基于動剛度法的軌道車輛型材結構聲振特性仿真分析

汪宏楠，肖新標，徐治強，周順元，趙明花*,,2

基于動剛度法的軌道車輛型材結構聲振特性仿真分析

汪宏楠1，肖新標1，徐治強1，周順元1，趙明花*,1,2

（1.西南交通大學 牽引動力國家重點實驗室，四川 成都 610031； 2.國家高速列車技術創新中心，山東 青島 266111）

軌道車輛型材結構聲振特性仿真分析通常采用數值方法，計算成本較高。本文將型材結構等效成正交各向異性板，基于動剛度法建立了正交各向異性板的動剛度振動模型，計算分析了正交各向異性板的固有頻率和模態振型，以及強迫振動下的振動響應，并驗證了計算結果的正確性。接著基于Rayleigh積分公式將動剛度振動模型與空氣流體耦合研究了型材結構的聲輻射特性，并將等效模型的輻射聲壓和輻射聲功率與混合有限元-邊界元模型計算出來的結果進行了對比。計算對比結果表明：該方法可為有效預測型材結構振動聲輻射特性提供指導。

動剛度法；Rayleigh積分；型材結構；正交各向異性板；振動；聲輻射特性

近年來，我國的軌道交通發展迅速，截止2021年底，我國高鐵運營里程已達4萬多公里，穩居世界第一[1]，同時城市軌道交通已開通283條線路，運營總里程達到8939公里[2]，大大提高了人們的生活質量。同時人們對乘車舒適度越來越關注，車內噪聲就是衡量乘車舒適度的重要因素之一。車輛運行時噪聲源眾多且傳播路徑復雜，結構傳聲是各類噪聲源傳播至車內的主要途徑之一[3]。目前，在車輛設計之初精準高效地預測型材結構聲振特性，可縮短設計周期并減少設計成本，對實際工程應用中減振降噪具有重要意義。型材結構復雜，很難通過解析解來研究其聲振特性，需要計算成本較大。

Kim等[4]基于有限元法分析了鋁型材結構的聲振特性。對于任何復雜的幾何結構，有限元法都可以描述結構和聲的相互作用，但是隨著分析頻率的增加，網格需要越來越精細化，網格數量極劇增加，將造成計算時間成本增加。因此有限元法更適合低頻。由于系統中頻區段的模態密度不是很大，可以將確定性方法和非確定方法結合起來形成混合FE-SEA法。Langley等[5]提出了混合FE-SEA法，通過子系統間振動能量互換原理，分析子系統間的相互動態響應。Orrenius等[6]基于FE-SEA混合法建立了頂板鋁型材結構的聲振預測模型并分析了其聲振特性。但混合FE-SEA法計算鋁型材結構聲振特性時間成本仍然很大。Xie等[7]基于SEA原理建立了鋁型材結構的聲振預測模型，并分析了鋁型材結構的聲振特性，雖然計算時間成本大大減少，但SEA僅適用于子系統模態密度大于5的高頻段，只能給出子系統聲振特性參數的平均響應。

近年來，動剛度法由于其較高的計算效率被廣泛應用于工程結構振動[8]。目前為止，國內外學者已經推導出各種板的面外或面內振動的動剛度矩陣。最早Wittrick等[9]利用動剛度法基于經典的薄板理論推出了板的動態剛度矩陣，并計算了其固有頻率。Langley等[10]推出了包含面外和面內振動的四邊簡支板的動剛度矩陣。Banerjee等[11]通過求解板自由振動雙調和方程推出了矩形板的動剛度矩陣，并分析了不同邊界條件下矩形板的固有頻率和模態振型。Ghorbel等[12-13]基于Kirchhoff薄板理論利用Levy級數和Gorman分解分別推出了正交各向異性板面外振動和面內振動的動剛度矩陣。Wei等[14]利用廣義疊加法求解板面外振動和面內振動的控制方程，并推出了考慮任意邊界條件包含面外振動和面內振動矩形板的動剛度矩陣。Li等[15]利用投影法克服力和位移的空間依賴性，推出了包含面外振動和面內振動耦合板的動剛度矩陣。周平等[16]推出了帶有加強筋的Mindlin板的動剛度矩陣，分析了四邊加筋矩形板的固有頻率、響應以及振動能量。

動剛度法通過結構的運動控制方程可以得到結構的動剛度矩陣，給出板結構運動的解析解。動剛度法無需隨著頻率增加而細化網格，將節省計算成本[14]。

姚丹[17]基于等效原理，將車體鋁型材結構等效成均質正交各向異性板，可以大大縮短車輛型材結構聲振特性的計算時間，并驗證了等效模型的可行性。因此，利用動剛度法直接對型材結構等效模型正交各向異性板建模分析，將進一步降低型材結構聲振特性的計算成本。

本文以動剛度法為理論基礎建立了軌道車輛型材結構等效模型正交各向異性板的動剛度振動模型，計算了正交各向異性板強迫振動下的位移響應，并基于Rayleigh積分公式獲得正交各向異性板的聲振特性。通過算例分析驗證了模型的可靠性。

1 振動響應模型

如圖1所示，均質正交各向異性矩形薄板嵌在無限大剛性障板上。其中，薄板的尺寸為×，厚度為，密度為，板阻尼損耗因子為。符號標記的邊為簡支邊界條件，符號標記的邊為自由邊界條件。

圖1 正交各向異性板示意圖

基于Kirchhoff薄板理論，不考慮剪切變形與轉動慣量的影響以及板的面外運動和面內運動互不耦合的假設前提下，薄板的面外運動和面內運動的控制方程為[18]：

式中：、和分別為、和方向的位移；E和E分別為兩個正交方向的彈性模量；μ和μ和分別為主次泊松比。

簡支邊（＝0,＝）的邊界條件為＝0,＝0。因此，面外運動和面內運動可以用Levy級數形式表示為[15]：

將式（3）代入式（1），得：

式中：A、U和V為未知常數；k和λ為面外波和面內波波數。

因此，板的面外運動和面內運動可改寫為：

自由邊（＝0,＝）上力和力矩的表達式為：

自由邊（＝0,＝）上位移向量和力向量為：

式中：下標1表示自由邊（＝0），下標2表示自由邊（＝）。

將式（7）寫成矩陣形式[13]：

式中：和為位移矩陣和力矩陣；為系數向量。

為了避免數值上的問題，板的固有頻率為式（11）最大值所對應的頻率[19]：

板模態振型可通過求解下面的齊次方程得到[19]：

2 聲輻射響應模型

如圖2所示，假設板嵌在無限大剛性障板上，向充滿流體介質的半空間（＞0）輻射聲，忽略流體載荷的影響。聲場中任何場點聲壓可由Rayleigh積分求得[20]：

θ為測點與原點連線和xoy平面之間的夾角；φ為測點與原點連線在xoy平面內投影與x軸之間的夾角；r為板上任意位置（x0, y0, 0）到聲場點的距離；r0為聲場點p距原點的距離；F0為單位力激勵。

圖2 聲輻射模型

對于聲場點p，r0遠大于板的幾何維度，r與r0的漸進關系為[21]：

（14）

將式（14）代入式（13），并令和，可得：

（15）

（16）

（17）

（18）

式中：；。

聲場中任何場點聲強為[20]：

變異系數可以反映重金屬元素含量的空間變化特征。變異系數≤0.1時為弱變異性，介于0和1之間為中等變異性，變異系數>1時為強變異性[9]。由表1可知，變異系數排序為：Cu>Ni>Cr>Co>Zn>Cd>U>Pb。各元素變異系數均介于0和1之間，屬于中等變異，說明該農田內重金屬變化程度較大，可能受到農田種植活動及鈾礦開采活動等人為活動的影響。

（19）

式中：為板表面振動速度的共軛復數。

輻射聲功率等于板振動輻射到半球面上的聲強積分[20]：

（20）

3 模型驗證

3.1 自由振動

本節車輛型材結構等效模型正交各向異性板參數如表1所示。板阻尼損耗因子η＝0.01。

以上所舉，只是一種研究的初步思路。 如果展開研究，是一個較為宏大的課題。 據筆者淺見，研究這一課題，可從以下兩個維度展開。

表1 等效參數 參數名參數值參數名參數值 Ex/GPa38.39Gyz/MPa702.41 mx0.29a/m0.97 Ey/GPa43.52b/m0.98 Gxy/GPa23.17hf/m0.04565 Gxz/MPa447.74r/（kg·m-3）743.8

采用ANSYS建立97×98單元正交各向異性板的有限元模型，ANSYS中采用SHELL63單元進行建模。表2給出了DSM和FEM計算得到的固有頻率。通過對這兩種方法得到的固有頻率的比較，隨著截斷數N的增加，動剛度法計算得到的模態數隨之增加，N取5兩種算法結果基本一致。

表2 固有頻率 截斷數固有頻率/Hz DSMFEM N＝3N＝4N＝5N＝797×98 1169.6169.6169.6169.6169.6 2316.5316.5316.5316.5316.5 ……………… 1323382338233823382337.9 142650.92756.72756.72756.72756.9 152949294929492949.4 1631203120312031203119.6 173126.43126.43126.43126.43126 183317.13317.13317.13317.13317.3 193537.53537.53537.53537.5 203655.73655.73655.73655.73655.5 214231.24231.24231.24231.24230.4 224312.14312.14312.5 234343.34343.34343.34343.34343.6 244442.54442.54442.54441.9 ……………… 294890.74890.74890.74890.74891.9

圖3給出了板的前五階模態振型。兩種算法的模態振型基本一致。

3.2 強迫振動

如圖4所示，在A（0 m, 0.1 m）點垂向施加單位簡諧集中力。

由式（3）可得B（0 m, 0.8 m）點彎曲振動位移響應公式為：

（21） 圖3 模態振型

為驗證動剛度模型的準確性，首先驗證其動剛度法的收斂性。圖5給出了計算不同截斷數N（N＝1,3,5,7），從圖中可以看出，對于計算5000 Hz以內的振動響應問題，截斷數N取5就可以保證計算精度。

圖6給出了分別用動剛度法和有限元法計算得到B點在0～5000 Hz頻率范圍內的彎曲振動位移響應曲線。從圖中可以看出，動剛度法和有限元法計算結果吻合較好。

圖7～圖9分別給出了在板上施加水平簡諧集中力、垂向簡諧分布力和水平簡諧分布力的示意圖。

圖4 垂向簡諧集中力示意圖

圖5 截斷N對B點彎曲振動響應的影響

圖6 B點彎曲位移響應曲線

圖7 水平簡諧集中力示意圖

圖8 垂直簡諧分布力示意圖

圖9 水平簡諧分布力示意圖

圖10～12分別給出了水平簡諧集中力、垂直簡諧分布力和水平簡諧分布力激勵下的B點振動響應計算結果。動剛度法N＝5計算B點縱向位移和有限元方法在0～5000 Hz計算結果吻合較好。

3.3 遠場聲壓

假設在板上A（0 m, 0.1 m）點處垂直于板施加幅值為1 N的簡諧激勵力。流體介質密度ρ0＝1.225 kg/m3，聲速c0＝340 m/s。

綜上所述，本研究證實在重組人血管內皮抑素不同的用藥時期將導致不同的治療效果，但在d4～d6血管正常化時間窗加用DDP能增加療效，該時間段腫瘤微血管趨向正常化，腫瘤內部藥物的輸運狀況得到改善。本研究的發現對臨床的實際用藥具有較大的參考價值和指導意義，合理的藥物聯用能夠最大限度發揮藥物療效同時減少多藥聯用帶來的諸多不良反應，使患者能夠最大程度獲益。

圖13、圖14分別給出了場點1（r0＝10、φ＝30°、θ＝60°）聲壓級的窄帶頻譜和1/3倍頻程頻譜。其中，混合FE-SEA法計算場點1聲壓級總值為78.5 dBA，本文方法計算場點1聲壓級總值為78.1 dBA，兩者相差0.4 dBA。圖15、圖16分別給出了場點2（r0＝10、φ＝45°、θ＝45°）聲壓級的窄帶頻譜和1/3倍頻程頻譜。混合FE-SEA計算場點2聲壓級總值為66.5 dBA，本文方法計算場點2聲壓級總值為66.7 dBA，兩者相差0.2 dBA。從場點聲壓級窄帶頻譜圖可以看出兩種方法計算結果趨勢一致，在共振頻率處吻合較好。從場點聲壓級1/3倍頻程頻譜圖可以看出兩種方法計算結果差異較小。

（55）三瓣苔 Tritomaria exsecta（Schmid.）Schiffn.劉勝祥等（1999）

圖10 B點縱向振動位移響應曲線

圖11 B點彎曲振動位移響應曲線

圖12 B點縱向振動位移響應曲線

圖13 場點1聲壓級窄帶頻譜

圖14 場點1聲壓級1/3倍頻程頻譜

圖15 場點2聲壓級窄帶頻譜

3.4 輻射聲功率

圖17和圖18給出了板向半徑為10 m半空間球面輻射聲功率窄帶頻譜和1/3倍頻程頻譜計算結果。其中，混合FE-SEA法計算輻射聲功率總值為93.2 dBA，本文方法計算輻射聲功率總值為93.6 dBA，兩者相差0.4 dBA。從輻射聲功率窄帶頻譜可以看出兩種方法計算結果趨勢一致，在共振頻率處吻合較好。從輻射聲功率1/3倍頻程頻譜圖可以看出在200 Hz以上差異較小。

式(2)為采動影響下，含應力包裹體煤體不考慮瓦斯時的應力解。但在實際煤礦采掘過程中，煤體的孔裂隙中必然含有承壓的瓦斯，假設其大小為P0。則根據有效應力原理就可以求得含承壓瓦斯的包裹體煤體骨架中的各應力，有效應力原理公式為

圖16 場點2聲壓級1/3倍頻程頻譜

圖17 輻射聲功率窄帶頻譜

圖18 輻射聲功率1/3倍頻程頻譜

4 結論

本文基于動剛度法建立了軌道車輛型材結構等效模型正交各向異性板的振動模型，推導了正交各向異性板的動剛度矩陣形式的振動解析解，在板上施加外力，并結合Rayleigh積分公式計算分析了正交各向異性板的聲振特性，通過與混合有限元－邊界元模型計算結果對比，驗證了本文方法計算軌道車輛型材結構等效模型正交各向異性板的準確性和可靠性。研究結果為預測軌道車輛型材結構聲振特性提供新的手段。

參考文獻：

[1]陸婭楠. 我國高鐵運營里程超4萬公里[N]. 人民日報，2021-12-31（1）.

[2]馮愛軍. 中國城市軌道交通2021年數據統計與發展分析[J]. 隧道建設（中英文），2022，42（2）：336-341.

[3]Eade P W，Hardy A E J. Railway vehicle internal noise[J]. Journal of Sound and Vibration，1977，51（3）：403-415.

[4]KimK，Lee J，Kim D. A study on the vibroacoustic analysis of aluminum extrusion structures[J]. Comput Aided Des Appl PACE，2012（2）：1-8.

[5]Langley R S，Bremner P. A hybrid method for the vibration analysis of complex structural-acoustic systems[J]. The Journal of the Acoustical Society of America，1999，105（3）：1657-1671.

[6]Orrenius U，Kunkell H. Sound transmission through a high-speed train roof[C]. Rio de Janeiro：Proceedings of 18th international congress on sound and vibration，2011：2392-2399.

[7]Xie G. The vibroacoustic behaviour of aluminium extrusions used in railway vehicles[D]. Southampton：University of Southampton，2004.

[8]周平，趙德有. 動態剛度陣法的研究概況[J]. 振動與沖擊，2006，25（4）：104-108.

[9]Wittrick W H，Williams F W. Buckling and vibration of anisotropic or isotropic plate assemblies under combined loadings[J]. International Journal of Mechanical Sciences，1974，16（4）：209-239.

[10]Langley R S. Application of the dynamic stiffness method to the free and forced vibrations of aircraft panels[J]. Journal of Sound & Vibration，1989，135（2）：319-331.

[11]Banerjee J R，Papkov S O，Liu X，et al. Dynamic stiffness matrix of a rectangular plate for the general case[J]. Journal of Sound and Vibration，2015（342）：177-199.

[12]Ghorbel O，Casimir J B，Hammami L，et al. Dynamic stiffness formulation for free orthotropic plates[J]. Journal of Sound and Vibration，2015（346）：361-375.

[13]Ghorbel O，Casimir J B，Hammami L，et al. In-plane dynamic stiffness matrix for a free orthotropic plate[J]. Journal of Sound and Vibration，2015（364）：234-246.

[14]Wei Z，Yin X，Yu S，et al. Dynamic stiffness formulation for transverse and in-plane vibration of rectangular plates with arbitrary boundary conditions based on a generalized superposition method[J]. International Journal of Mechanics and Materials in Design，2021，17（1）：119-135.

[15]Li H，Yin X，Wu W. Dynamic stiffness formulation for in-plane and bending vibrations of plates with two opposite edges simply supported[J]. Journal of Vibration and Control，2018，24（9）：1652-1669.

[16]周平，趙德有. 帶有加強筋的Mindlin板動態剛度陣法[J]. 振動與沖擊，2007，26（6）：139-145.

[17]姚丹. 地鐵列車車體輕量化聲學設計方法研究[D]. 成都：西南交通大學，2021.

[18]Szilard R. Theories and Applications of Plate Analysis: Classical, Numerical and Engineering Methods[M]. New York：John Wiley & Sons，2004.

[19]李慧. 組合板結構面內和面外振動動剛度法研究[D]. 北京：中國艦船研究院，2016.

[20]Yang Y，Kingan M J，Mace B R. A wave and finite element method for calculating sound transmission through rectangular panels[J]. Mechanical Systems and Signal Processing，2021（151）：107357.

[21]Fahy F J，Gardonio P. Sound and structural vibration: radiation, transmission and response[M]. London：Elsevier，2007.

The Vibroacoustic Response of Orthotropic Plate Using the Dynamic Stiffness Method

WANG Hongnan1，XIAO Xinbiao1，XU Zhiqiang1，ZHOU Shunyuan1，ZHAO Minghua1,2

( 1.State Key Laboratory of Traction Power, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031, China; 2. National Innovation Center of High-Speed Train, Qingdao 266111, China )

Abstract：Numerical methods are usually used to analyze the vibro-acoustic characteristics of extruded structures of railway vehicles, and the calculation cost is high. In this paper, the extruded structure is equivalent to an orthotropic plate. Based on the dynamic stiffness method, the dynamic stiffness vibration model of the orthotropic plate is established. The natural frequency and mode shape of the orthotropic plate and the vibration response under forced vibration are calculated and analyzed, and the correctness of the calculation is verified. Then, based on the Rayleigh integral formula, the dynamic stiffness vibration model is coupled to air and fluid to study the acoustic radiation characteristics of the extruded structures, and the radiated sound pressure and power of the equivalent model are compared with the results obtained from the finite element and boundary element model. The results show that this method can provide guidance for predicting the vibration and acoustic radiation characteristics of the extruded structure effectively.

Key words：dynamic stiffness method；rayleighintegral；extruded structure；orthotropic plate；vibration；acoustic radiation characteristic

中圖分類號：U271.91

文獻標志碼：A

doi：10.3969/j.issn.1006-0316.2023.09.004

文章編號：1006-0316 (2023) 09-0022-09

收稿日期：2023-02-28

基金項目：國家自然科學基金（U1934203）；牽引動力國家重點實驗室開放課題（TPL2205）

作者簡介：汪宏楠（2001－)，男，遼寧遼陽人，碩士研究生，主要研究方向為軌道車輛減振降噪，Email：2044778162@qq.com。

*通訊作者：趙明花（1964－），女，吉林長春人，碩士研究生，教授級高級工程師，主要研究方向為高速列車設計理論及應用，E-mail：13944803270@163.com。