基于Kriging法的造斜率預測精度提升研究*

潘勇博 張 紅 馮 定 馮 云

(長江大學機械工程學院；湖北省油氣鉆完井工具工程技術研究中心)

0 引 言

石油鉆探行業中，隨著技術的不斷進步，旋轉導向鉆具已成為相關工作者的最佳選擇之一[1-2]。造斜率作為導向鉆具的一個重要參數，常被用于衡量導向鉆具的造斜能力。實際鉆探過程中，造斜率影響因素眾多，如地層硬度、鉆頭、導向工具結構[3]、溫度及壓力等。迄今為止，在無數學者的不懈努力下，已經涌現出許多造斜率預測法。比較有代表性的有H.KARLSSON等[4-5]于1985年提出的三點定圓法、M.BIRADES等[6-7]于1989年提出的平衡曲率法、蘇義腦[8]于1992年提出的極限曲率法。此外，還有修正的三點定圓法[9-10]、鉆頭與地層相互作用理論[11]和回歸分析法[12]等也能較好地預測造斜率。幾何預測法雖然計算簡單，但是僅考慮了鉆具組合的幾何結構，忽略了地層因素和工具材料的影響，預測精度已遠遠不能滿足當今的生產需求。與幾何預測法相比，力學預測法的預測精度有了大幅度提升，但計算復雜度要遠遠高于其他預測法。而回歸分析法中的Kriging代理模型預測法能夠通過已有的鉆井數據構建一個響應面模型，用該模型對目標點進行插值計算[13-14]，獲取目標點處的預測造斜率，以此來指導鉆井作業。前期研究發現[15-16]，Kriging代理模型能夠高效地處理“多變量單響應”問題，且預測精度要優于一階多項式模型、二階多項式模型以及RBF模型，對于鉆探行業中多因素影響下的造斜率預測具有較好的預測結果。

本文在前期對于Kriging代理模型研究的基礎上，將統計學中相關性這一概念加以運用，以便提高Kriging代理模型的預測精度。基于四川省某井段鉆井參數，計算造斜率與各個影響因素之間的相關系數，剔除相關系數處于(-0.2，0.2)區間內的“無關因素”后，用剩余的影響因素(敏感因子)再次進行數據擬合并進行造斜率預測，并與未經數據處理的Kriging代理模型預測結果對比，結果顯示：剔除“無關因素”后的預測模型不僅能夠大幅度降低計算量，更能夠在原有預測模型的基礎上提高預測精度，在一定程度上降低鉆探過程中鉆頭偏離目標地層的風險。

1 Kriging代理模型構建

Kriging代理模型又被稱為Kriging響應面模型，它的產生依賴于Kriging插值法。Kriging插值法是基于地理學第一定律所衍生出來的插值方法，核心思想是空間內任何一點處的響應值與其附近若干個已知點的響應值有關，并且該點與已知點的相關程度與距離有關[17-18]。此插值法可表示為：

(1)

式中：y(xi)表示第i個已知位置處每100 m的實際造斜率，(°)；λi表示第i個已知位置的造斜率對待估位置造斜率的影響程度，通常為距離的某種函數；y(x0)表示待估位置處每100 m造斜率的預測值，(°)。

為了得到待估點的預測造斜率y(x0)，必須求出系數λ。為此，引入統計學中“將未知函數看作是高斯靜態隨機過程的一個具體實現”的假設，此假設可表示為：

Y(x0)=m+p(x0)

(2)

式中：m為一個常數，它表示空間某個區域內造斜率的數學期望，反映了待估造斜率的整體趨勢；p(x0)可以理解為待估位置處造斜率偏離其數學期望的程度，反映了待估造斜率的局部波動。實際問題中，p(x0)的數學期望為0，方差為σ2；Y(x0)表示目標位置每100 m造斜率預測值，(°)。

由地理學第一定律可知，一定范圍內，空間內不同位置處的響應值(本文釋義為造斜率影響因素的不同取值組合所對應的造斜率)具有一定的相關性，根據統計學中協方差相關理論不難得出：

(3)

即

Cov[p(x0)，p(x1)]=σ2R(x0，x1)

(4)

式(4)中，變量R表示影響因素的不同取值組合所對應的造斜率的相關程度，常用高斯指數模型來擬合。

為使造斜率預測模型具有更高的預測精度，Kriging插值法要求預測結果的均方誤差SMSE最小，即求出合適的權重系數，使得下式取到最小值：

SMSE[y(x0)]=E{[y(x0)-Y(x0)]2}

(5)

(6)

經過運算，最優權重系數λi可由矩陣形式的線性方程組求出：

(7)

為方便表述，將式中：

記為矩陣R，R為對稱矩陣。

將(1 1 … 1)T記為矩陣M；將(R(x1，x0)，R(x2，x0) …R(xn，x0))T記為矩陣r；將(λ1λ2…λn)T記為矩陣λ；于是上式變為：

(8)

即有：

(9)

將式(9)代入Kriging插值法的定義式，即可得到：

(10)

式中：y=(y1，y2，…，yn)T。

進一步簡化后可寫為：

rTR-1{y-[(MTR-1M)TMTR-1y]M}

(11)

在最終表達式中，除了矩陣r以外的所有參數僅與訓練樣本有關，在實際使用過程中可在首次計算完成之后將訓練好的造斜率預測模型存儲下來。預測不同待估點造斜率時僅需計算并代入矩陣r即可得到造斜率預測值。

2 造斜率預測模型優化

前期研究的Kriging代理模型在預測造斜率前僅對獲取到的造斜率影響因素與實際造斜率進行擬合，并未對數據進行任何處理。在前期研究中雖已驗證Kriging代理模型的預測精度要優于一階多項式模型、二階多項式模型以及RBF模型，但在鉆探行業不斷發展的今天，井眼軌跡的控制面臨著更大的挑戰，基于Kriging代理模型的造斜率預測精度仍有待提高。

在實際問題中，多因素問題比比皆是，如農作物產量、電子產品使用壽命、鉆井時實際造斜率等。而各個因素對于響應值的影響效果各不相同，甚至有些因素對于響應值幾乎沒有影響。在信號處理中由于噪聲信號的存在使得人們很難獲取期望的輸出，在造斜率預測方面也存在相似問題，即鉆井作業時，影響實際造斜率的因素眾多，如鉆頭側向力、鉆頭偏轉角以及鄰井造斜率等。在獲取的初始數據中，有些影響因素對造斜率的影響效果較為顯著；而有些因素對于造斜率的影響甚微，倘若將這些“噪聲因素”也作為回歸擬合的自變量之一進行數值計算，不僅不能得到精準的擬合方程，甚至會使樣本點變得更加離散。因此，考慮剔除相關系數過低的因素，用剩下的敏感因子進行數據擬合并進行插值計算，以獲取精度更高的造斜率預測模型。

2.1 現場數據預處理

構建造斜率預測模型時，有些因素的取值普遍較小，而有些因素的取值普遍較大。輸入的各個影響因素的數量級可能會影響造斜率預測精度，為了降低由各因素的數量級帶來的誤差，本文采用MinMaxScaler法對造斜率影響因素的實鉆數據進行歸一化處理，使所有數據均分布于區間[0，1]。MinMaxScaler歸一化的計算式為：

(12)

式中：x′為經過歸一化處理后的變量；x為變量初始值；xmax、xmin分別為初始變量中的最大值和最小值。

2.2 現場數據相關性分析及數據加權變換

造斜率影響因素眾多，通過已知鉆井數據求出各個因素與實際造斜率間的相關系數，分析實際造斜率對各個影響因素的敏感程度。變量間的相關系數有多種定義方式，如Pearson相關系數、Spearman相關系數等。本文采用Pearson相關系數，其計算式為：

(13)

式中：rX，Y為某個影響因素X與造斜率Y之間的相關系數，取值范圍為[-1，1]，其絕對值越接近1，表示2個變量X、Y之間的線性相關程度越高；Cov(X，Y)為變量X、Y間的協方差；E(X)、E(Y)、D(X)、D(Y)分別為變量X、變量Y的均值和方差。

利用Pearson相關系數評估各個影響因素與造斜率之間的相關性，依據相關程度表[19]剔除相關系數處于(-0.2，0.2)間的無關變量，將其余的變量作為敏感因子，分別按下式進行加權處理。

(14)

式中：r(x，i)y為第i個影響因素與實際造斜率之間的相關系數；n為參與構建預測模型的敏感因子個數；xi0為第i個未經加權處理的敏感因子；xi為第i個加權處理后的敏感因子。

不同相關系數對應的相關程度如表1所示。

表1 不同相關系數對應的相關程度Table 1 Correlativity corresponded by different correlation coefficients

2.3 造斜率預測精度評估標準

一個預測精度不足的模型對于實際生產需求毫無意義，因此，如何選取一個合適的標準來評判預測精度顯得尤為重要。本文由于樣本點較少，使用單個指標來評判Kriging模型的預測精度時，會因為個別特殊樣本點的存在使得預測結果缺少可信度。為了克服這個缺點，本文繼續采用文獻[16]中的3個預測指標(均方根誤差(ERMS)、最大絕對誤差(EMA)和平均絕對誤差(EAA))綜合評判預測模型的精度，計算式為：

(15)

用這3個誤差的均值作為最終衡量依據，誤差越小則預測模型的精度越高。

3 案例分析

為了驗證相關性分析后的Kriging代理模型能否提高造斜率預測精度，采用文獻[20]中四川省某井段鉆井參數進行預測模型構建。鉆井參數如表2所示。

表2 四川省某井段鉆井參數Table 2 Drilling parameters of a hole interval in the Sichuan Basin

部分鉆井參數示意圖如圖1所示。

圖1 部分鉆井參數示意圖Fig.1 Schematic diagram of some drilling parameters

圖1中，X、Z分別指向井眼軸線的切線方向和井眼高邊方向；X、Y、Z共同構成笛卡爾坐標系，以此確定Y的指向；向量ef、er和ea分別指向鉆頭合力方向、實際鉆進方向和鉆具軸線方向；F為鉆頭側向力；αa為鉆頭偏轉角、αf為鉆頭合力角、αr為鉆進趨勢角。

3.1 鉆井參數預處理

為了降低由樣本數據分布區間差異造成的造斜率預測精度不足，采用MinMaxScaler法對樣本數據進行歸一化處理。由于對初始參數中鉆頭側向力、鉆頭偏轉角、鉆頭合力角、鄰井造斜率以及初始井斜進行了歸一化變換，其物理意義已不再是對應的鉆井參數，但在某種意義上能夠反映對應的鉆頭側向力等鉆井參數。故將變換后的鉆頭側向力、鉆頭偏轉角、鉆頭合力角、鄰井造斜率以及初始井斜分別記為X1、X2、X3、X4、X5。歸一化后的鉆井數據如表3所示。

3.2 鉆井數據相關性分析及加權變換

該數據集僅有26個樣本，為了同時實現模型構建及造斜率預測，由程序隨機抽取其中22組數據構建造斜率預測模型，用剩余的4個樣本檢驗模型的精度。由于不同的訓練樣本得到的預測模型精度不同，重復試驗300次，選取預測精度最高的預測模型作為最終輸出結果。下文涉及到的計算數據為最優預測模型對應的計算結果。

首先運用統計學相關理論分析該數據中各個影響因素與造斜率之間的相關性，得出對應的相關系數，相關性分析結果如表4所示。

表4 各影響因素與造斜率之間的相關性分析結果Table 4 Correlation analysis results between influential factors and build-up rate

表4中，相關系數表示各個影響因素與造斜率之間的相關性大小，其絕對值越接近1，表示相關程度越高[21-22]。

為了直觀地比較相關性分析結果，將表4中各個數據轉化為柱狀圖，如圖2所示。從圖2可以直觀地看出，鉆頭偏轉角與造斜率之間的相關程度最低且相關系數僅為0.04，故可以將其看作“無關變量”處理。將該因素剔除后用剩余的4個敏感因子再進行模型構建。此處結論與文獻[19]中基于神經網絡預測法的分析結果一致。

圖2 各影響因素與造斜率之間的相關系數柱狀圖Fig.2 Correlation coefficients between influential factors and build-up rate

剔除了無關變量之后，將剩余的4個敏感因子X1、X3、X4及X5根據下式進行加權變換：

(16)

式中：X1、X3、X4及X5分別表示經過加權變換后的4個敏感因子；X10、X30、X40及X50分別為對應于X1、X3、X4及X5加權變換前的敏感因子。

對數據進行加權變換后即可代入數學軟件構建預測模型。用于構建預測模型的最終數據見表5。

表5 用于構建預測模型的最終數據Table 5 Final data for building prediction model

3.3 造斜率預測及精度分析

為了做對照，本文先采用初始數據(5個影響因素)中22個樣本構建Kriging代理模型，并將剩余4個樣本代入預測模型進行造斜率預測；隨后，用表5中經過多種處理后的數據(剔除無關因素

并進行數據處理后的數據集)重復上述操作，并與未經數據處理的預測模型進行預測值對比。由于撰寫需要，下文中的所有計算結果僅保留兩位小數。造斜率預測結果如圖3所示。

圖3 優化前、后的Kriging法造斜率預測值Fig.3 Predicted values of build-up rate using Kriging method before and after optimization

從圖3可以看出，在4個用以測試的樣本點處，相較于使用初始數據進行模型構建，經過相關性分析后的Kriging代理模型能使造斜率預測值更接近實際值。其中，在各個用于測試的“待估點”處，造斜率預測偏差(預測值與真實值之差的絕對值)如圖4所示。

圖4 優化前、后的Kriging法造斜率預測偏差Fig.4 Prediction deviations of build-up rate using Kriging method before and after optimization

從圖4可以看出，剔除“無關因素”之后構建的Kriging代理模型的預測誤差要低于用原始數據構建的Kriging代理模型。但實際造斜率越趨近于造斜極限，造斜率預測值偏離實際值的程度越大。究其原因，主要是訓練樣本點過少，隨著越來越多高影響因素的加入，該模型的預測精度將會進一步提升。

由于待估點過少，僅采用待估點的預測偏差判斷模型優劣可能會使試驗不具備說服性。考慮到文獻[16]中使用了ERMS、EMA和EAA等3個指標來判斷模型的預測精度，本文繼續采用這3個指標，以此來增加試驗結果的可信度。試驗結果如圖5所示。

降低誤差等效于提升精度。為了更加直觀地看出此方法對預測模型預測精度的提升效果，將預測精度提升率(誤差的降低值與改進前的誤差值的比值)以百分比的形式表示，結果如圖6所示。

由圖5和圖6可以看出：剔除“無關因素”前均方根誤差、最大絕對誤差、平均絕對誤差及3種誤差平均值分別為2.51、4.28、2.07及2.95；剔除“無關因素”后均方根誤差、最大絕對誤差、平均絕對誤差及3種誤差平均值分別為2.17、3.79、1.71和2.56；相較于用初始數據構建的Kriging代理模型，改進后模型的3種誤差RMSE、MAE及AAE分別降低了13.26%、11.53%和17.37%，3種誤差的平均值降低了13.39%。由此可知，剔除“無關”因素之后再構建Kriging代理模型，預測誤差能降低13.39%，即預測精度能得到有效提升。

4 高精度Kriging預測模型應用流程

任何工程研究起源于工程問題也要應用于工程問題。實際鉆探過程中可以通過檢測鉆頭所在位置，從而得知井眼軌跡是否偏離了目標地層，然而這樣做的弊端也不容忽視，即當檢測到井眼軌跡偏離目標地層后，此時已釀成工程事故，工作人員能做的也僅僅是補救。

本文所探討的造斜率預測方法能夠在鉆井作業時實時預測下一時刻的造斜率，通過提前設置目標地層所在位置和傳感器返回的鉆具當前位姿，綜合計算鉆具鉆入目標地層所需的造斜率。在鉆頭側向力、鉆頭偏轉角、鉆頭合力角、鄰井造斜率以及初始井斜5個因素中，根據本文相關性分析結果，鉆頭偏轉角對實際造斜率影響相對較小，可不予考慮；對于一口確定的井來說，鄰井造斜率及初始井斜皆為常量，可根據現場數據給出；鉆頭側向力和鉆頭合力角可根據底部鉆具組合的力學特性[23-25]求出。本文主要研究造斜率預測模型精度的提升，對于力學參數的計算不展開討論。

高精度Kriging代理模型實際使用流程如圖7所示。鉆井作業時，在造斜率預測系統中可提前輸入鄰井造斜率及初始井斜，并實時計算鉆頭側向力、鉆頭合力角以及目標地層所需的造斜率(命名為計算造斜率)。用本文造斜率預測模型實時預測下一時刻的造斜率(命名為預測造斜率)，并與計算造斜率比較。以指向式導向工具為例，若預測造斜率小于計算造斜率，則需調節偏心環使其能夠提供更大的偏置力以增加工具的實際造斜率；若預測造斜率大于工具計算造斜率，則反之。預測模型的精度越高，工具準確鉆入目標地層的概率也就越大，在一定程度上能夠降低井眼軌跡偏離目標地層的風險。

圖7 高精度Kriging代理模型實際使用流程圖Fig.7 Flow chart for actual use of high accuracy Kriging surrogate model

5 結論及認識

(1)Kriging代理模型最終表達式中，除了矩陣r以外的所有元素僅與訓練樣本有關，在實際運用過程中可在首次計算完成之后將訓練好的模型存儲下來，后續預測時僅需代入與待估點相關的矩陣r即可快速得出相應的造斜率預測值，大大提高效率。

(2)雖然用于預測的輸入變量越多，預測精度越高，但這并不代表所有因素都應被用于構建預測模型，有些因素會使樣本點變得更加離散化，降低預測精度。因此，應該恰當地選擇合適的輸入因素，以獲得精度更高的預測模型。

(3)運用相關性分析求得訓練樣本的造斜率與各個影響因素之間的相關系數，剔除相關性較低的數據能有效降低預測誤差。在本文所選數據中，3種誤差(ERMS、EMA和EAA)分別降低了13.26%、11.53%和17.37%，3種預測誤差平均降低了13.39%。

(4)建立的預測模型可適用于多領域中的多變量響應問題，隨著訓練樣本中具有較高相關性的參數增多，模型預測精度會進一步提高，井眼軌跡偏離目標地層的風險也會進一步降低。

(5)下一步研究將考慮不同因素間交互效應的影響，進一步提高預測精度。