淺談大學(xué)物理教學(xué)中微分和積分思想的應(yīng)用

趙朝軍 張 昱

西安工商學(xué)院 陜西西安 710200

1 概述

大學(xué)物理是理工科專業(yè)學(xué)生的一門基礎(chǔ)課,學(xué)生通過課程的學(xué)習(xí),可以充分借助高等數(shù)學(xué)工具解決物理學(xué)中的大量實(shí)際問題,從而具備定量計(jì)算的能力,進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生工程技術(shù)素養(yǎng)的提升。

在高等數(shù)學(xué)中,微分的中心思想是無限分割。設(shè)函數(shù)y=f(x)在x0的某一領(lǐng)域內(nèi)有定義,當(dāng)x在x0處取增量Δx時(shí),如果Δy能夠?qū)懗搔=f(x0+Δx)-f(x0)=A·Δx+o(Δx)(A與Δx無關(guān)),那么稱y=f(x)在點(diǎn)x0可微,A·Δx稱為y=f(x)在點(diǎn)x0的微分,可以記作dy|x=x0或者df(x0),即dy|x=x0=A·Δx,微分是函數(shù)改變量的線性主要部分,此處給定一元型的微分。當(dāng)然,在實(shí)際的問題中,還會(huì)涉及多元型和高階型的微分。早在希臘時(shí)期,人類就開始研究極限、無窮分割等概念,當(dāng)時(shí)由于客觀條件的制約,研究的某些結(jié)論并不完全正確,卻體現(xiàn)了人類研究微分的第一步。17世紀(jì)時(shí)期,費(fèi)馬提及計(jì)算函數(shù)的極大值和極小值的步驟,這實(shí)際上已被現(xiàn)代微分學(xué)所用,即設(shè)函數(shù)導(dǎo)數(shù)為零,進(jìn)而求出函數(shù)極點(diǎn)的方法。另外,巴羅透過微分三角形求出切線的方程,這和現(xiàn)代微分學(xué)中用導(dǎo)數(shù)求切線的方法是一樣的,可見人類在17世紀(jì)已經(jīng)掌握了微分的要領(lǐng)。

17世紀(jì)的中期,微分和積分仍然被看作兩個(gè)獨(dú)立的概念,但是,牛頓和萊布尼茨經(jīng)過大量深入的研究,通過牛頓—萊布尼茨公式將微分和積分巧妙地連接起來,說明了積分是微分的逆運(yùn)算,微分也是積分的逆運(yùn)算,這是微積分發(fā)展歷史上非常重要的時(shí)刻,也是微積分理論中的重要基石。

2 大學(xué)物理中的微分和積分思想應(yīng)用實(shí)例

2.1 計(jì)算剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

2.2 計(jì)算帶電體的電量

如圖2,有一帶電量為+q,半徑為R均勻帶電細(xì)圓環(huán),當(dāng)求解圓環(huán)軸線上距環(huán)心O為x處一點(diǎn)a的電勢(shì)時(shí),把帶電圓環(huán)分割成許多可看作點(diǎn)電荷的電荷元,記每一個(gè)電荷元的電量為dq,每個(gè)電荷元到a點(diǎn)的距離均為r。

圖2

2.3 計(jì)算曲線的長(zhǎng)度

圖3

3 大學(xué)物理教學(xué)與高等數(shù)學(xué)微分、積分教學(xué)的融合

高等數(shù)學(xué)對(duì)大部分理工科學(xué)生而言,學(xué)習(xí)過程中比較抽象,對(duì)學(xué)生的邏輯思維、運(yùn)算能力有較高的要求,高等數(shù)學(xué)是順利解決其他學(xué)科問題的重要工具,其中的函數(shù)極限和微積分部分是貫穿于高等數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容,是整個(gè)高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心。當(dāng)教師展開微分和積分教學(xué)時(shí),需要教師在教學(xué)過程中引入大量生動(dòng)的、形象的實(shí)例,幫助學(xué)生理解微分和積分公式所蘊(yùn)含的意義,拓展學(xué)生思維,由淺入深、由簡(jiǎn)到難開展高等數(shù)學(xué)的教學(xué),而大學(xué)物理中恰好有大量的實(shí)例可以參考和使用。

大學(xué)物理中關(guān)于微分和積分的生動(dòng)實(shí)例比較多。除了上述詳細(xì)介紹的實(shí)例,例如可以用微積分解決速度和加速度的問題,也可以解決質(zhì)點(diǎn)的受力情況,即質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)中常見的兩類問題,一類是已知質(zhì)點(diǎn)的受力情況,求解質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài),此類問題通常可以用高等數(shù)學(xué)中的積分知識(shí)解決;另一類是已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài),求解作用于質(zhì)點(diǎn)的力,此類問題一般用高等數(shù)學(xué)中的微分知識(shí)處理。此外,利用微積分知識(shí)可以處理物理學(xué)中遇到的變力做功問題,也可以解決不規(guī)則形狀導(dǎo)體所受到的安培力及感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的計(jì)算相關(guān)問題。

平時(shí)的大學(xué)物理教學(xué)中,作為授課教師應(yīng)該從以下幾個(gè)方面去挖掘高等數(shù)學(xué)中的微分和積分知識(shí)。第一,要熟悉大學(xué)物理中基本的物理模型,比如質(zhì)點(diǎn)、剛體、彈簧振子等,熟悉這些基本的物理模型運(yùn)動(dòng)的特征。對(duì)于質(zhì)點(diǎn),不考慮其大小,但需要考慮質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量,在高等數(shù)學(xué)建立模型時(shí),引入質(zhì)點(diǎn)模型,會(huì)使得比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題進(jìn)一步簡(jiǎn)化。

圖4

第三,作為大學(xué)物理授課教師,要能夠向?qū)W生科學(xué)解釋大學(xué)物理中微分和積分相關(guān)的公式所隱藏的本質(zhì)和規(guī)律。麥克斯韋方程組全面地反映了電場(chǎng)和磁場(chǎng)的基本性質(zhì),真空中電磁場(chǎng)的四個(gè)基本方程形式如下:

(1)

(2)

(3)

(4)

如果考慮空間存在磁介質(zhì)和電解質(zhì),表達(dá)式(1)的形式變形為表達(dá)式(5),表達(dá)式(4)的形式可以變形為表達(dá)式(6)。

(5)

(6)

結(jié)語

結(jié)合上面的分析和探究,在大學(xué)物理平時(shí)的教學(xué)過程中,巧妙地引入高等數(shù)學(xué)中的微分和積分思想,利用微分和積分工具有效地解決了實(shí)際的物理問題,教師能夠依據(jù)計(jì)算公式向?qū)W生闡釋公式背后隱藏的物理本質(zhì)及規(guī)律,從而體現(xiàn)了大學(xué)物理教學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性、科學(xué)性和趣味性,更好地促進(jìn)了大學(xué)物理教學(xué)。高等數(shù)學(xué)中的微分和積分思想應(yīng)該被廣泛地應(yīng)用到實(shí)際的大學(xué)物理教學(xué)中,讓微分和積分工具發(fā)揮更充分的作用。