類比法在初中數(shù)學解題教學中的應用技巧

楊梅

【摘要】數(shù)學是一門實用性較強且較為抽象的學科，對學習者的邏輯思維能力具有較高要求.現(xiàn)階段在初中數(shù)學解題教學中，大部分學生缺乏完善的思維體系，在解題時思路較為混亂，因而導致其學習成績遲遲無法得到提升.為幫助學生掌握良好的解題技巧，文章對類比法在初中數(shù)學解題教學中的應用意義進行了總結，從結構化類比、模式化類比、特殊化類比、跨學科類比、降維化類比等角度出發(fā)，闡述了類比法的實際應用策略，旨在為學生搭建良好的學習生態(tài)環(huán)境，讓學生通過類比梳理解題思路，養(yǎng)成良好的解題習慣，提高自身問題解決能力.

【關鍵詞】類比法；初中數(shù)學；解題技巧；教學策略

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》中指出，幫助學生建立數(shù)學對象之間，數(shù)學與現(xiàn)實世界之間的邏輯聯(lián)系，構建數(shù)學邏輯體系是初中數(shù)學教學中的核心任務.由此可見，培養(yǎng)學生思維能力已經(jīng)成為廣大教師關注的重點.教師應充分關注類比法的應用價值，幫助學生突破固有學習思維模式，促進自身多元發(fā)展，通過解題訓練深入感受知識的本質，從而有效提高學生的解題能力，構建更加完善的知識體系.

一、類比法簡介

由兩類對象具有的某些相近特征和其中一類對象的已知特征所推理出的另一類對象也具有此種特征的推理被稱之為類比.例如學生在數(shù)學學習中通常會經(jīng)歷推測與聯(lián)想，這種學習行為便是類比思想從特殊到一般的體現(xiàn).學生可以根據(jù)兩個對象之間的相似屬性，猜測它們之間所存在的關聯(lián)，進而通過類比尋求解決數(shù)學問題的新方法與新途徑.

二、類比法在初中數(shù)學解題教學中的應用意義

類比是一種對某些方面存在相似性的不同個體的對比、引申、演化推理活動.“解題”是初中數(shù)學教學中的重點內容，通過解題訓練能夠幫助學生掌握解題技巧，避免學生在考試或練習中出現(xiàn)低級錯誤，在潛移默化中幫助學生養(yǎng)成良好的學習習慣，從而助力其學習水平的提升.首先，將類比法引入初中數(shù)學解題教學能夠有效幫助學生獲得解題靈感及思路，讓學生在趣味化的解題過程中，提高自身創(chuàng)新能力.借助兩種事物之間的相似之處進行推理，在提高解題效率的同時，也能夠幫助學生通過長期訓練養(yǎng)成獨立自主的探究習慣，有效促進其核心素養(yǎng)的發(fā)展.其次，類比法能夠進一步促進學生對知識的全面理解.在這樣的解題過程中，學生經(jīng)過推理，會發(fā)現(xiàn)自己在過往知識學習中存在的漏洞，不斷完善，并通過類比搭建新舊知識之間的橋梁，構建更加完整的知識體系.最后，利用類比法進行解題教學，區(qū)別于傳統(tǒng)機械刻板的課堂講授，能夠充分激發(fā)學生的主觀能動性，有助于其從多角度更為全面地對數(shù)學問題進行思考，進而有效實現(xiàn)思維品質的發(fā)展.

由此可見，類比法對提高初中數(shù)學解題教學質量，促進學生核心素養(yǎng)的發(fā)展具有積極作用.因此教師要充分挖掘數(shù)學知識之間的內部聯(lián)系，在開展解題教學的過程中，為學生滲透類比思想，引導學生借助類比優(yōu)勢提高解題質量，在長期訓練中養(yǎng)成良好的思考習慣，有效提高自身學習能力，為后續(xù)深度學習奠定堅實基礎.

三、類比法在初中數(shù)學解題教學中的應用技巧

如何發(fā)揮類比法的優(yōu)勢幫助學生順利提高解題質量，已經(jīng)成為廣大教師所關心的焦點問題.筆者結合多年實踐教學經(jīng)驗，對類比法在初中數(shù)學解題教學中的應用技巧進行解讀，并提出合理化建議，以供廣大教師借鑒參考，共同推動初中數(shù)學教學的可持續(xù)發(fā)展.

（一）結構化類比，探求數(shù)學解題本質

在傳統(tǒng)的解題教學過程中，大部分教師通常會采用理論知識講授的教學方法，反復強調此道題目中所蘊含的公式、定理，忽視了知識點之間的內在聯(lián)系，并未引導學生采用類比的方式開展訓練.為解決這一問題，教師可以在解題教學中采用結構化類比的方式，引導學生基于問題的結構特征，將其轉化、引申為自己較為熟悉的題目，并進行比較，從中獲取解題靈感，探究題型結構，追尋數(shù)學解題的本質.

以北師大版八年級上冊“勾股定理的應用”這一課的教學為例，在課程開始前教師首先帶領學生回顧勾股定理的定義，喚醒學生的已有學習經(jīng)驗.在活躍的課堂氛圍下，教師提出了這樣的一道例題：

例1 如圖1，已知AB=3，BC=7，AC=5，那么∠A的值為多少？

解題思路：在已知三邊長度后，此類問題可以采用正弦或余弦定理輕松解決.然而這對于初中剛接觸勾股定理學習的學生而言較為困難，許多學生都不知該如何入手.這時，教師可以采用結構化類比的方式，引導學生嘗試思考，結合直角三角形知識，將∠A與直角聯(lián)系起來.在教師的引導下，學生先延長BA作輔助線，再過C點作BA延長線的垂線，設垂足為點D，并將AD的長設定為x，如圖2.

設計說明：上述例題中，學生由于并未接觸過正余弦定理，難以順利完成解題.教師借助結構化類比的優(yōu)勢，引導學生將難以求解的圖形類比為已經(jīng)學過的直角三角形，從而通過直角三角形知識以及勾股定理解決問題.

如上，結構化類比的方式能夠幫助學生建立知識點之間的內部聯(lián)系，尋找部分關聯(lián)或結構相似的問題，讓學生在比較和分析中，求出答案，感受類比在解題過程中的應用優(yōu)勢.

（二）模式化類比，尋找數(shù)學解題路徑

區(qū)別于結構化類比，模式化類比是指根據(jù)待解決問題的表象，尋找可以類比的相同性質的問題，其關聯(lián)表現(xiàn)在解題方法以及解題策略上，例如最為常見的行程問題及工程問題.在模式化類比的導向下，教師可以帶領學生在解題過程中進行總結與概括，尋找最優(yōu)解題路徑，通過模式的類比感受數(shù)學知識之間的內部聯(lián)系.

以北師大版八年級下冊“不等式的解集”這一課的教學為例，在教學環(huán)節(jié)，教師搜集資源后向學生分享了這樣的一道競賽題目：

設計說明：此道題目具有一定的難度，學生需要根據(jù)問題的表象尋找可類比的相同性質的問題，此題中表象為不等式的關系，將其與一元二次方程進行類比創(chuàng)建不等關系，能夠幫助學生求得問題的答案，找到解決問題的最優(yōu)路徑.

如上，模式化類比的引入能夠幫助學生建立更為完整的知識體系，讓學生在總結與概括中掌握解題模式，從而最大限度地提升自身的解題質量，實現(xiàn)學習能力的提升與發(fā)展.

（三）特殊化類比，捕獲數(shù)學解題靈感

特殊化類比是將原命題中較為復雜的元素進行精簡，運用多維化的訴求方式將復雜問題類比為簡單問題進行求解的一種方法.在傳統(tǒng)的解題過程中，部分教師為學生提供的題目信息較為復雜，且由于新高考改革，類似于情境化的試題也隨之增多，部分思維能力較弱的學生在解題過程中極易受到復雜的條件線索的影響從而降低解題質量.因此教師可以采用特殊化類比方法，引導學生簡化問題內容，捕獲數(shù)學解題靈感，提高自身解題水平.

以北師大版九年級下冊“弧長及扇形的面積”這一課的教學為例，通過本單元的學習，學生已經(jīng)進一步掌握了弧長公式以及扇形面積的表達方法.結合本章重點內容，教師為學生帶來了這樣的一道例題：

例3 如圖3，在Rt△ABC中，已知∠ACB=90°，AC=8，BC=4，分別以AC，BC為直徑畫半圓，則圖中陰影部分的面積應為多少？

設計說明：此類題目能夠幫助學生在鞏固扇形面積計算方法的同時，有效幫助學生復習三角形的面積相關知識.將原命題中較為復雜的內容化簡，能夠使學生輕松求得問題答案.教師通過特殊化類比的化簡方法，能夠有效培養(yǎng)學生的思維能力，幫助其在解題過程中養(yǎng)成舉一反三的良好習慣.

如上，教師通過特殊化類比的方式能夠有效幫助學生捕獲數(shù)學解題靈感，讓學生在類比的過程中提高自身思維能力，構建新舊知識之間的聯(lián)系，更好地實現(xiàn)核心素養(yǎng)的提升.

（四）跨學科類比，開闊數(shù)學解題視野

設立跨學科主題學習活動，加強學科間相互關聯(lián)，帶動課程綜合化實施，強化實踐性要求，是當前初中數(shù)學教育改革的大方向.在進行類比解題教學的過程中，教師要及時突破自身固化思維模式，注重數(shù)學知識與其他學科的關聯(lián)，為學生設計內容、形式豐富多樣的數(shù)學例題，促使學生在類比的過程中找尋知識內所存在的同一性與關聯(lián)互補性，進而有效拓寬學生的解題思路，幫助其在掌握數(shù)學知識的同時了解更多豐富的學習內容.

以北師大版八年級上冊“一次函數(shù)的應用”這一課的教學為例，結合本章學習內容，教師將數(shù)學與物理知識進行融合，為學生帶來了這樣的一道例題：

例4 已知甲、乙兩地相距300km，一輛貨車和一輛轎車先后從甲地出發(fā)前往乙地，如圖5，線段OA表示了貨車離甲地的距離y與時間x的函數(shù)關系，折線BCDE則表示了轎車離甲地的距離y與時間x的函數(shù)關系.根據(jù)圖像內容，回答以下問題：

（1）線段DE對應的函數(shù)解析式；

（2）計算轎車從甲地出發(fā)后需要經(jīng)過多長時間才能夠追趕上貨車.

解題說明：此類問題為路程問題，學生需要結合所學物理知識進行求解.首先觀察第一個問題，教師引導學生結合物理知識進行類比可知，行程問題中路程=速度×時間，根據(jù)對圖像內容的觀察可知橫軸為時間、縱軸為路程，通過對D點坐標以及E點坐標的分析，教師可以引導學生類比待定系數(shù)法，設DE所對應的函數(shù)解析式為y=kx+b（2.5≤x≤4.5），在確定D點坐標后代入求解，得出線段DE對應的函數(shù)解析式.在第二個問題的求解過程中，教師同樣要指導學生基于問題的關鍵信息尋找其與所學知識的聯(lián)系，類比待定系數(shù)法求出OA的解析式y(tǒng)=60x（0≤x≤5），再繼續(xù)解題即可.

設計說明：跨學科類比的方式能夠幫助學生進一步鞏固物理中所學的路程知識，深化對理論知識的理解.與此同時，將其融入數(shù)學題目，能夠幫助學生開闊數(shù)學解題視野，借助其他學科的特性類比，有效提高學生的解題能力，實現(xiàn)類比教學的真正目標.

如上，跨學科類比的方式能夠幫助學生在掌握數(shù)學知識的同時，了解數(shù)學與其他科目的關聯(lián)性，更好地適應此類情境化試題的解決方法，為后續(xù)參與中考、高考做好準備.

（五）降維化類比，突破數(shù)學解題難點

降維化類比能夠幫助學生簡化問題所運用的知識，降低思考的難度.從近年來的中考題型中不難發(fā)現(xiàn)，其所呈現(xiàn)的問題更加注重對學生核心素養(yǎng)的檢測，學生不僅要具備良好的知識能力，還要具有對題目線索、題目信息的分辨能力.目前，部分教師在集體教學中仍舊過于重視對學生知識能力的培養(yǎng)，忽視了對其思維能力的訓練.為解決這一問題，教師應充分發(fā)揮類比法在數(shù)學解題過程中的重要價值，幫助學生掌握化簡技巧，運用類比手段降低題目難度，幫助學生更好地理解數(shù)理概念的內部關系.

設計說明：此道題目的重點在于類比化簡，學生需要細致閱讀題目線索，找出其內在聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)每個加數(shù)都可以分裂為兩個數(shù)的差，最終相互抵消求出正確答案.

如上，降維化類比的方式能夠有效降低題目難度，在后續(xù)幾何學習中應用此種方法能夠在極大程度上提高學生對于知識的理解程度，對提升解題教學質量具有積極的促進作用.

結 語

綜上所述，在初中數(shù)學解題教學中應用類比法，能夠啟發(fā)學生的類比推理、知識遷移思維，對于增進學生對知識的理解、提高學生的綜合應用能力有著積極意義.因此，教師應充分關注類比法的重要教學價值，在解題教學中滲透類比思想，幫助學生通過訓練養(yǎng)成良好的類比習慣，找尋各知識點之間的內部聯(lián)系，從而更好地實現(xiàn)自身解題能力的提升與發(fā)展，有效實現(xiàn)高效解題課堂的構建.

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