數形結合思想方法在高中數學教學中的應用分析

朱大藝

在新課程標準理念指導下，數學教師在傳授學生基礎知識與基本技能的同時，還要重視學生活動經驗的積累及數學思想的形成。數學思想在促進學生綜合發展方面具有重大意義，因此教師愈發關注數學思想教學工作。“數”和“形”作為高中數學中的主要研究對象，數形結合思想扮演著連通兩者的橋梁角色，在教學實踐中起到舉足輕重的作用。基于此，本文立足數形結合思想，分析高中數學課堂教學中滲透、運用數形結合思想方法的相關建議，以期為高中數學教師發揮該數學思想的作用提供參考。

一、數形結合思想的基本內涵

數形結合思想是數學思想的重要構成部分，既是一種思維方法，又是一種解題的基本策略。“數形結合”是將抽象的數學語言和直觀的幾何圖形有機地結合起來，通過分析、觀察圖形，運用數與形的相互關系，將復雜問題簡單化，使抽象問題具體化。數形結合的思想方法主要有這幾種：（1）以形助數：將抽象的數學語言和直觀圖形結合起來，借助圖形理解數學語言。（2）以數解形：用數字驗證圖形或直觀地反映函數關系，在幾何直觀的基礎上進行數量關系分析。（3）以形助數：通過形象直觀地描述問題，引導學生把抽象問題具體化。（4）以數解形：在圖形上表示數量關系或變化過程，借助圖形揭示數量關系。

“數形結合”從字面上理解，是將“數”和“形”結合到一起。從不同角度出發對“數”和“形”的內涵理解各有不同。基于廣義視角，“形”為現實世界客觀存在的事物，“數”則被視為用于對客觀事物進行研究的手段；基于狹義視角，“數”指代數，而“形”指幾何。

有關“數形結合”本質內涵的理解，雖然不同學者和研究者具有不同的理解，但在數形結合作用和價值方面比較一致，都認識到需要對高中階段的學生進行滲透，讓學生理解這種重要的數學思想方法，并將其作為解題技巧和創新思考的方法融入數學知識體系。在培養學生數形結合能力方面，大部分研究者意識到采用滲透教學法進行培養，讓學生靈活思考，尊重學生的主觀能動性，確保學生主動理解、運用這種重要思想方法。

結合不同學者和研究專家的主要觀點，本文認為“數”和“形”聯系密切，屬于某一事物的兩大屬性，雙方各有優劣。比如“數”的優勢在于可運算，有規律，不足則是難以直觀形象地體現也不易于理解，但這恰恰是“形”的優勢。基于此，數形結合思想應為利用“數”和“形”的相互轉化，讓數學對象不僅形象直觀而且具備可運算性，進而有效解決相應的數學問題。

二、數形結合思想方法在高中數學教學中的應用意義

（一）培育核心素養，提高數學成績

高中數學是高中教育階段重要組成部分，也是高考考查的重點對象，需要學生學習知識，具備數學思維。代數和幾何是高中數學的兩個重要教育維度，教師需要將兩者有機結合，利用“數形結合”數學思想將教材中各單元教學內容進行貫穿，促進教學模式的轉變，提升課堂效率。學生深入研究數形結合的解題思想，有利于在學習數學知識中逐漸培育數學素養，對各種步驟繁瑣、難度較大的題目進行高效解題，提高做題效率。

（二）貫穿教學模塊，構建知識體系

高中數學是研究空間、結構和數量等方面的學科，用抽象數學概念揭示事物規律，解決現實生活中的問題。數形結合思想具有間接性、直觀性和有效性的特點，能將代數與幾何兩大教學內容聯系起來，以形助數，以數解形，從不同角度分析數學問題，解決各種難題，體現了數學思想的先進性和思維的邏輯性。在高中數學課堂教學中滲透數形結合思想，有利于學生認識數學學科的本質，提升探究能力。同時，高中數學知識作為有機整體，數形結合有利于學生在學習過程中綜合考慮，把握不同單元之間的聯系，最終構建嚴密的高中數學思維框架，在數形結合的思考維度中學習數學知識，獲得能力的突破。

（三）拓展思考維度，培養創新精神

數形結合思想是從數學本質規律出發，培養學生解決抽象試題的能力，在熟悉教材原理和概念的基礎上，對數學知識產生直觀理解，在頭腦中構建數學知識體系，有效培養數學思維。學生在數形結合思想的長期熏陶感染下，可以根據圖形將各種知識點進行串聯，培養獨立思考能力。

數形結合思想不只是科學嚴密的思考維度，也是創新的重要指導方向，可以潛移默化地引導學生深入思考數學問題，利用創造性思維對數學題型進行不同解法的嘗試，提升其數學素養。總之，數形結合是數學學科中創新精神的重要體現，能讓學生站在不同角度思考問題，發散思維，為終身發展奠定基礎。

三、數形結合思想方法在高中數學教學中的案例分析

（一）集合問題中數形結合思想方法的應用

學生進入高中后，首先學習的便是集合知識。集合作為高中數學的一大重要理論基礎，對抽象思維能力要求較高，這也導致部分學生難以理解集合問題，解題時也往往無從下手。

數形結合思想可以把數字語言先轉化成符號語言，再轉換為圖像語言進而得出結果，并在此基礎上將圖形語言轉換為數字語言。學生通過高中集合知識的學習，可以發現數形結合是一種常見的方法，既能化復雜為簡單，也能更直觀地體現集合的交、并、補關系，能更準確地理解相關知識。

針對部分學生習慣通過用未知數解方程的形式求解的現象，教師可以要求學生通過數形結合思想進行解題，以降低錯誤率，結合“Venn圖”求解提高學習效率，讓集合更加清晰地展示出來。在數形結合思想下，韋恩圖不僅在幫助學生理解集合概念方面起到重要作用，還有利于培養學生的數學抽象素養與直觀想象素養。為此，教師可以利用數形結合思想將已知條件通過“Venn圖”或數軸表示出來，由此明確解題的切入點。

（二）三角函數問題中數形結合思想方法的應用

三角函數在高中數學教學中是極為關鍵的知識模塊之一，也是描述一般周期函數的基礎，并且三角函數也屬于典型的數形結合產物。三角函數是教學的重點難點內容，也是學生理解比較困難的知識模塊。在三角函數教學時，教師可以借助數形結合，將坐標系帶到學生的思考維度中，使其通過結合坐標系、函數曲線的各種變化、數學公式的方式厘清圖像和公式之間的對應關系，厘清奇偶性、單調性和象限之間的聯系，提升學習質量。在數形結合思想輔助下，學生最終理解三角函數，也提高了對數形結合思想的興趣，能夠舉一反三學習數學知識。

四、高中數學教學中應用數形結合思想方法的相關建議

（一）概念教學中應用數形結合思想的建議

1.體驗“數形結合”，關注概念形成。

數學概念的形成絕非毫無依據，多數具備相應的幾何背景，如向量的產生背景為位移、力等相關物理量，可見“數形結合”在概念形成方面所起到的重要作用。但部分教師為了數學課堂擴容或提高教學速度，往往忽視概念形成過程，這種授課模式不利于學生的學習及發展。“數形結合”是高中階段數學學習中使用到的關鍵思想方法之一，無論是滲透還是運用均應建立在完整探究知識的基礎上，若忽視數學知識的探究過程，講授其包含的數學思想可謂“天方夜譚”。

在數學概念教學中運用數形結合思想時，教師需要時刻關注概念的形成，有效引導學生參與概念的形成過程中，自主深度挖掘及體會“數形結合”，這樣才會真正理解數學概念，體會到“數形結合”在概念形成中起到的重要作用，最終提升學生的數學抽象素養。

2.強化“數形結合”，關注概念理解。

數學家華羅庚先生曾提出這樣一個觀點“數和形本相依，焉能分作兩邊飛”，這說明數學作為研究空間形式及數量關系的學科，若借助“形”的形象直觀構建“數”和“形”之間的聯系，會降低理解復雜、抽象數學概念的難度，體現了在數學概念理解上應用數形結合思想方法的重要性。特別是高一年級的學生在接觸到大量抽象的數學概念后，往往出現信心不足、感覺數學知識枯燥無味的現象，如果在概念理解環節上“困難重重”，則在后續學習中的難度可能會更大。

例如，學生在除此接觸“集合”這一知識板塊時，往往會混淆子集、真子集等抽象性概念，若教師在概念教學環節把原本抽象概念變得直觀化，達到“以形助數”的效果，則有利于學生更輕松地理解概念。這在課本教材中也有所體現，如通過“Venn圖”輔助理解集合之間的關系。同樣，在函數概念教學時，教師也可以利用直觀圖像或具體例子，輔助學生理解函數概念，既可以是常用的教學方法，也可以是數形結合思想，從而更好地落實對學生核心素養的培養。

（二）命題教學中應用數形結合思想的建議

1.創設“數形結合”情境，關注命題引入。

數學命題屬于高中階段數學學習及教學的一大重點難點內容所在。針對抽象難以透徹理解的數學法則、公理、性質等相關知識，學生很容易因為“學不懂”或是“不會做”而失去學習信心。為此，教師需關注命題的引入，為學生創設能夠應用數形結合思想的情境，既調動其探究欲，又在學生探究數學命題時自然而然地開啟“數形結合”的閥門。

比如，在探究“冪函數的性質”教學時，教師可以列舉實例引出常見的冪函數，巧借實例激發學生探究興趣的同時，也為后續應用數形結合思想探究冪函數性質創設了所需情境，使學生在熟知函數圖象的前提下，直觀認識函數的基本性質。數形結合作為解決數學問題的常見思想方法，可以畫出圖像、識別圖像，是探究問題的一項必要能力。但從實際教學情況分析，面對高考的激烈競爭及教學壓力大等因素，教學進度十分緊湊，一些教師往往對情境創設心有余而力不足，為此存在缺乏情境創設、忽略命題引入的現象。這一點應及時修正，教師需要高度關注命題引入并輔助學生直觀感知，創設應用數形結合思想方法的教學情境，使其在“數”與“形”結合的基礎上展開高效探究。

2.培養“數形結合”能力，經歷命題證明。

與其他學科相比，數學具備極為嚴謹的邏輯體系，正確的結論需通過嚴謹的數學邏輯體系推演過程，即對公式、定理等展開證明。在高中數學基礎知識板塊中，數學命題證明是一項重要部分。實際上，在命題證明的過程中也會體現例如“數形結合”，若教師能在命題證明教學中滲透數形結合思想，不僅能夠使學生深入理解這一命題的來龍去脈，還能有效提升學生應用數形結合思想解決實際問題的能力。

總之，將數形結合思想運用于命題證明，有助于數學抽象、數學運算等相關核心素養的發展。當然，經歷證明過程的關鍵在于引導學生發散思維，即組織學生立足于不同角度思考問題，嘗試一題多證，以此培養創新思維。

（三）問題解決教學中應用數形結合思想的建議

1.創設教學情境，關注整體感悟。

數形結合思想中的“形”主要體現在現實生活中，但部分學生由于無法熟練建立用于解決問題的數學模型，為此教師需要創設連接實際生活的情境，在培養學生解決問題能力的同時，培養其概念、公式以及方程等建模能力，在構造數學建模中感受數學建模的作用。與此同時，教師需要認識到數形結合思想在數學高考中的占比，在問題解決教學中抓住運用數形結合思想的典型真題，帶領學生深入剖析并抓住問題中散落的知識點，一方面加強知識之間的內在聯系，另一方面體會如何運用數形結合思想解題，使其在理解內涵的同時增強整體感悟。

2.培養應用意識，關注歸納總結。

本文認為“數形結合”的關鍵在于“數”和“形”的相互轉化，而且很多數學問題會考查學生的數形互化能力。因此，教師在培養學生解題能力的同時，應有意識地提升其“數形”轉化能力。一是增強運用數形結合思想的意識。教師需要在課前整體設計“數形結合”在問題解決教學中的實施步驟，并在平時重點關注培養學生的“數形結合”意識；二是關注歸納總結，課后及時展開反思。一些教師在高考壓力面前為學生安排大量練習題，旨在提升其解題能力，但僅“刷題”卻忽視總結及反思是毫無意義的。因此，教師需要讓學生在做練習題時關注“好題”與“錯題”，并及時總結、歸納、記錄到“積累本”中，在每次翻閱中領悟其背后包含的數學思想。總之，數學學習屬于循序漸進的過程，結果雖然重要但是過程也不容忽視。

五、結語

綜上所述，隨著我國新課改的進一步深入，課堂教學愈發重視對學生核心素養的培養，越來越多的教師認識到數形結合思想在培養學生數學素養方面的應用價值。作為高中數學教師，需依循教學目標，從學生具體情況出發，有效運用數形結合思想方法，引導學生對其產生深入理解并能扎實掌握，在為學生有效運用數形結合思想解決實際問題奠定基礎的同時，落實培養數學核心素養的課程目標。