立足解析幾何本質教學

王娜

【摘要】解析幾何綜合問題是高中數學的重點內容，主要考查的是用代數方法來解決幾何問題，也是學生學習的難點內容.文章以2021年北京市高考第20題為例，談在課堂教學中如何引導學生從解析幾何本質的角度解決解析幾何綜合問題，用以突破解析幾何教學中的難點，培養學生的核心素養.

【關鍵詞】解析幾何；幾何特征；代數形式

解析幾何是數學發展過程中的標志性成果，是微積分創立的基礎.平面解析幾何部分隸屬“幾何與代數”單元，是高中數學課程的主線之一.幾何與代數的主要內容是用數、代數式、向量研究幾何圖形，在解析幾何的學習中主要是運用代數式運算、向量運算研究圓錐曲線的幾何特征、位置關系和度量關系.所以我們可以從三個角度來把握幾何與代數的主線：第一，整體把握幾何圖形研究對象，將平面解析幾何的重點放在對直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線的幾何特征的認識上.對平面解析幾何的研究的順序都是先研究單個幾何對象，而后研究幾何對象之間的關系.比如對圓的方程的研究就是先研究直線的方程、圓的方程，而后利用直線的方程、圓的方程研究直線和圓、圓與圓的位置關系.第二，整體把握幾何圖形研究的基本思想方法.解析幾何的研究方法主要是坐標法，即通過動點運動的軌跡抽象出圖形的幾何特征，分析幾何特征，再將幾何特征在直角坐標系中進行優化，結合具體問題建立合適的坐標系，用代數語言刻畫這些幾何特征與問題，借助幾何圖形的特點，通過將幾何特征轉化為對應代數形式，對代數形式進行幾何解釋，逐步形成解決問題的思維路徑，最終用代數形式的結果進行幾何解釋，從而解決問題.第三，整體把握代數基礎，包括數的運算、代數式運算、向量運算，以及一些隱形運算.平面解析幾何主要涉及的是代數運算，教師教學時要關注的是幫助學生在學習的過程中理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，選擇運算方法.

一、試題回顧

二、試題教學過程

從知識層面來看，題目考查的是橢圓和直線的位置關系，因此教師在教學過程中要用問題引導學生認識橢圓和直線以及位置關系的幾何特征，幫助學生逐步將幾何特征轉化為代數形式，再利用代數形式的結果進行幾何解釋.

對于題目的解決，教師可以設置如下問題.

問題1：求橢圓方程需要知道哪些量？這些量有哪些幾何特征？

設計意圖：讓學生認識到橢圓曲線幾何特征和橢圓方程代數表示的對應關系，體會方程和曲線之間的幾何特征和代數形式的對應關系.

從本題來說，通過對橢圓的幾何特征的認識，學生可以意識到求出a，b，c中的兩個量即可求出橢圓方程.在利用代數方法解決問題的過程中，需要兩個方程來解決問題.a，b，c在橢圓曲線上都有具體的幾何特征，學生在曲線的方程和方程的曲線的對應中，可以發現點A（0，-2）即為短軸的端點，而另一個方程的找尋過程就是對“以四個頂點圍成的四邊形面積為45”的代數化過程，同樣通過橢圓中a，b的幾何特征的解釋，就可以得到代數化的式子：2ab=45.通過對橢圓方程中的a，b的幾何特征和代數形式的對應關系的認識，學生可以順利解決求橢圓方程的問題.

問題2：經過點P（0，-3）的直線l斜率為k，如何用代數形式表示？直線有哪些特征？能得到哪些幾何結論？如何用代數形式表示？

設計意圖：通過對直線方程的幾何特征和代數形式的認識，引導學生將幾何特征轉化為代數形式，利用代數結論解釋幾何圖形的性質.

具體來說，學生通過對不同形式的直線方程的幾何特征的認識，選擇利用點斜式寫出直線BC的方程y+3=kx，通過分析題目中直線的幾何特征發現直線BC的斜率一定存在，說明B，C兩點不能與橢圓的上、下頂點重合，同時可以發現直線BC在繞著點P（0，-3）旋轉的過程中，在與橢圓有兩個交點B，C的情況下，其斜率k是有限制的，從而利用橢圓方程與直線方程聯立求得k成立的取值范圍.

設計意圖：通過引導學生利用圖形表示直線方程，幫助學生將題目中點M，N的幾何特征轉化為代數形式，即將點M，N代數化.

設計意圖：通過問題引導學生從幾何圖形上找尋幾何特征，并進行相應的轉化，從而得到代數形式.

具體來說，學生會通過畫圖找到PM，PN的具體位置，并嘗試對兩條線段的和小于等于15進行其他的幾何形式的轉換，但是相應的轉化都沒有得到比表示出PM，PN線段的長度后直接相加更簡單的幾何特征.但是這一步是不可缺少的，幾何特征的互相轉化，轉化的過程若能化繁為簡，則對應的代數形式的表示也會變得簡單，計算量也會相應減少.比較典型的是肖海英的《新高考背景下的解析幾何問題解題策略探究———以2021年高考數學新高考卷Ⅰ第21題為例》中2021年高考數學新高考卷Ⅰ第21題的解法3就是對幾何特征的轉化.

三、教學反思

解析幾何的產生是為了使直觀形象的“形”能借助抽象精準的“數”進行計算，其源頭是坐標平面上的點與有序數對的一一對應.解析幾何的教學也要遵循這樣的原則，教師要讓學生分析每一個幾何特征，引導學生將幾何特征化繁為簡地表示為代數形式，在幾何特征和代數形式互相轉化的過程中，發現幾何圖形的特征，逐漸形成解決問題的思維，再通過幾何直觀和代數運算的互相轉化，得到結果，給出幾何解釋.比如，在解決上述問題的過程中，教師通過問題讓學生先分析單個幾何對象的幾何特征，即分析直線、橢圓的幾何特征，而后分析幾何對象之間的幾何特征，即直線和橢圓交點的幾何特征，引導學生將這些幾何特征轉化為代數形式.可以發現，解決問題的過程并沒有按照所謂的套路“將直線方程和曲線方程聯立，然后表示出判別式、兩根和、兩根積”，而是根據幾何特征代數化的需求逐步實現的.在完成了前述四個問題的過程中，學生就可以整理出解決問題的思維路徑，進行幾何直觀和代數運算的轉化，得到代數運算結果，并對應了幾何解釋.同時，對于幾何特征的分析要全面，比如“點M，N在y軸左右兩側的情況是對稱的”在結果中也是有體現的，也是驗證結果是否正確的依據.

總之，在解析幾何的教學過程中，教師所謂的通性通法應該處處體現的是解析幾何本質.教師如果在教學中讓學生理解幾何特征和代數形式，并在研究問題的過程中不斷加深理解，就能讓學生在解決解析幾何問題的過程中有法可依，增強解決問題的信心，同時在解決問題的過程中逐步培養學生的數形結合、化歸轉化等意識，最終培養學生的核心素養.

結束語

數學學科教學的根本任務是發展學生的思維，數學核心素養說到底就是學生在面對沒見過的問題的時候如何想到解決的方法.因此，教師要引導學生從基本概念、基本原理及其聯系性出發思考和解決問題.在數學教學中，教師要關注數學學科本質的教學，讓學生體會數學學習的目標不僅在于數學概念、數學定理的積累，更在于形成這些概念和定理背后蘊含的一般觀念、一般方法和思維過程，真正提升學生的數學素養.

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