數學知識的關系與作用分析

鐘志華　周美玲

摘 要：分析教材中數學知識的關系與作用是教學設計的起始環節。數學知識之間的關系包括上下位關系、并列關系、先后關系、演繹關系、特殊與一般關系、系統與要素關系等；數學知識的作用包括示范作用、奠基作用、工具作用、橋梁作用、鋪墊作用、組織作用等。分析數學知識的關系與作用，可以充分揭示知識的來龍去脈，促進新課標理念的有效落實，為教學設計的其他環節（如學情分析、教學目標分析、教學重難點分析、教學方法設計等）提供重要依據，促進教學活動的有序進行；需要牢固樹立聯系的觀點，深入研讀數學課標，仔細閱讀數學教材，進而具體分析知識之間的內在聯系以及知識的組織方式。

關鍵詞：數學教材；知識關系；知識作用；教學設計；聯系觀點

分析教材（可以理解為廣義的教學材料）中數學知識（教學內容）的關系（地位）與作用（價值）——目前學界習慣上將其簡稱為“教材地位與作用分析”，是教學設計的起始環節。這里強調“教材”，是為了給分析數學知識的關系與作用約定一個范圍，畢竟數學是一門博大精深的學問，從教學角度看，更多地是在課程（以教材為載體）的范圍內討論問題；分析知識之間的關系，可以確定某知識在知識體系中所處的地位（“地理位置”），不需要做價值判斷；分析知識的作用，主要是考察該知識對其他內容的影響，需要做價值判斷。當然，關系分析與作用分析不可能截然分開，因為有聯系的事物之間總會或多或少地產生影響。

分析教材中數學知識的關系與作用通常包括以下內容：前面安排了哪些知識與技能作為認知基礎？本節課包含了哪些內容？它們與前面的內容有何關系？是對前面內容的拓展、總結還是應用？它們與后續內容存在怎樣的關系？后面還有怎樣的發展？后續內容是在它們基礎上的拓展、深化還是提升？它們的學習需要學生掌握哪些知識、技能或研究方法？將會發展學生哪些方面的能力或核心素養？對學生的進一步學習、將來就業乃至終身發展有何重要意義？等等。

一、 數學知識的關系與作用有幾類

（一） 數學知識關系的類型

奧蘇伯爾認為，概念之間具有上下位關系、并列關系。其實，數學知識之間的關系還可以根據性質的不同做進一步細分。從已有的教學經驗來看，比較常見的類型有：

（1） 上下位關系。是指知識之間存在隸屬關系，一般適用于概念之間關系的分析。比如，四邊形與平行四邊形、矩形、菱形、正方形等概念之間就是上下位關系，函數與一次函數、指數函數等具體函數之間也是上下位關系。

（2） 并列關系。是指兩個知識相對于其上位知識而言具有同等地位，如三角形與四邊形、等差數列與等比數列、指數函數與對數函數等。

（3） 先后關系。是指知識在教材中呈現的先后順序。有些知識之間有固定的先后順序，學習后面的知識要用到前面學過的知識，否則無法進行。比如加法與乘法，必須先講加法，后講乘法。再如三角形的邊、高、中線、中位線等概念，必須先有三角形的概念，才能加以定義。有些知識之間雖然也有先后順序，但是誰先誰后其實沒有太大關系，只是因為這些知識放在一起總得有一個先后順序。比如，正弦定理和余弦定理誰先誰后，對教學沒有太大影響。再如，“兩組對邊分別平行”與“兩組對邊分別相等”誰作定義、誰作性質，都不妨礙平行四邊形的學習，以“平行”作定義可能只是更加“名正言順”而已。

（4） 演繹關系。又稱蘊含關系或因果關系，一般是指命題之間的關系，即由一個命題推出另一個命題的關系。比如，“兩直線平行”與“同位角相等”之間存在蘊含關系。再如，“三角形全等”與“對應邊相等”之間也存在蘊含關系。

（5） 特殊與一般關系。是指兩個知識（通常是命題）之間前者可以看作后者特例的關系，如勾股定理與余弦定理、三角形內角和定理與多邊形內角和定理等。

（6） 系統與要素關系。是指一個事物與構成這個事物的要素之間的關系，如三角形與三角形的邊或角、方程與方程的解等。

此外，數學知識之間的關系還有很多，如等價關系、交叉關系、對立關系、平行關系、相等關系、具體與抽象的關系等。限于篇幅，不再一一列舉。

總的來說，數學知識之間的關系錯綜復雜，要想完全揭示非常困難。因此，知識關系分析實際上是教學內容分析乃至數學教學設計的重中之重。

（二） 數學知識作用的類型

數學知識的作用有很多，比較常見的有：

（1） 示范作用。如指數函數對后續其他函數的學習、三角形對四邊形及多邊形的學習、全等三角形對相似三角形的學習、一元一次方程對一元一次不等式的學習，等等。

（2） 奠基作用。如加法對乘法的學習、乘法對乘方的學習、有理數對整式的學習、一元一次方程對高次方程或方程組的學習，等等。

（3） 工具作用。如代數式對方程、不等式以及函數的學習，函數的三要素、單調性、奇偶性、周期性等對具體函數的學習，等式（不等式）的性質對解方程（解不等式）的學習，等等。

（4） 橋梁作用。比如，絕對值是將與負數有關的加減乘除運算轉化為非負數的加減乘除運算的橋梁，直角坐標系是代數問題與幾何問題相互轉化的橋梁。

（5） 鋪墊作用。是指特意增加的知識（奧蘇伯爾稱其為“先行組織者”）對新知識的學習所起到的作用。比如，同類項是為學習整式的加減運算做鋪墊的，同類根式是為學習根式的加減運算做鋪墊的，同次根式是為學習根式的乘除運算做鋪墊的，因式分解是為學習分式的加減運算與乘除運算做鋪墊的，平行線分線段成比例這一基本事實是為學習三角形相似做鋪墊的。雖然這些知識本身不是教學的重點，但是這些知識掌握的好壞會對后續知識的學習產生直接的影響。因此，對這些知識的學習，也應給予足夠的重視。

（6） 組織作用。比如，初中數與代數領域的數、代數式、方程、不等式、函數等知識都可以用函數的觀點統一在一起。這里，函數起到了知識組織的作用。

二、 分析數學知識的關系與作用有何意義

（一） 充分揭示知識的來龍去脈

傳說古希臘詩人西蒙尼德斯在一次宴會上朗讀了一首抒情詩，隨后被他在詩中贊美的兩位神靈卡斯托爾和波拉克斯叫出宴會大廳。就在他走出宴會大廳后，屋頂倒塌，里面的人無一生還，尸體血肉模糊，甚至連親屬也無法辨認。但西蒙尼德斯卻根據各人在大廳里曾經就坐的位置辨認出了每一具尸體。西蒙尼德斯之所以能做到這一點，是因為他采用了一種在古代演講中廣泛使用的技術——地點法。故事也許純屬虛構，但現代認知心理學已經證明，把要記憶的對象安排在某種有序的位置十分重要，這種記憶術對于回憶一系列有序安排的事項確有幫助。［1］

其實，學習也是如此：就好比將知識放在大腦這個“圖書館”里，如果每個知識在頭腦中都有確定的位置，都被放置得井井有條，那么，知識不僅不容易被遺忘，而且很容易被提取。而分析知識的關系與作用就是要查明所學知識到底與哪些知識有關系、有什么關系，從而將所學知識與學習者頭腦中已有的知識建立聯系。這樣，不僅有利于學習者準確把握知識的來龍去脈，而且有利于將新知識順利納入原有的認知結構，進而促進知識的理解和記憶。

（二） 促進新課標理念的有效落實

新課程改革以來，各版義務教育和普通高中數學課程標準都強調知識的普遍聯系以及把握知識關系的重要性。學生不應該就事論事地學習數學，不應該孤立地學習數學，不應該局限地學習數學，應該在普遍聯系中學習數學，應該在數學學習中深刻體會數學知識之間、數學與其他學科之間以及數學與生活之間的聯系。美國的數學課程標準也非常重視“聯系”，認為幫助學生了解和掌握知識之間的聯系十分重要，是數學教學中必須強調的一項重大任務。有了這種了解和掌握，學生就能領會數學是一個有機的整體，而不是一堆孤立、凌亂的東西；對事物的考察就能從多方面進行，思維就會更加活躍，解決問題的手法就會更加靈活多樣，數學能力就能得到提高。［2］可見，聯系的觀點是國內外數學課標倡導的核心理念。

眾所周知，教材是課標意志的體現。分析教材中數學知識的關系與作用直接體現了教師對課標理念的理解程度，也決定了教師能否將課標理念真正落實到日常教學中，也就在一定程度上影響了課改的走向。因此，運用聯系的觀點分析知識的關系與作用，不僅充分體現了新課標的內在要求，而且可以促進新課標理念的有效落實。

（三） 為教學設計的其他環節提供重要依據

作為教學設計的起點，準確分析知識的關系與作用，不僅可以更加全面、深刻地認識數學知識的內在結構，更加清楚地了解知識的來龍去脈，而且可以為其后的學情分析、教學目標分析和教學重難點分析等環節提供依據。比如，分析教學目標時，教師不僅需要根據學習者的已有知識確定其“最近發展區”——教學目標，而且需要根據所確定的教學目標分析各使能目標（從原有知識基礎到達教學目標需要到達的次級目標），最終找到恰當的認知起點，同時需要在此基礎上編制一張達成教學目標的“教學過程圖”。所有這些，都離不開對知識關系與作用的精準分析。

（四） 促進教學活動的有序進行

眾所周知，教材的知識序決定教學的邏輯序，而教學的邏輯序又進一步決定學生的認知序。因此，深入分析知識的關系與作用，可以根據知識發生發展的來龍去脈，構建恰當的教學路線，選擇合適的教學方法甚至評價方法等，從而為教學設計及教學實施提供更有針對性的指導。數學教學要注重知識之間的邏輯聯系，即不僅要注重知識的“生長點”，而且要注重知識的“延伸點”，才能使學生把局部的數學知識置于整體的知識體系中，才能加強學生對數學的整體把握和宏觀認識。

比如，教學人教版初中數學七年級下冊《平行線》一課，如果教師充分了解“平行線”知識在《相交線與平行線》這一章乃至整個幾何學中的地位與作用，就應該認識到平行線是本章乃至初中幾何的教學重點，研究平行線要轉化為相交線來進行，從而也會自然地認識到引入第三條直線只是為判定兩條直線是否平行提供一個參照標準。這樣，又會進一步認識到本節課的教學難點是如何引導學生將平行線問題轉化為相交線問題來研究，從而也就自然地理解引入同位角、內錯角、同旁內角完全是為研究平行線服務的，它們只是工具，研究平行線才是真正的目的。

再如，根據平行線與學生生活經驗之間的關系以及同位角、內錯角、同旁內角三者之間關系的性質，可以發現，教學“同位角相等，兩直線平行”這一基本事實時，依據學生以往將三角板沿直尺平推來作平行線的學習經驗，先嘗試操作探索，再歸納發現結論，更利于學生的接受。而教學“內錯角相等或同旁內角互補，兩直線平行”這兩個判定定理時，則宜采用將內錯角或同旁內角轉化為同位角的演繹推理方法進行探索。這樣不僅可以在不增加學生學習難度的前提下充分提高課堂教學的效率，而且可以在充分體現教學方法靈活性與多樣性的同時，最大限度地激發學生學習的主動性與積極性。

三、 怎樣分析數學知識的關系與作用

（一） 牢固樹立聯系的觀點

聯系的觀點不僅是哲學的基本觀點，而且是研究教學問題的重要出發點。著名教育學家布魯納認為，教學任何學科主要應使學生掌握這一學科的基本結構［3］，而學習結構就是學習事物是怎樣相互聯系的［4］。著名教育學家奧蘇伯爾則認為，有意義學習的本質是在新舊知識之間建立非任意的實質性的聯系。［5］雷鈉特·N.凱恩等人的腦科學研究進一步證實，學習的本質就在于找出所學知識與學習者已經知道的和看重的東西之間是如何相關的，以及信息和經驗之間是怎樣聯系的。［6］分析教材中數學知識的關系與作用也自然需要運用聯系的觀點來指導。

數學知識的內在邏輯性決定了數學教材是充滿聯系的統一整體。新知識只有與已有知識真正建立聯系，才能被納入相應的知識體系中，才能被理解和應用。然而，許多數學知識之間的聯系并不是一眼就能看出來的，它常常隱含在知識的深處，需要教師去挖掘、研究，并與學生一起將知識直觀化、系統化、結構化。因此，在分析知識的關系與作用時，要樹立“一切從聯系出發”的觀點，形成隨處聯系、隨時聯系的意識；要著眼于教學內容的縱橫聯結，注意教學內容的整體與局部、前與后、因與果等的銜接與遞進，在聯系中將新舊知識融為一體。即不僅要看到數學知識之間的聯系，而且要看到數學知識與其他學科知識之間的聯系，同時要看到數學知識與現實生活之間的聯系。具體到數學知識之間的聯系，則不僅要知道教材各個章節之間的聯系，而且要知道數學各個分支之間的聯系；不僅要知道哪些知識之間有聯系，而且要知道這些知識之間有什么聯系。在進行教學設計時，則不僅要分析知識的關系、作用與教學目標、教學重難點之間的聯系，而且要分析知識的關系、作用與學情、教學方法、教學過程等之間的聯系。這樣，才能在教學設計的各個環節充分立足知識的關系與作用，才能使因“材”施教的原則真正落到實處。

（二） 深入研讀數學課標

課標是規定某一學科的課程性質、目標、內容，并給出實施建議的指導性文件，是教師教學的重要依據。所謂“站得高才能看得遠”，課標的研讀能幫助教師站在一定的高度審視教材。比如，教材中分散在各冊（各章節）的多個問題情境中蘊含的多個知識點，在課標中可能是集中在一個領域（一個主題）的幾句話中表達相互關聯的幾個課程內容要求，或者是指向同一課程目標的“同質”教學內容。我們調查發現，大部分教師都能認識到課標對教材分析的重要性，但是對課標的認識更多來自專家對課標理念的宏觀介紹，而忽視自身對課標內容的深入研讀。要知道，教材是圍繞課標要求編寫的，研讀課標是讀懂教材的重要前提和基礎。教師只有在深入研讀和理解課標的基礎上，才能深刻把握教材，才能讀懂教材編排背后蘊含的道理和意圖，才能在分析教材時有更清晰的方向和更明確的目標，才能基于課標的核心理念對教材作出更合理、更到位的分析。教師在分析教材中知識的關系與作用時，要深入反思：教材有沒有很好地體現課標的理念？哪里體現了課標的理念？體現了哪些理念？是怎樣體現這些理念的？

比如，學習“空間直角坐標系”這一知識時，有許多學生提出：“為什么學習平面直角坐標系時直接在原來的數軸上加了一條坐標軸，而學習空間直角坐標系時不直接在原來的坐標系上再添一條坐標軸？”對于這一問題，純粹從知識的角度很難找到合適的答案，但是，如果立足課標中的數學核心素養（課程目標），那就應該知道這樣放置不僅更直觀（有利于學生直觀想象），而且更經濟（因為第一卦限平時接觸比較多，必須放在容易看見的地方）。由此教學，學生不但更容易理解這樣放置的合理性，避免死記硬背，而且在以后的學習過程中會根據實際問題的需要靈活地建立坐標系，從而使思維的主動性、靈活性得到充分培養。

（三） 仔細閱讀數學教材

深刻理解課標要求后，教師還需要通過仔細閱讀教材，獲得對教材主要內容及其分布的大致把握。這是精準分析教材中知識關系與作用的前提。

閱讀過程可以按照由粗到細的順序，即：首先，對學段教材進行整體泛讀，大致把握教材的整體結構，從宏觀角度對學段教材的編寫順序和思路有一個整體感知，理清各冊教材之間的聯系；其次，重點閱讀本學期講授的分冊教材，明確本學期要學習哪些章節，梳理各個章節之間的內在關聯，思考其中的編排意圖；再次，針對每一章的內容，梳理各節之間的內在聯系，對各節需解決的主要問題有一個比較清晰的認識；最后，著眼于每一節或每一課時的內容，梳理主要的知識點。當教師對教材中有哪些節點以及節點如何分布有了比較準確的把握時，也就完成了“定位”或者說“描點”的工作。采用這樣由粗到細、不斷聚焦、層層深入的方式，就能獲得對教材全面系統、細致深入的把握。［7］

（四） 具體分析知識之間的內在聯系以及知識的組織方式

知識關系與作用的分析有很多類型，既可以對某個章節進行分析，也可以對某個單元進行分析，還可以對某一課時進行分析。本文主要探討某一課時的知識關系與作用分析。

運用聯系的觀點分析某一課時的數學知識（教學內容），應該從全局的角度把握教材，立足整體思考該教學內容在教材中的“地理位置”以及這樣安排的目的與意義。即不僅要分析該知識安排在哪里，而且要分析為什么要這樣安排，同時要弄清楚該知識與什么知識有聯系、有什么聯系。具體來說，要從內、外兩個方面深入分析所學知識與哪些知識（數學知識、其他學科的知識、實際生活中的知識）有聯系、有什么聯系。這里的知識既可以是學生已經學過的知識，也可以是學生將要學習的知識；學生已有的知識既可以是書本知識，也可以是生活經驗。此外，還要進一步分析知識的組織方式或編排方式及其背后的數學思想或核心素養。

下面，以“平行線”知識為例，說明如何運用聯系的觀點指導知識關系與作用分析：

先從外部看，平行線是兩條直線之間常見且重要的一種位置關系。平行線與之前所學的相交線，從知識的角度看，是一種并列關系；而從教學的角度看，還具有承接關系和轉化關系。之所以說它們具有承接關系，是因為相交線與平行線是兩條直線之間最基本的兩種關系，學過相交線后必然要學習平行線，同時平行線的學習又建立在相交線學習的基礎上，研究平行線要用到與相交線有關的許多知識，如對頂角、鄰補角等。所謂轉化關系，是指研究兩條直線之間的平行關系最終要轉化為這兩條直線與第三條直線之間的相交關系來處理。這里，第三條直線所起的作用是為這兩條直線是否平行提供一個參照標準：如果這兩條直線與第三條直線的傾斜程度相同（同位角相等），就可以判斷這兩條直線平行。另外，平行線與很多后續知識都有密切關系，一些更復雜的圖形之間的關系需要借助平行關系去研究。比如，證明三角形內角和定理要用到平行線的性質定理，很多三角形全等的證明要用到平行線知識，研究平行四邊形和梯形要用到平行線知識，研究三角形相似要用到平行線知識。而到了高中階段，涉及平行線知識的內容就更多了：立體幾何中，研究兩條直線的異面關系、直線與平面的平行關系、平面與平面的平行關系等都要轉化為直線與直線的平行關系；解析幾何中，要用代數方法研究兩條直線之間的平行關系……

以上主要體現的是平行線的工具作用。其實，平行線的作用還可以體現在思想方法層面：由平行線引出的平移變換作為一種基本而重要的變換，在數學知識的學習中具有非常廣泛的應用。通過平移可以將各種復雜函數的研究轉化為簡單函數的研究，如將一般二次曲線轉化為標準二次曲線來研究，將一般三角函數轉化為基本三角函數甚至轉為一一對應的三角函數來研究。如果再將平移這一方法做進一步推廣，則又可以得到科學研究中的一種重要方法——移植方法。比如，可以將研究指數函數的方法應用到對數函數、三角函數、反三角函數等許多函數的研究中，可以將研究橢圓的方法移植到雙曲線、拋物線的研究中，可以將數學的研究方法移植到物理、化學等學科的研究中，可以將自然科學的研究方法移植到社會科學的研究中。

再從內部看，“平行線”涉及的主要概念有平行線、同位角、內錯角、同旁內角等。其中，后三者是研究前者的工具。在后三者中，同位角最基本，內錯角、同旁內角是由同位角派生出來。之所以這么說，是因為：一方面，學習“同位角相等，兩直線平行”這一基本事實時，學生有沿直尺平移三角板作平行線的經驗；另一方面，利用所判斷的兩條直線與第三條直線的傾斜程度相同（同位角相等）更直接，更符合人的認知規律，也更便于學生理解（這一點由解析幾何中兩條直線平行的判定方法可見一斑）。“平行線”涉及的主要命題有平行公理、平行線的判定定理和性質定理等。其中，平行公理與“同位角相等，兩直線平行”是作為基本事實來處理的。之所以這樣處理，一方面，考慮了它們比較直觀，學生比較容易理解；另一方面，則考慮到學生剛學演繹證明，理解后者的證明還有難度，因此，采用歸納的方式來學習。

最后，分析知識的組織方式（編排方式）。一般來說，教材中的知識是圍繞核心概念、大觀點或數學思想、核心素養組織的。就“平行線”而言，核心概念就是平行線，因為無論平行公理，還是平行線的判定定理與性質定理，都是圍繞平行線這一概念展開的；至于同位角、內錯角、同旁內角等概念，也都是為研究平行線服務的。“平行線”涉及的數學思想有抽象思想、分類思想、推理思想、歸納思想及化歸思想等，而將有關知識有機聯系起來的主要是化歸思想。之所以這樣說，是因為：首先，從核心概念“平行線”來看，它是轉化為“相交”這一概念來定義的；其次，研究兩條直線平行是轉化為這兩條直線與第三條直線所成的各種角的關系來進行的；再次，利用內錯角和同旁內角來判定兩條直線平行是轉化為“同位角相等，兩直線平行”來研究的；甚至，“兩直線平行，同位角相等”這一性質還可以利用反證法轉化為“同位角相等，兩直線平行”來證明……由此可見，我們可以用“化歸”這一核心思想將“平行線”的主要知識有機地組織在一起。

四、 數學知識的關系、作用分析與教學設計其他環節之間的聯系

作為教學設計起始環節的數學知識關系與作用分析，與其他環節之間有著密切聯系，具體如下：

（一） 與學情分析之間的聯系

作為教學設計的起點，知識關系與作用分析清晰地揭示了知識之間的內在聯系，這就為學情分析提供了可資利用的框架和參照。在進行學情分析時，可以對照知識關系與作用分析中的知識地圖來思考：哪些知識學生已經掌握？哪些知識學生還沒有掌握？哪些知識學生比較熟悉？哪些知識學生還比較生疏？學生有什么興趣愛好？學生有什么學習特點？采取怎樣的教學方法比較容易激發學生的學習興趣和數學思考？等等。

比如，對《方程的根與函數的零點》一課進行學情分析時，如果我們已經知道從一（二）次函數的觀點看一元一（二）次方程（不等式）、函數的圖像和性質等與方程的根、函數的零點之間的內在聯系，就應該進一步思考：這些預備知識或研究方法，學生有沒有真正掌握？如果沒有掌握，是什么原因？學生還存在什么困難？學生通常采用哪些學習方法？這些方法是否適應新知識的學習？教學應該選擇什么認知起點？應該采用什么教學手段或方法，才更有利于學生的理解？等等。

（二） 與教學目標分析之間的聯系

分析教學目標時，除了考慮課標和學情之外，最主要的就是要考慮學科的影響。而學科對教學目標影響的最直接方式就是知識的關系與作用。一般來說，知識關系與作用分析主要探索知識之間有無聯系、有什么聯系。而教學目標分析不僅要考慮知識之間的內在聯系，更要考慮學生的認知起點和“最近發展區”。如果將表征知識關系的知識地圖作為參照系，則教學目標分析實際上就是要在有關的知識地圖中找到一條能讓學生通過探索獲得成功的道路。由于知識關系分析清晰地揭示了各知識之間的聯系，教師不僅可以據此確定合理的教學目標，而且可以為教學目標的達成找到恰當的認知起點和清晰的探究路徑。

比如，依據前面的知識關系分析框架（知識地圖），如果以學生前兩章所學的函數概念與性質，以及冪、指數、對數等基本初等函數模型的圖像與性質作為認知起點，那么，《方程的根與函數的零點》一課的教學目標應該側重于“在對函數圖像與性質有一定了解的基礎上，進一步考察函數與方程（不等式）等其他數學知識之間的聯系，為進一步探索運用函數零點存在性定理求方程的近似解，以及函數在其他學科及生產、生活中的應用奠定基礎”；如果將“從一（二）次函數的觀點看一元一（二）次方程（不等式）”作為認知起點，那么，本節課的教學目標應該側重于“在初中階段學習的用函數的觀點看一元一（二）次方程的基礎上，從更一般的意義上探索函數與方程之間的關系，了解函數零點存在性定理，體會從特殊到一般、數形結合等數學思想，逐步養成從不同的角度看問題的習慣”；如果將“函數”“方程”這兩個概念作為認知起點，那么，本節課的教學目標應該側重于“經歷對函數與方程的構成要素及其關系的比較、梳理、分析過程，初步體會研究事物之間聯系的方法，滲透普遍聯系的辯證唯物主義觀點”。［8］

（三） 與教學重難點分析之間的聯系

從聯系的觀點看，教學重點通常指那些與其他知識關聯度比較高或聯系比較多的知識點。［9］因此，分析教學重點時，要從知識的發展演變或來龍去脈（知識的聯系）中把握。教學重點既可以依據知識關系來分析，也可以依據知識作用來分析。從知識關系（特別是表征知識關系的知識地圖）來看，那些事關新知識的生長點，新舊知識的轉折點、聯系點往往最容易成為教學重點。比如，消元法是將多元方程組轉化為一元方程的根本方法，因此自然成為二元一次方程組的教學重點。從知識作用來看，那些對其他知識的學習影響比較大的知識往往最容易成為教學重點。比如，函數的單調性、奇偶性等性質是函數圖像與性質研究的重要方面，因此必然成為函數研究的重點。

從聯系的觀點看，教學難點就是那些不容易發現聯系的知識點。具體來說，就是那些太抽象、離學生生活太遠、過程太復雜、關系太隱蔽、學生難于理解和掌握的知識、技能與方法。［10］比如，無理數概念、“負負得正”的法則由于離現實生活較遠而成為教學難點。再如，證明等腰三角形的性質時，由于缺少添加輔助線的經驗而造成困難。又如，學習零點存在性定理時，根據端點函數值異號判斷函數在該區間內有零點，不僅要將零點與端點函數值的符號建立聯系，而且要與目前尚未學習的函數連續性概念等知識建立聯系，這對剛接觸零點概念的學生來說是一件很不容易的事情，因此，發現并深刻理解函數零點存在性定理是本節課的教學難點。

（四） 與教學方法設計之間的聯系

由于數學知識之間的聯系錯綜復雜，教學方法會隨著認知起點、教學目標和探究路徑等情況的變化而變化。知識關系、作用分析與教學方法設計之間的聯系主要表現為，根據知識之間聯系及性質的不同而采取不同的教學方法。它是因“材”施教教學原則的具體體現。

比如，依據前面的分析，《方程的根與函數的零點》一課既可以將“函數的概念與性質”作為認知起點，按照“概念—性質—學科內應用—學科外應用”的知識探究順序和結構分析方法來教學；又可以將“用函數的觀點看一元一（二）次方程（不等式）”作為認知起點，采用從特殊到一般的方法來教學；還可以將“函數”“方程”這兩個概念作為認知起點，引導學生從聯系的觀點出發，運用比較、梳理、歸納等思維方法來分析函數與方程的構成要素及其關系。

（五） 與教學過程設計之間的聯系

數學教學過程一般包括創設問題情境、提出研究問題、提出猜想、驗證猜想、鞏固小結等環節。在明確知識的關系與作用、教學目標與教學重難點等的基礎上，可以依據知識地圖設計探究路線和教學環節。

比如，《方程的根與函數的零點》一課，若以上述第三種教學方法（思路）來設計教學過程，則可以先向學生呈現“函數與方程”這一課題，創設懸念情境，引發學生對兩者關系的探究興趣；然后通過“看到這個標題，你們會提出什么問題？”“你們最想研究什么問題？”“函數與方程之間到底有什么關系？”“怎么研究函數與方程之間的關系？”“從哪些方面研究函數與方程之間的關系？”“過去我們有沒有研究過函數與方程之間的關系？”“當時是從哪些方面來研究的？”“這些關系對一般的函數和方程是否仍然成立？”等一系列問題，啟發學生循序漸進地探索函數與方程之間的關系。

參考文獻：

［1］吳慶麟，等.認知教學心理學［M］.上海：上海科學技術出版社，2000：115.

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（鐘志華，南通大學理學院，教授，碩士生導師。主要研究方向：數學教材與教學。周美玲，南通大學理學院。）

*本文系江蘇省教育科學“十四五”規劃重點課題“數學哲學與數學教育深度融合的理論與實踐研究”（編號：B/2022/01/05）、“基于HPM的數學教學難點分析與突破策略研究”（編號：B/2022/03/90），也系南通大學專業學位研究生教學案例庫建設項目“基于創新能力的中學數學教學設計案例庫建設”（編號：JXAL2202）的階段性研究成果。周美玲為本文通訊作者。