場地相關的非平穩相干函數及其工程應用

林奇祥, 彭 剛, 張 齊, 陳燈紅, 陳 忠, 許維忠

(1. 三峽大學 防災減災湖北省重點實驗室, 湖北 宜昌 443002; 2. 三峽大學 土木與建筑學院, 湖北 宜昌 443002;3. 三峽大學 湖北省輸電線路工程技術研究中心, 湖北 宜昌 443002; 4. 三峽大學 電氣與新能源學院, 湖北 宜昌 443002;5.宜昌電力勘測設計院有限公司, 湖北 宜昌 443002)

地震動空間變異性是幾百米范圍內兩個臺站地震動的振幅和相位變化。地震動的空間變異性對大跨度橋梁、核電站、大壩、地鐵、油氣管道等大跨度結構的動力響應有很大影響。由于現有地震動密集臺陣造價高,數量較少,僅僅依靠密集臺陣地震動記錄研究地震動空間變異性較困難。因此,多點地震動的模擬必不可少。Hao等[1]提出三角級數法模擬多點地震動,屈鐵軍等[2]改進了該方法,可以考慮其中一點與其他剩余點的相干性。然而以上研究假定地震動是平穩過程,只考慮強度的非平穩性。為了考慮頻率的非平穩性,董汝博等[3]提出分段合成再疊加的合成方法。朱昱等[4]提出相位差譜合成方法,賈宏宇等[5]考慮了地震動的多維性,采用相位差譜合成多維多點非平穩地震動。俞瑞芳等[6]基于實際地震動記錄,提出了時頻包絡函數,考慮強度和頻率的非平穩性。這些多點非平穩地震動的研究為地震動的空間變異性提供了基礎。

地震動的空間變異性往往由相干函數度量。現有相干函數模型分為經驗模型和半理論模型。經驗模型主要由現有密集臺站記錄擬合得到,模型函數形式簡單,模型參數僅適用于該次地震。為了更加準確地描述地震動相干性,很多研究者基于理論分析提出了半理論模型,首先確定函數形式,然后通過密集臺站記錄擬合模型參數。有些半理論模型考慮了場地的影響。Kiurghian[7]基于隨機振動理論建立了相干函數的半理論模型,考慮了非相干效應、場地效應和行波效應。Somerville 等[8]分析了行波效應、有限震源、散射效應和場地效應對相干函數的影響。丁海平等[9]基于近場地震動模擬提出了適用于基巖場地的相干函數。Todorovska 等[10]考慮九個場地條件,合成了九個地震動,分析場地條件對相干函數的影響。研究者建立半理論模型的過程中,需要做一些假定,這些假定可能對結果有影響。為了分析不同場地條件下相干函數的差異,研究者基于現有密集臺陣地震動記錄分析了地震動相干性。Abrahamson[11]比較了軟土場地、軟巖場地和硬巖場地的平均相干函數。Svay等[12]計算了Argostoli數據庫中地震動相干性,并將其與其他模型進行了比較,結果顯示這些模型都不合適,而且所有參數都與場地相關。Imtiaz 等[13]比較了Argostoli巖石場地與軟土場地密集臺陣地震動的相干性。結果顯示,當頻率小于5 Hz時,巖石場地地震動相干性大于軟土場地地震動相干性,當頻率大于5 Hz時,巖石場地地震動相干性小于軟土場地地震動相干性。Imtiaz等將這一現象歸因于與巖石場地有關的土壤異質性。研究表明,在0～5 Hz巖石場地相干函數最大,軟巖場地相干函數次之,軟土場地相干函數最小。場地條件與相干函數的關系值得研究。

綜上所述,以上研究成果都是基于現有密集臺陣地震動記錄,根據現有密集臺陣地震動記錄僅能證明相干函數與場地條件有關,無法體現場地條件如何影響相干函數,無法在相干函數中確定場地影響項,這是以上研究的不足,因此本文作者提出了場地條件相關的非平穩傅里葉相干函數,并用實際地震動記錄驗證本模型的實用性。通過蒙特卡洛方法和連續小波變換得到非平穩相干函數。然后,通過傅里葉級數擬合非平穩相干函數,進而研究場地條件和站點間距對參數的影響,驗證模型的有效性,合成多點地震動。通過這種方式產生的相干函數體現了實測地震波的物理特性,如時-頻域非平穩特性、場地差異等。最后,以一輸電塔線體系為背景進行了實例研究。

1 傅里葉非平穩相干函數模型的構建

為研究場地條件對相干函數影響,現有密集臺站無法提供充足的數據,而新建密集臺站花費很大,采用蒙特卡洛方法可以克服這一困難。為了獲得相干函數時-頻特性,采用連續小波變換。

1.1 蒙特卡洛模擬

為了描述地震動幅值和頻率的非平穩性, 俞瑞芳等和曲國巖等提出了時-頻包絡函數B(t,ω)。該函數與場地條件、震級和震源距有關。選用Clough-Penzie模型(1975)[14]。結合該功率譜和隨機模型,生成X臺站的地震波

y(t)=

(1)

Y臺站的地震波可以表示為

cos[ωk(t+τ)+φk]

(2)

(3)

式中:Δω為圓頻率的增量;φk為在區間[-2π,2π]的隨機相位;B(t,ω)為時-頻包絡函數;S(ω)為功率譜密度函數;τ為地震波從X臺站傳播到Y臺站所用時間;d12為X臺站與Y臺站之間的距離;vapp為視速度。

由于時-頻包絡函數有震源距和場地限制,以上公式適用于任意震級,指定震源距(30～100 km),三類場地(I、II、III)。Lü等[15]將VS30的值作為三類場地的邊界,分別為510 m/s、260 m/s、150 m/s。進行3 000 次蒙特卡洛后,取平均值作為生成的地震動[16]。

1.2 基于連續小波變換的相干函數的估算

現有相干函數模型假設地震動在時間上是平穩的,通過傅里葉變換可以精確地獲得地震動的頻率成分。然而,研究者不僅要獲得非平穩地震動頻率成分,而且要獲得各個非平穩地震動頻率成分出現的時間。為了改進傅里葉變換,Cohen[17]提出了短時傅里葉變換(short-time Fourier transform, STFT )。整個時域過程被分解為無數個等長的小過程。每個小過程近似平穩。然后用傅里葉變換知道隨時間變化的頻率含量。STFT也有一些局限性。例如,窄窗函數時間分辨率好但頻率分辨率差,反之亦然。Grinsted等[18]提出了連續小波變換,從而克服STFT固有的局限性。它在低頻時具有較低的時間分辨率和較高的頻率分辨率,在高頻時具有較高的時間分辨率和較低的頻率分辨率。王盟等[19]基于小波變換進行結構損傷識別,結果顯示該方法可以識別結構發生損傷時間。

本文選用連續小波變換方法,將整個地震波用于估算相干函數[20]。本文研究只針對地震動水平分量。

1.3 傅里葉非平穩相干函數

采用上述方法得到地震動相干函數,如圖1所示。地震動受震級、震源距離、場地等因素影響,地震動的長度不同。因此,采用歸一化持時。歸一化持時定義為累積能量等于0.1,0.2和1.0的時刻。由圖2可見,相干函數隨著頻率增大而減小。不同歸一化持時相干函數有不同的變化規律。當頻率小于1時,不同歸一化持時的相干函數表現類似的趨勢,即從1開始下降。當頻率大于1時,不同歸一化持時的相干函數開始與歸一化持時有關,并且上下波動毫無規律。因此,相干函數是頻率和時間的函數。

圖1 非平穩相干函數計算流程圖Fig.1 The flowchart of non-stationary coherency

圖2 非平穩相干函數Fig.2 The non-stationary coherency

現有相干函數模型形式簡單,只有頻率和站點間距兩個變量。但是相干函數影響因素眾多,沒有任何一個模型可以將場地因素包括其中。傅里葉級數可以把任何周期函數分解為正弦函數和余弦函數的無窮級數。趙雨皓等[21-22]利用傅里葉級數的優點描述復雜函數均取得不錯的效果。為了取得更好的擬合效果,本文提出了傅里葉級數非平穩相干模型( Fourier series non-stationary coherency model, FSNSCM )。

四階傅里葉級數可以表示為

(4)

Lin(x)=ancos(nx)+bnsin(nx)

(5)

式中:a0,an,bn為擬合系數;x為頻率;k為傅里葉級數的階數,k值越大,精度越高,但是需要擬合的系數也增多。經過反復計算,k=4比較合適。

Imtiaz等[23]發現震級(大多低于5)和震源距不影響相干函數。Imtiaz等認為,選用的地震震級大多在5級以下,因此這些地震可以近似為點源。當兩臺站間距離與震源距相比較小時,震級對兩臺站的地震動影響相同。

本文采用式(6)擬合三類場地條件的非平穩相干函數,通過分析三類場地條件對參數的影響建立場地條件與相干函數的聯系。

為了分析三類場地條件對九個參數的影響,采用面積法,即首先通過積分計算三類場地每個參數的變化曲線的積分A1、A2、A3,如圖3(a)所示,然后計算三者的平均值Am,最后定義變化率為(A1-Am)/A1、(A2-Am)/A2、(A3-Am)/A3。從圖3(b)可以看出,場地I條件下的a0變化率大約是4%,場地II和場地III條件下的a0變化率大約是2%,場地I條件下的a1變化率大約是-13%,場地II條件下的a1變化率大約是1%,場地III條件下的a1變化率大約是11%,場地I條件下的a2變化率大約是-12%,場地II和場地III條件下的a2變化率大約是5%,場地I、場地II和場地III條件下的a3變化率大約是0,場地I、場地II和場地III的a4變化率大約是-1%,場地I條件下的b1變化率大約是-50%,場地II條件下的b1變化率大約是10%,場地III條件下的b1變化率大約是20%,場地I條件下的b2變化率大約是15%,場地II條件下的b2變化率大約是0,場地III條件下的b2變化率大約是-18%,場地I和場地II條件下的b3變化率大約是-3%,場地III條件下的b3變化率大約是5%,場地I和場地II條件下的b4變化率大約是3%,場地III條件下的b4變化率大約是-11%。在震級和震源距影響下參數變化率都沒有超過10%,因此以10%作為邊界。如果參數變化率超過此邊界,認為場地條件對該參數有影響,反之亦然。由此可知,a0,a3,a4,b3在三類場地條件下的變化率小于10%,說明場地條件對這四個參數影響有限。而a1,a2,b1,b2,b4在三類場地條件下的變化率都大于10%,說明場地條件對這五個參數有影響。相干函數與場地條件相關。擬合了每個場地條件的九個參數,由于篇幅有限,僅提供場地III條件下的各參數的擬合值,如表1所示。

(a) 三種場地a1的變化曲線

(b) 三種場地條件下九個參數的變化率圖3 三種場地條件下九個參數的變化Fig.3 The variation of nine parameters under three site conditions

表1 場地III條件下相干函數的擬合系數Tab.1 Fitting coefficients of the coherence under site III conditions

現有的相干函數模型均與站點間距有關,因此本文需要找出與站點間距有關的參數。大部分大跨結構跨度在50～200 m之間。a0隨站點間距的變化,如圖4所示。采用面積法計算其變化率,如圖5所示。采用相同的方法,計算得到其他參數的變化率,如圖5所示。a0,a1,b1所受影響強于其它參數。因此,a0,a1,b1三個參數是站點間距的函數。采用二次多項式進行擬合,并得到相應系數,如表2所示。

圖4 不同歸一化持時a0的變化曲線Fig.4 The curve of a0versus inter-station distance under different normalized duration

圖5 不同站點間距條件下九個參數的變化Fig.5 The variation of nine parameters under different inter-station distances

表2 場地III條件下a0,a1,b1的擬合系數Tab.2 Fitting coefficients of the a0,a1,b1 under site III conditions

a0(T,d)=p11*d2+p21*d+p31

(6)

a1(T,d)=p12*d2+p22*d+p32

(7)

b1(T,d)=p13*d2+p23*d+p33

(8)

式中:T為歸一化持時;d為站點間距;pij(i,j=1,2,3)為擬合系數。

1.4 模型驗證

為了驗證模型的有效性,首先選取SMART-1臺陣的45號地震的兩水平分量。45號地震的詳細信息如表3所示。計算中心臺站(C00)和內圈臺站的相干性均值和方差,如圖6所示。

表3 SMART-1臺陣的45號地震信息Tab.3 The information of event 45 in SMART-1 array

(a) 歸一化持時為0.3

(b) 歸一化持時為0.7圖6 歸一化持時為0.3和0.7時,傅里葉級數非平穩相干模型與45號地震動相干性及Hao模型比較Fig.6 The comparison among the proposed coherency model, coherence calculated by the Event 45 and Hao model with the normalized duration being 0.3 and 0.7

由于III類場地條件與D場地條件相似,傅里葉級數非平穩相干模型采用表1和2中的數據,歸一化持時分別為0.3和0.7,站點間距為200 m。圖6給出了模擬值、觀測值和Hao等模型的比較,結果顯示:① 地震動相干性觀測值隨歸一化持時變化,這是由于地震動包括不同的頻率成分,比如面波、剪切波。而傅里葉級數非平穩相干模型模擬值也隨歸一化持時變化,而Hao模型模擬值不隨歸一化持時變化;② Hao等模型模擬值最大,當頻率大于1時,非平穩相干模型模擬值與觀測值比較接近,當頻率小于1時,非平穩相干模型模擬值與觀測值差異較大,這可能是其他因素(地震波傳播方向、震源等)引起的,在以后的研究中,非平穩相干模型需要考慮這些因素。

希臘Cephalonia島的Argostoli部署了包括一個巖石站點和軟土站點。這兩個密集臺陣由21個測速儀和一個中心站組成。其他站分別位于四個同心圓上,直徑分別為10～180 m和20～360 m。臺站從2014年2月6日運行至2014年3月10日。Argostoli數據庫共記錄了約2 000條地震動。Svay 等從Argostoli數據庫選擇了93個地震動分析了地震動相干性。這93個地震動的震級范圍是2.7～3.6,震源距范圍是9～77 km,最大速度范圍是0.05～2.40 mm/s,場地條件是巖石。傅里葉級數非平穩相干模型采用場地I的擬合參數,歸一化持時為0.3,站點間距分別為55 m 和100 m。傅里葉級數非平穩相干模型計算結果與Svay等計算結果對比,如圖7所示。由圖7可知,在0～5 Hz,Svay 等計算結果較大,這可能是由于巖石場地的VS30=830 m/s,而I類場地的VS30=510 m/s。Imtiaz等將這一現象歸因于與巖石場地有關的土壤異質性。

(a) 間距為55 m

(b) 間距為100 m圖7 間距為55 m 和100 m時傅里葉級數非平穩相干模型計算值與Svay 等 (2017)計算值比較Fig.7 The comparison between coherence from Svay et al (2017) and the proposed model with the inter-station distance of 55 m and 100 m

2 多點地震動的模擬方法

大尺度結構采用多點輸入更加符合實際的輸入模式[24-26],本章將基于傅里葉級數非平穩相干函數合成多點地震動,并分析一致和非一致激勵作用一輸電塔線體系響應的區別。

2.1 基于傅里葉級數非平穩相干函數多點地震動模擬及調整

傅里葉級數非平穩相干函數具有非平穩特性,模擬地震動期間,地震動時程被切分成十段。假定地震動在每個時段里都是平穩的。地面運動的n個不同地點的平穩地震動可以由地面加速度的演化功率譜密度函數矩陣表達,采用Cholesky方法分解演化功率譜矩陣,得到下三角矩陣H(t,ω)。

(9)

(10)

φ(ωl)=ωlt-θjm(ωl)+Φml

(11)

(12)

賈宏宇等[27]提出了地震動時程在頻域上的迭代修正方法,以提高計算精度。

以目標反應譜為標準,人工反應譜與其比較,按照下式對人工地震動時程幅值進行調整

amn,(I+1)(ω)=amn,I(ω)R(ω,ζ)

(13)

式中:amn,(I+1)(ω)為修正的人工地震動時程值;amn,I(ω)為待修正的人工地震動時程值;R(ω,ζ)為人工地震動時程反應譜修正值。

2.2 有限元模型建立

以實際工程中輸電線路中某高壓耐張型輸電塔線體系為依托,建立輸電塔線體系有限元模型。塔身總高度為29 m,橫擔長度為6.5 m,塔腿根開為3 m,塔頂橫截面尺寸為1.4 m,檔距100 m,導線截面尺寸為451.54 mm2,質量為1 509.3 kg/km,地線截面尺寸為148.07 mm2,質量為989.4 kg /km。塔身桿件均為等邊角鋼,主材采用Q420鋼,斜材和輔材分別為Q345鋼和Q235鋼。導線為單回路交流三相導線,地線為兩相地線。采用ABAQUS有限元軟件進行建模,輸電塔身主材選擇BEAM單元進行模擬,采用TRUSS單元模擬導地線,選擇瑞雷阻尼來考慮輸電塔在振動過程中的耗能特性。其中輸電塔線體系為“四塔三線”模型,包括四座輸電耐張塔和三跨導地線。不考慮樁土共同作用,塔腿與基礎固結。共劃分4 350個單元,3 734個節點,最終建立的塔線體系如圖8所示。選取輸電塔線體系順線向作為地震輸入方向,采用加速度輸入法。

圖8 “四塔三線”有限元模型Fig.8 Finite element model of “four towers and three lines”

四座輸電耐張塔從左至右依次編號1#,2#,3#,4#。對于輸電塔系,由于導地線的存在,大多數模態分析結果都是以導地線振動為主,選取塔線體系前1 000階模態中塔線一起平動和扭轉的模態,單塔和塔線體系自振頻率,如表4所示。

表4 輸電單塔和塔線體系自振頻率對比Tab.4 The comparison of natural frequencies between single tower and tower-line system

2.3 四點地震動的模擬

以該四塔三線輸電塔線(間距100 m)為例,采用上述模擬技術,模擬目標反應譜采用GB 50011—2010《建筑抗震設計規范》[28]中的反應譜,場地類型為III,特征周期Tg=0.45 s,抗震設防烈度為6,地震影響系數最大值為0.125。各支撐點模擬地震加速度時程,如圖9所示。支撐點1地震加速度時程反應譜比,如圖10所示。

圖9 各支撐點加速度時程Fig.9 Acceleration time-histories of the supports

圖10 支撐點1反應譜比對Fig.10 Comparison of response spectra of the support 1

為了比較一致激勵與非一致激勵地震動的頻譜特性,計算得到一致激勵與非一致激勵地震動的傅里葉譜。一致激勵條件下各點的地震動傅里葉譜均與支撐點1地震動傅里葉譜一致,如圖11所示。非一致激勵條件下各點的地震動傅里葉譜存在明顯差異,如圖12所示。

圖11 一致激勵地震動傅里葉譜Fig.11 The Fourier spectra of the support 1 under uniform ground motion

圖12 非一致激勵地震動傅里葉譜比對Fig.12 Comparison of Fourier spectra of the support under multi-support ground motions

2.4 一致與非一致地震動激勵作用下層間位移角比較

結構層間位移角是表征結構在地震荷載或風荷載作用下破壞程度的重要參數。根據CECS 392:2014《建筑結構抗倒塌設計規范》[29]規定,多、高層結構的彈塑性層間位移角限值為0.02。

如圖13所示,一致地震動激勵作用下結構倒塌的極限峰值加速度為1.6g。在22.5～25.0 m高度范圍內,層間位移角結果出現了明顯的突變,超出了規定限值。如圖14所示,非一致地震動激勵作用下結構倒塌的極限峰值加速度為1.0g。在22.5～29.0 m高度范圍內,層間位移角都超出了規定限值。

圖13 一致地震動激勵下輸電塔層間位移角Fig.13 The inter-story displacement angle of transmission tower under uniform ground motion

圖14 非一致地震動激勵下輸電塔層間位移角Fig.14 The inter-story displacement angle of transmission tower under multi-support ground motions

3 結 論

(1) 建立的傅里葉非平穩相干函數模型,能夠較好地模擬相干函數非平穩特性及場地變化,且擬合精度較高。

(2) 場地條件影響傅里葉非平穩相干函數模型的五個參數,站點間距影響傅里葉非平穩相干函數模型的三個參數,應考慮場地條件和站點間距的影響。

(3) 與一致地震激勵作用輸電塔最大層間位移角超出限值的極限峰值加速度相比,非一致地震激勵作用下的極限峰值加速度較小,表明輸電塔較早發生破壞,輸電塔線體系地震響應分析應考慮非一致地震激勵的影響。