小學高年級數學“問題解決”之“行程問題”的課堂教學探討

陳歡

【摘要】行程問題是令很多小學生望而生畏的難題，為了讓學生完全掌握行程問題的解題思路，文章從多個角度闡述了行程問題的特點，并講解了該問題的解題技巧.在闡述解題思路的過程中，筆者結合追及問題、相遇問題等實際生活中可能發生的例子，以速度、路程和時間的相對關系作為切入點，探析問題的本質，講述解題思路和技巧，在具體教學過程中采用圖表結合的教學手段，讓學生明白行程問題的關鍵因素，即物體運動的路線、速度、時間和路程等相對關系，加強學生對行程問題的理解，從而提高行程問題的教學效果和教學質量.

【關鍵詞】行程問題；多角度；小學數學

行程問題是小學數學課程中的難點問題，也是非常重要的一類數學問題.行程問題是從實際生活中抽象出來的數學問題，因此行程的計算具有明確的應用背景，非常貼合實際生活.解決行程問題需要一定的抽象能力，但是小學生的抽象思維還沒有得到充分開發，所以對大部分小學生而言，行程問題是一類很難的數學問題，他們甚至沒有任何解題的思路.因此，教師在教學過程中需要從多角度切入，帶領學生分析關鍵的變量因素，逐漸培養學生的抽象思維，讓他們掌握相關問題的解題思路，進而做到舉一反三.

為了讓小學生面對行程問題時不再束手無策，筆者從行程問題的本質出發，先分清路程、速度、時間三者之間的相對關系，再輔以行程圖，從多個角度入手，梳理行程問題中的變量關系，優化該問題的解題思路.教學實踐表明，不同的學生傾向于使用不同的解題方法，因此從多個角度給小學生講解行程問題，可以讓他們找到最適合自己的方法和思路，有助于提升整體的教學效果.

一、小學生在行程問題中的學習障礙

根據小學數學教學實踐及學生對行程問題的理解情況，筆者將行程問題的學習障礙歸納為以下三種.

（一）行程問題種類繁多

行程問題具有較多的種類，單一性的基礎行程問題包括相遇問題、直線追及問題、環形追及問題、過橋問題等.多種情況復合的行程問題包括與往返相結合的卡車運貨問題、與走走停停相結合的問題.拓展性的行程問題包括最短或最長路線問題、效率問題，等等.因此，行程問題可能涉及一個或者多個物體的運動，與簡單的完成工作量問題不一樣，工作量通過工作效率與工作時間相乘就能算出，行程問題則要考慮多個物體之間的相對關系，抓住關鍵的點.而每種行程問題的關鍵點并不一樣，加上小學生的抽象思維還沒有得到充分開發，導致其對抽象問題的理解能力不強，使得行程問題成為他們學習之路上的攔路石.

（二）行程問題是一個動態變化的問題

行程問題在本質上是經過速度和時間累積效應后，反映物體之間路程的變化的問題，這個變化是動態的變化，而不是靜態的.因此，行程問題需要學生針對每個物體的運動情況，進行演繹和推理，而且行程問題涉及多種類型，每種類型都有著不同的考查重點.對抽象思維能力較弱的小學生而言，較難理解，特別是多種情況復合而成的行程問題，可能涉及多個物體的運動，而且每個物體的速度不同，因此它們之間的路程和時間等關系就變得復雜，導致學生難以掌握它們的關鍵點.

（三）在行程問題中融入了奧數等較難的知識

有些行程問題融合了奧數中的相關知識與方法.對于大部分小學生而言，行程問題本身就較難，再融入奧數知識，難度系數猛然加大.面對這類題目，大部分學生都一籌莫展.

二、行程問題的多角度切入教學

為了讓學生理解行程問題的本質，教師在教學的過程中需要使用多種教學手段，從多角度切入教學，讓學生把行程問題學好.在行程問題教學之前，學生已經掌握了三位數的乘法，對路程、時間及移動速度具有一定的認識和理解.教師在教學行程問題的過程中，首先要為學生樹立學習的決心和信心，其次要在教學的過程中涵蓋所有的題型并講解對應的思路以及關鍵問題，最后讓學生從簡單的問題入手，去發現規律并利用規律解題，從而徹底“征服”行程問題.

（一）從實際問題切入，模擬行程問題的情境

基本的行程問題源于實際生活，復雜的行程問題是從中抽象和提升并經過演化和改進形成的，對基本行程問題進行了拔高，具有更加抽象的特征.因此教師在給小學生講解行程問題的時候，可以將行程問題和實際問題相結合，使抽象問題具體化，讓學生根據實際生活經驗理解行程問題，從而提高教學質量.

如兩艘船在江水中的追及問題：“船A在靜水中的最大行進速度是每小時32千米，船B在靜水中的最大行進速度是每小時35千米，船A和船B在江中行駛，船A順流而下，船B逆流而上，它們的距離是20千米，江中的水流速度是每小時2千米.在兩船都以最大速度行駛的情況下，需要多長時間相遇？相遇時各行駛了多少千米？”在這個問題中，計算相遇時間時需要計算兩船的速度之和，而江水流速對兩船的速度是一增一減，因此可以不考慮江水的速度，直接用船A和船B在靜水中的速度之和以及它們的距離計算相遇的時間.但是在計算船A和船B各自行駛的路程時，則需要考慮水流速度，船A的速度加上江水的速度，再乘相遇的時間即可得到船A路程，船B的路程可以用總的距離減去船A的路程得到.當學生不理解船只行駛的相遇問題時，教師可以讓四名學生上臺演示，兩名學生相向而行，模擬船只的航行；另外兩名學生通過向前推和往后拉的方式，模擬水流對船只的影響，從而讓學生更容易理解河流中船只的追及和相遇問題.

（二）從審題切入，培養學生的理解能力

審清楚題目是正確做題的前提，行程問題也一樣，學生必須完全理解題目的意思，理解每個物體在行程問題中發揮的作用，才能理順思路，知道如何解題.如在上述船A和船B的相遇問題中，學生在審題過程中必須清楚水流的作用，它對順流的船只起到加速的作用，對逆流的船只起到減速的作用.但是水的流速，在計算時間方面其實是不起作用的，如相向而行時，計算時兩船的速度影響可相互抵消，水流對兩船速度的影響分別是一增一減，由水流造成的速度之和為零.若兩船是同向行駛，計算它們相遇的時間主要考慮的是兩船的速度差和距離，水流對兩艘船的作用都是增速或者減速，其速度差為零.因此在計算相遇時間時，可以不考慮水流的速度；在計算各自行駛的路程時，才將水流速度納入考慮范圍.學生如果理解了水流速度的作用，就能更加清楚地理解這種行程問題.

（三）繪制行程圖，培養學生的抽象思維

行程問題是一個動態問題，當涉及多個物體的相對運動時，教師可以教會學生使用行程圖幫助理解.行程圖能夠再現物體運動、變化的軌跡，幫助學生分析問題，同時可以激發和培養他們的創新能力.

行程問題一般都與物體的運動有關，因此行程圖包括物體的位移、速度等變量，而速度不僅有大小，還有方向，應該用向量表示.因此，一幅完整的行程圖包括物體、速度大小、速度方向等.學生繪圖時應該堅持以下幾個原則：（1）認真審題，準確分析題目的意思，明確各物體之間的相對關系，清晰地掌握速度等參數及其和問題之間的聯系；（2）在完成審題的基礎上繪圖，繪圖的過程中應一邊讀題一邊畫圖，兼顧每個物體的速度等關系，根據它們的條件合理繪圖；（3）行程圖應該清晰，利用粗細不一的線條或者虛實線等方式進行區分，防止混淆多個物體的運動情況.

（四）從路程、時間和速度這三個關鍵因素切入

行程問題表面上涉及的是路程的相對變化，但路程的變化是由速度和時間的累積效應造成的，因此，其實質是速度和時間共同作用的結果.在實際解題過程中，教師可引導學生從路程、速度和時間這三個因素中選擇一個或者兩個關系最簡單的作為主線，完成它的計算后，再計算其他因素，從而使整個問題簡單化.例如前面提到的行船問題，其時間關系是最為簡單的，不受水流速度影響，根據船A和船B在靜水中的速度和以及它們的距離直接求取時間，然后利用時間分別求取船A和船B的路程.因此，審題過程中，從最簡單的因素著手有助于快速解決問題.

三、行程問題的解法及優化

行程問題通常包括以下幾種情況或由這些基本情況衍生而來：（1）追及問題，這類問題不僅包括簡單的一次、多次追及或者相遇問題，也可以衍生出流水中行船的相遇和追及問題；（2）變速變道問題，這類問題需要綜合用到比例、分段、分步等多種手段；（3）火車過橋或者涵洞問題；（4）發車問題；（5）時鐘問題（循環路徑下的相遇和追及問題）；（6）接送問題.

（一）常用的五種解題方法

一般情況下，針對行程問題有五種解題方法：（1）公式法，利用基本公式及其變形，根據題目推理路程和速度、時間之間的關系，直接利用公式計算答案；（2）圖示法，圖示法通常是一種輔助的方法，但是它能夠幫助學生將復雜的問題清晰地展示出來，使學生更容易理解運動的過程，從而更容易解題；（3）比例法，在理解問題的基礎上，利用比例關系可以直接求取結果；（4）分段法，在物體的運動速度是變速的情況下，應該把加速、減速階段和勻速階段分開，最后把結果合起來計算；（5）方程法，針對關系特別復雜的情況，直接用公式或者比例難以求解，可以根據某個關系列出方程順利求解.教師在課堂上講解行程問題時，可以把解題方法和實際問題結合起來.

在實際運用的過程中，這五種基本方法可以相互組合，圖示法通常是基礎，學生應該掌握好，并在此基礎上將公式法、比例法、分段法、方程法等組合起來，解決復雜問題.

（二）行程問題的優化方法

在解決行程問題的過程中，學生應該抓住它們的相對關系進行優化，從而快速地解決問題.例如前面提到的行船問題，兩艘船相向或者同向而行，水流對兩艘船相遇時間的綜合影響為零，因此可以不考慮水流的速度，直接由船A和船B在靜水中的速度計算時間，從而快速實現時間的計算，然后考慮水流速度，計算路程.

因此，對于復雜的行程問題，教師可引導學生將其優化成多個基礎的行程問題再加起來，并在計算的過程中先計算較為簡單的變量，最后計算復雜的變量.

結 論

行程問題涉及路程、速度和時間的動態變化，對小學生而言是比較復雜的問題.學生應該首先掌握基本的行程問題，然后在此基礎上學習復雜的行程問題.復雜的行程問題可以分解為簡單行程問題的組合，或者變換一個角度，將復雜的行程問題用簡單的方式解決.在解題過程中，學生應該結合實際問題進行推演，在認真審題的基礎上，繪制行程圖幫助理解.行程問題中，物體的路程、速度和時間是解題的關鍵因素，學生應該緊密圍繞這三個關鍵的因素，分析它們的變化規律，從而找到正確的解題思路，用簡單的辦法解決復雜的問題.

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