總指標）為：

主貢獻靈敏度指標反映了輸入變量Xi單獨作用時對輸出響應方差的貢獻（主影響）。而總貢獻靈敏度指標反映Xi對輸出響應方差的總貢獻（總影響），其中，除了包含Xi單獨的貢獻外，還包括由于功能函數結構形式而產生的Xi與所有其他變量的交互作用對輸出響應方差的貢獻。

依據主指標和總指標可以獲得輸入變量對輸出響應不確定性影響的重要性排序，對結構系統的分析設計以及概率安全評估等有著非常重要的指導意義。可以通過忽略重要性程度低的變量達到降低問題維度的目的，工程實際中往往可以大大簡化所考慮問題的復雜程度。重點考慮重要性程度高的變量，可以大大改善分析、設計、評估等工程實際問題的效率。

2 動態模型基于方差的全局靈敏度分析

2.1 動態模型方差分解

動態模型隨著時間t的變化而變化，從而導致模型輸出也隨時間的變化而變化，將模型輸出隨時間的變化定義為模型不確定性，即在動態模型中除了存在輸入變量的不確定性外，還存在模型變化引起的輸出響應不確定性。動態模型的模型變化不確定性是由時間t的不同取值而引起的，工程實際問題中一般通過對時間t進行均勻的離散化（不同時刻采樣）來處理動態模型不確定問題，分析發現這等于將時間t看做[t1，t2]區間上的均勻分布，因此動態模型的模型不確定性可以用時間區間[t1，t2]上的均勻分布變量來t描述，此時，可以得到動態模型輸出的方差分解，如式（9）所示。

其中

對比式（4）和式（9）可以發現，這里的方差分解式與式（4）形式上相同，但是需要注意這里的t是動態模型的時間參數，用來描述動態模型的模型不確定性。Vt是模型變化的主方差貢獻，它描述模型隨時間變化單獨作用時對動態模型輸出響應方差的影響，實際含義是瞬態輸出響應均值隨時間變化的變異性。VXi是輸入變量Xi的主方差貢獻，它是輸入變量Xi單獨作用時對動態模型輸出響應方差的影響。主方差貢獻VXi可以作進一步推導，如式（11）所示。

式中：VXi為輸入變量Xi對Et(Y)的主方差貢獻；Et(Y)為動態模型關于時間的平均模型；VXi，t為輸入變量Xi和模型不確定性的二階交叉貢獻，反映Xi和模型不確定性的二階交叉作用對動態模型輸出響應方差的影響，也反映Xi對瞬態輸出主效應隨時間變化的變異性。

VXi，Xj為輸入變量Xi和Xj對動態模型輸出響應方差的二階交叉方差貢獻，對其可以進行推導，如式（12）所示。

因此，二階方差貢獻VXi，Xj實際上也是輸入變量Xi和Xj對Et(Y)的二階交叉方差貢獻。

動態模型的模型不確定性的總方差貢獻定義為式（9）中部分方差與t有關的所有方差貢獻的加和，如式（13）所示。

也可通過式（14）進行計算為：

總方差貢獻是動態模型的模型不確定性對輸出響應方差的總影響，當總方差貢獻較小時，表明動態模型隨時間t的變化而變化較小。

輸入變量Xi的總方差貢獻定義為式（9）中部分方差與Xi有關的所有方差貢獻的加和，如（15）所示。

也可通過式（16）進行計算。

可以對其作進一步推導，如式（17）所示。

總方差貢獻是輸入變量Xi對動態模型輸出響應方差的總影響，通過式（17）的結論可以發現，實際上也是輸入變量Xi對每一瞬時輸出響應Y(t)的方差V[Y(t)]的總方差貢獻VX(Y(t)) -關于t的平均值。

2.2 準-方差貢獻及靈敏度指標

除了以上方差貢獻，根據實際問題分析的需要，定義準-方差貢獻為：

準-主方差貢獻Vi可以作如式（19）所示的推導。

由式（19）可知，Vi包含了主方差貢獻VXi和二階交叉貢獻VXi，t，通過式（19）的推導，Vi是輸入變量Xi對每一瞬時輸出Y(t)的方差V[Y(t)]的主方差貢獻VXi[EX-i(Y(t)|Xi)]關于t的平均值。類似的，由式（18）可知，Vij包含了二階方差貢獻VXi，Xj和三階方差貢獻VXi，Xj，t，同時，Vij是輸入變量Xi和Xj對每一瞬時輸出Y(t)的方差V[Y(t)]的二階方差貢獻關于t的平均值。

輸入變量Xi的準-總方差貢獻VTi定義為式（9）中所有與Xi有關的變量方差貢獻的加和（不包含與t有關的），如式（20）所示。

也可通過式（21）進行計算。

式中：為輸入變量Xi對動態模型關于時間的平均模型Et(Y)的總方差貢獻。

類似的，全局靈敏度指標定義為方差貢獻或準-方差貢獻與動態模型輸出響應方差V(Y)的比值，其中應用價值最高的是以下5類。

1）與模型不確定性的主方差貢獻Vt對應的靈敏度指標St反映模型不確定性對動態模型輸出響應方差的主影響，即瞬態輸出響應均值隨時間變化的變異性；總方差貢獻對應的靈敏度指標反映動態模型的模型不確定性，當= 0 時，模型不隨時間的變化而變化。

2）與主方差貢獻VXi對應的靈敏度指標SXi反映輸入變量Xi對動態模型輸出響應方差的主影響，也反映Xi對動態模型關于時間的平均模型Et(Y)的主影響。

3）與總方差貢獻對應的靈敏度指標反映輸入變量Xi對動態模型輸出響應方差的總影響，也反映輸入變量Xi對每一瞬時輸出響應Y(t)的方差V[Y(t)]的總影響的平均。

4）與準-主方差貢獻Vi對應的靈敏度指標Si反映輸入變量Xi對每一瞬時輸出Y(t) 的方差V[Y(t)]的主影響的平均。

5）與準-總方差貢獻對應的靈敏度指標反映輸入變量Xi對平均模型Et(Y)的總影響。

以上方差貢獻和靈敏度指標的具體計算方法與Sobol 方差貢獻及靈敏度指標計算完全相同，本文不再贅述。

3 算例分析

車橋通過懸架與車架連接，支承汽車大部份重量，并將車輪的牽引力或制動力，以及側向力經懸架傳給車架［18］。由圖1可知，在轉向橋中起主要承載作用的是前軸，主要承受彎矩和轉矩，作為汽車上重要的安保件，前軸的力學性能要求極高，因此，有必要對其進行靈敏度分析，降低前軸力學性能的不確定性，提高其魯棒性和可靠性。

工字梁結構由于彎曲強度高且質量輕，所以在前軸設計中得到了廣泛應用，如圖2 所示，危險橫截面位于工字梁部分。最大法向應力和剪切應力分別為σ=M/Wx和τ=T/Wρ，其中，M和T是彎矩和轉矩，并且它們是隨時間變化的，如式（22）～（23）所示。

圖2 工字梁前軸橫截面

式中：M0和T0分別為基礎彎矩和轉矩；z為連續動態因子，取值范圍是z∈[0，10]（與正弦和余弦函數一起使用時，以弧度為單位）。

Wx和Wρ分別為截面系數和極截面系數，如式（24）～（25）所示。

為了檢驗本例中前軸的強度，極限狀態函數可以表示為：

式中：σS為屈服極限應力。根據前軸的材料特性，屈服極限應力σS為460 MPa。

工字梁的幾何參數a，b，c，h和載荷M0和T0均為獨立正態分布變量，分布參數見表1。

表1 汽車前軸模型變量的分布參數

利用本文提出的動態模型基于方差的全局靈敏度分析，研究表1 中前軸模型變量對極限狀態函數輸出g的不確定性的影響，可以獲得主靈敏度指標、總靈敏度指標、準-主靈敏度指標和準-總靈敏度指標，見表2。準-主靈敏度指標Si和總靈敏度指標的柱狀圖，如圖3 所示；主靈敏度指標SXi和準-總靈敏度指標的柱狀圖，如圖4所示。

表2 汽車前軸模型全局靈敏度指標

圖3 主靈敏度指標和準-總靈敏度指標

圖4 準-主靈敏度指標和總靈敏度指標

根據全局靈敏度分析結果，可以得出以下結論：主靈敏度指標給出的變量重要性排序為T0＞c＞b＞a＞M0＞h，反映變量對平均模型Ez(g)的主影響程度；準-總靈敏度指標給出的重要性排序為T0＞c＞b＞a＞M0＞h，反映變量對平均模型Ez(g)的總影響程度；準-主靈敏度指標給出的重要性排序為T0＞c＞b＞a＞M0＞h，反映變量對每一瞬態輸出g(z)的主影響的平均；總靈敏度指標給出的重要性排序為T0＞c＞b＞a＞M0＞h，反映變量對每一瞬態輸出g(z)的總影響的平均。Sz≠0 表明g的瞬態均值隨著z值的變化而變化；表明模型g隨著z值的變化而變化。

依據以上靈敏度分析結果，可以對前軸強度極限狀態函數模型參數的不確定性影響關系有一個清晰的認識，本例中不同靈敏度指標反映出來的變量重要性排序基本一致，且其中基礎轉矩T0較其他變量表現出更大的影響，因此，在前軸的分析、設計中需要重點考慮其不確定性，以有效降低前軸強度的不確定性。

4 結論

本文在深入研究Sobol 基于方差的全局靈敏度分析基礎上，引入模型變化的不確定性，提出動態模型基于方差的全局靈敏度分析。

1）建立了動態模型基于方差的全局靈敏度分析，將輸出響應不確定性影響因素分解為：輸入變量單獨的影響、模型變化單獨影響、輸入變量各階影響、輸入變量與模型變化的交叉影響。

2）對動態模型方差貢獻進行了解析，詳細論述其反映的變量、模型及交叉對輸出響應不確定性的影響關系。

3）定義了準-方差貢獻，從反映的實際意義角度完善了方差貢獻及靈敏度指標，以汽車前軸強度靈敏度分析為例，闡述了5 類實用靈敏度指標的具體應用。