整體建構教學：數學深度學習的高效路徑

□福建省廈門市海滄區青礁小學 張藝玲

在日常教學中，小學數學課堂教學長期存在一種明顯的“碎片化”教學現象。這里的“碎片化”是一類典型的教學問題的概括，集中體現在：教學內容上，總是局限于某個知識點，看不到知識整體；教學組織上，教學環節間彼此割裂，沒有層次和關聯；教學運行上，“小步”慢走，“碎步”前行，缺乏系統結構；思維發展上，信息素材總是散點分布，不能聚合升華等。大多數教師重于對課時教材的解讀，而疏于對整體背景的把握。雖然每節課都設計了詳細的教學環節，但對于同一主題不同層次的知識教學缺乏內在溝通和銜接，導致教學一葉障目，教學活動膚淺斷層，缺乏系統性、深刻性、聯系性，知識整體性、連貫性和遷移性不強，不能將“游離”狀態的數學知識點連接成科學的數學知識結構[1]。由此可見，“碎片化”教學拆散了知識系統，違反了教學常識，也背離了學生認知規律，增加了他們的學習負擔。為此，急需深度剖析造成“碎片化”教學的原因，以便提出有效的解決措施，從而促進學生深度學習，構建高效課堂。

一、剖析“碎片化”成因，探尋深度學習

1.教師對數學知識缺乏系統性把握

一位數學教師往往需要經歷一次大循環的教學，才能對整個教材體系有所熟悉，當然也可以通過研修的方式加快這一進程。但是由于教師資源的缺乏，家長的殷切希望等主客觀原因，導致很多數學教師即使任教好幾年，都無法經歷一次大循環教學。更何況知道“要教什么”與能實現“系統建構”之間還存在很大的差距。雖然在很多教師教學參考書上都有完整的各冊教學知識點匯總表，但是大部分教師在教學中還是存在“碎片化”教學，不能很好地做好“系統建構”，這是因為實現“系統建構”不僅需要數學學科等相關理論的支撐，而且需要教師自身教學理念、經驗及智慧的共同參與。

2.教師對建構主義等新教學理論了解不深，理解不透徹

在教育教學發展過程中，我國中小學數學教育一直與諸多現代數學新理論密切聯系。雖然到了20世紀60 年代，布爾巴基學派曾經用結構主義的觀點編寫中學教材，但中國并沒有直接受到此教科書的影響，所以我國很多一線數學教師對布爾巴基學派結構主義關注較少。相比之下，我國小學數學教師對荷蘭著名數學教育家弗賴登塔爾的“現實的數學”“數學化”“再創造”等數學理論更熟悉，弗賴登塔爾為我們打開了通往世界數學教育領域的一扇窗戶，在中國數學教育界撒下了種子。后來出現建構主義學習理論，它認為學習者的知識不是由教師傳授而獲得的，而是學習者在一定的社會文化背景下，根據已有的知識、經驗、方法主動地通過意義建構的活動而獲得的。除此之外，還有布魯納的“發現學習”、加德納的“多元智能”等近現代數學教育教學理論也對我們的數學教學產生了影響。從客觀上講，這些理論看似熟悉，但是對廣大數學教師而言，存在“陌生”感的人不在少數，能夠主動、自覺、高效地進行實踐應用的狀況并不樂觀。

3.教師缺乏整體性教學設計以及教學實踐的經驗支持與示范引領

小學數學教學活動具有鮮明的實踐導向，即使擁有很高的理論水平者，也未必能上出好的數學課。筆者時常看到有些教師或教研團隊需要用很長的時間來打磨一節公開課，但是經過幾次的研討，還是在淺層次徘徊，還在研究一些“細枝末節”，缺乏宏觀、上位的整合與建構，“只見樹木，不見森林”。看到的都是“術”，沒有“道”。也經常聽到教師感嘆：“‘道理’都懂，就是不知道怎么來上好課。”這在一定程度上說明理論與實踐是脫節的。那么教師應該采取哪些有效措施來解決以上難題呢？一方面需要教師有豐富的實踐經驗做基礎，另一方面也需要有一批“先行者”“示范者”來“領跑”。這也說明了數學教育教學中“理論的實踐性解讀”與“教學實踐的理論性反思”的重要性，昭示著數學教師要走“作為研究者的教師”的專業成長道路。

二、解決“碎片化”教學，構建高效課堂

基于以上原因，教師應當提出哪些有效的解決措施，從而促進學生深度學習，構建高效課堂呢？筆者結合日常教學實踐，認為應開展整體化教學，以幫助學生更好地建構較為完整的知識體系、認知模式及思維模型，在深度學習中不斷促進學生學科素養發展。下面筆者就如何開展基于整體建構的小學數學深度學習活動談幾點感悟。

1.開展關聯學習，梳理知識脈絡，構建知識結構體系

《義務教育數學課程標準（2022 年版）》明確指出：數學教學應該是注重數學知識之間聯系的教學，潛移默化地讓學生感受數學知識之間的聯系。因此，教師在教學中應當關注數學知識在組織形式或關聯方式等方面的聯系[2]，引領學生從更上位的角度去梳理數學知識的形成過程，并在知識外延的不斷拓展中，將有關知識串聯在一起，逐步融合為具有較強的粘合力、邏輯性和關聯度的知識脈絡圖，進而建構起相對完整的知識體系，以實現系統性、結構性的深度學習。

例如“圖形與幾何”模塊中，與度量有關的“長度單位（二上）、面積（三下）、角的度量（四上）、體積（五下）”等內容，雖然分布在不同年級的不同單元，但是它們卻有著相似的邏輯機理，即不管是長度單位還是面積計算，它們都是由“度量單位的價值—度量或計算方法—知識的應用”三個循序漸進的內容模塊組成，都是研究有關計量單位數量的問題。筆者組織教學時，依托知識之間的關聯特征，將獨立存在于不同年級的知識有機黏合，在學習完“面積（三下）”后，以問題驅動學生思考：面積的計算（三下）與長度單位的計量（二上）之間有什么相似的地方呢？給學生充足的時間思考、探究、交流，促使他們從整體視角審視學習內容，在教材的深度對比中，逐步明確兩部分的內容都是由“了解必要性—學習計量方法—解決實際問題”三個方面的知識模塊構成，并且都是探究“計量單位數量的計算方法”，幫助學生初步梳理知識脈絡，同時在“角的度量（四上）”和“體積（五下）”的探究中，再次進行梳理，從而把不同的知識納入相同的體系當中，在看似不同的知識對比中，使學生逐步明白一維的長度、二維的面積、三維的體積等計量單位知識的教學，其本質都是在計算計量單位的數量，使學生在掌握數學知識本質的同時，把碎片化知識串聯成網，既看到知識生長的“源頭活水”，又預見知識生長的“未來模樣”，從而構建起較為完整的知識結構體系。

2.開展共性學習，提煉學習方法，構建認知策略系統

數學學習活動如果只在知識的縱橫向聯系的基礎上構建知識體系，是無法達成學習目標的。所以在梳理知識脈絡的同時，教師還應該深入了解數學知識的學習方法，經歷從特殊事例中歸納概括數學知識本質的推理過程，或者應用一般性結論驗證特殊實例能否成立的演繹過程……形成共同的探索數學知識的學習方法，并逐步內化為學生的認知策略系統，成為他們繼續探究新知、解決實際問題的有力工具。

如教學五年級上冊“多邊形的面積”這一單元時，學生對長方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形等圖形的特征已有深刻認識，并熟練掌握長方形、正方形的面積計算方法。因此，探究平行四邊形的面積計算公式時，教師有意識地啟發學生思考：能否借助探究長方形面積公式的方法來探究平行四邊形的面積公式呢？學生結合自身的學習經歷以及數學活動經驗，逐步形成兩種猜想：（1）“數方格”計算面積；（2）將平行四邊形轉化成長方形計算面積。以此為基礎，引導學生經歷將平行四邊形沿著高剪開，平移、轉化為一個長方形的過程，進而再探究平行四邊形的底和高與長方形的長和寬之間的關系，由此推導出平行四邊形面積計算公式。整個探究過程，學生不僅知道了平行四邊形面積的計算公式，而且也感悟了“轉化”策略的重要作用。這樣，探究三角形的面積公式時，學生就能借助小組合作學習，繼續嘗試借助“剪、移、拼”等轉化策略，感悟三角形的面積計算和平行四邊形的相似之處，從而得到三角形的面積計算公式，同時應用兩次的轉化經驗，學生在探索梯形的面積計算公式時，就能形成多樣化的方法。但是教學不能僅停留于梯形面積計算公式的理解和掌握層面，還應當有意識地指導學生將各種推導方法（如沿著兩個頂點分別作下底的高，沿著一個頂點作腰的平行線，連接不相鄰的兩個頂點）進行梳理，明確以上這些方法都是通過分割，將梯形面積計算轉化成求長方形、三角形和平行四邊形的面積，這是由平行四邊形面積計算公式的推導思路遷移過來的，讓學生深刻感悟到“轉化”思想的重要作用。

在此基礎上，教師以核心問題“請你把學過的圖形面積的計算公式，按照一定的思考方式整理出來”為引領，組織學生對學法進行梳理、整合，厘清知識間的邏輯機理，從而發現圖形面積推導的共通方法都是將未知圖形轉化為已知圖形，轉化思想是統領圖形面積計算公式推導的“魂”，可以探索面積公式的各種方法之間的關聯，找到方法之間共同的屬性，讓學生懂得舉一反三，積累數學基本活動經驗，構建起認知策略系統，后續學生在學習計算組合圖形及不規則圖形面積時，就能將其分解或者估算成已學過的圖形，從而更好地解決問題。

3.開展多維學習，品悟思維方式，構建數學思維模型

學習的過程是促進兒童思維不斷進階、結構不斷完善的過程。至此在教學中，教師應當注重思維結構化。思維結構化的過程包括初步感知—深度表象—抽象模型，最終目的是使學生能借助高度抽象形式化的模型結構描述事物現象背后的一般規律。因此在教學中，教師應當注重學生思維的深度發展，發散性地思考，以此“爬”上結構化思維的“巔峰”，實現深度學習。

例如，教學人教版五年級上冊“植樹問題”，課上先直接出示問題：一條200 米長的繩子，每10 米剪一段，可以剪成幾段繩子呢？同學們毫不猶豫地說出：可以剪成20 段繩子。那如果這是一條路，每隔10 米種一棵樹，可以種幾棵樹呢？同學們也不假思索地喊出：20 棵樹。此時，教師加以引導：還有不同的想法嗎？給予學生時間冷靜思考，此時出現反駁的聲音：不對，好像是19 棵；有的認為應該是21 棵；也有人堅持認為是20 棵。教師再把問題拋給學生：是19 棵、20 棵還是21 棵？為什么會這樣呢？請動手畫一畫、想一想，并在小組內說一說你們的想法。經過小組思考交流，最終同學們達成共識：第1 種，兩端都栽的情況，可栽21 棵。列式是200÷10+1=21（棵）；第2 種，只栽一端的情況，可栽20 棵。列式是200÷10=20（棵）；第3 種，兩端都不栽的情況，可栽19 棵。列式是200÷10-1=19（棵）。由此，不難發現同學們已經不只是在計算200÷10，同時也要考慮兩端都栽、只栽一端或兩端都不栽的情況，以此促進學生思維的發散。而老師追問原因，讓同學們動手畫一畫、算一算，并在小組內說一說，是為了激發學生的深度思維，不僅要知道結果是什么，還要知道為什么會這樣。在這一核心問題的驅動下，同學們形成的思維就不再是片面地模仿教師的某種方法去解決問題，而是懂得綜合考慮各種情況，深度挖掘事物的本質。而教師的智慧在于接著引導學生試著找一找生活中也存在“植樹問題”的生活實例！有人說在馬路上設置公交站牌；也有人說沿著街道兩旁安裝路燈；還有人說在項鏈上串水晶……

在整個課堂教學中，由最初學生只有一種答案的初步感知到用整體結構的形式把植樹問題的三種樣態呈現出來，建立起植樹問題的數學模型；接著再將這一模型思想拓展應用到解決實際生活的簡單問題中，實現集中思維與發散思維的有機結合、融合發展，不斷拓展思維的深度和廣度，形成多維度立體式結構化的學習模型，最終養成會用數學的思維思考現實世界的習慣。

概而言之，小學數學課堂教學中長期存在的“碎片化”教學現象，不僅嚴重拆散了知識系統，而且也背離了學生認知規律，加重了他們的學習負擔。長此以往，越來越多學生脫離好學隊伍，走上厭學之路。為此，急迫需要更多教師能基于整體建構開展教學，多鼓勵學生勾連起知識之間的聯系，全面疏通知識脈絡；多引導學生深入探索學習方法，內化為自身的認知策略；多組織學生多維思考，逐步形成數學思維模型，這樣才能有助于學生逐層深入地開展深度學習活動，全面提升數學學科素養。