廣義Lagrange型和Cauchy型Taylor公式

于林

廣義Lagrange型和Cauchy型Taylor公式

于林

（三峽大學 理學院，湖北 宜昌 443002）

通過引入適當的輔助函數，并以單側導數替換雙側導數，以高階導數替換一階導數，證明了一類廣義的Lagrange型和Cauchy型Taylor公式．所得結論既是Lagrange中值定理和Cauchy中值定理的推廣，同時也是一種新型的Taylor公式．

微分中值定理；Taylor公式；單側導數

1 引言及預備知識

微分中值定理和Taylor公式的推廣主要有２個方向：一個是單側導數形式[1-2]，另一個是高階導數形式[3-6]．更多推廣和應用參見文獻[7-10]．本文將２種推廣思路相結合，建立高階單側導數形式的廣義Lagrange型和Cauchy型Taylor公式，所得結果推廣了已有的相關結論．

人文社會科學科研項目工資費、勞務費、專家咨詢費和績效支出等四項人員費用中，勞務費和專家咨詢費的問題已基本得到解決，難點和重點在于工資費和績效支出。

2　主要結果及證明

1.積極參與校企合作。企業應改變以往的觀念，在優惠政策下，積極參與校企合作，為高職院校的教師提供良好的培訓平臺。同時，與職業院校搭建交流溝通的平臺，讓教師及時了解專業人才的需求情況以及專業發展的最新動態，促進教師核心素養和能力的提高。

在開展角色扮演活動的基礎上，在主持人的引導下設置植物分類方面的相關問題，引導學生進行小組交流活動，實現對植物分類的基本知識的認知：①上述植物分別屬于哪一類植物?有幾種分類方法？②種子植物可以分為哪些類群?③無種子（孢子）植物可以分為哪些類群?④怎樣把上述植物所屬類群按簡單到復雜的順序排列?

觀察生產下滑，化肥市場整體弱勢回升的局面還將持續。根據價格走勢判斷，未來短期內，國內化肥市場總體仍將延續高位震蕩走勢，主要品種價格變化不大，行業效益繼續改善。

國家林業和草原局副局長劉東生在致辭中說，森林旅游是綠水青山變成金山銀山的“轉化器”，是實現“不砍樹也能致富”的“發動機”，是助力扶貧攻堅、林區轉型發展的“動力源”，還是推動全域旅游發展的“主力軍”。

式（2）不僅是Cauchy中值定理的一種推廣，同時又使得Taylor公式成為其特殊情況．所以，可稱式（2）為廣義的Cauchy型Taylor公式．

當被稱為“地殼構造板塊”的巨大巖石層在地表下發生碰撞時，山脈形成了。由于板塊沖撞，土地被向上推擠形成山脈，或熔巖溢出地表形成火山。但火山的形狀比褶皺的山脈更規則。山脈上的土壤通常較為貧瘠，布滿巖石，山頂附近則寸草不生。盡管火山噴發給人類帶來了危險，但火山灰能轉化成肥沃的土壤，有利于莊稼的生長。

[1] 吳開騰．廣義Lagrange中值定理的應用[J]．內江師專學報，1992，7（2）：50-54．

[2] 劉昌茂．廣義Cauchy中值定理[J]．吉首大學學報（自然科學版），1998，19（4）：72-74．

[3] 肖振綱．廣義臺勞公式的簡單證明[J]．數學通報，1986，25（11）：36-37．

[4] 蘇翔，趙振華，董建．一個廣義的Cauchy型Taylor公式[J]．數學的實踐與認識，2009，39（21）：214-221．

[5] 杜爭光．廣義Cauchy中值定理“中間點”的漸進性[J]．數學的實踐與認識，2015，45（3）：268-271．

[6] 劉紅玉．廣義Cauchy型Taylor公式“中間點”的漸進性[J]．綿陽師范學院學報，2018，37（5）：8-11．

[7] 王穎．拉格朗日中值定理在微分學中的應用[J]．高師理科學刊，2018，38（1）：64-66．

[8] 龔東山，劉岳巍，牛富俊．柯西中值定理的一個推廣[J]．高師理科學刊，2008，28（6）：4-6．

[9] 陳寧．微分中值定理的歷史演變[J]．大學數學，2003，19（2）：96-99．

[10] 張騫．高階方向導數與多元Taylor定理的簡單形式[J]．菏澤學院學報，2011，33（2）：11-13．

Generalized Lagrange type and Cauchy type Taylor formulas

YU Lin

（School of Science，China Three Gorges University，Yichang 443002，China）

With the help of some suitable auxiliary functions，the generalized Lagrange type and Cauchy type Taylor formulas are proved by replacing bilateral derivatives with unilateral derivatives and replacing first order derivatives with higher order derivatives．The result obtained here is not only a generalization of Lagrange′s mean value theorem and Cauchy′s mean value theorem，but also a new type of Taylor′s formula．

differential mean value theorem；Taylor′s formula；unilateral derivatives

1007-9831（2023）09-0001-03

O172.1

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2023.09.001

2023-02-18

國家自然科學基金項目（11871195）；三峽大學教學改革研究項目（J2023052）

于林（1965-），男，山東濱州人，教授，博士，從事泛函分析研究．E-mail：yulin@ctgu.edu.cn