基于改進鯨魚算法的復合材料層合板優化設計

2023-10-18 03:51:14王偉平王青山

振動與沖擊 2023年19期

王偉平, 鐘銳, 王青山

(中南大學機電工程學院,長沙 410083)

復合材料層合板由多種材料復合而成,由于具有高強度、低密度和優良的可設計性等優點,在航空航天、建筑等工程領域得到了廣泛應用[1-2]。然而這些材料工作的環境較為惡劣,容易受到復雜的外界條件的干擾,產生自激振蕩,進而產生噪音甚至對結構產生破壞。結構的邊界或鋪設方案的差異也會對振動頻率產生不同的影響。因此,對矩形復合材料層合板的鋪層進行合理的優化具有重要的理論意義和應用價值。

近年來,隨著工程領域對材料性能的要求不斷提高,研究人員針對層合板開展了一系列優化研究。Wang等[3]采用無網格法求解固支邊界下復合材料層合板的基頻,并采用遺傳算法獲得了2層板的最佳光纖取向角和最大基頻。Narita[4]利用分層優化法以最大化基頻為目標優化8層對稱矩形板的鋪層,之后Apalak等[5-6]利用人工蜂群和差分進化算法獲得了優于Narita的鋪層。國內學者針對層合板優化問題的研究也取得了一定成果。劉寶山等[7]基于序列線形規劃算法,優化了復合材料層合板的鋪層厚度和角度。吳錦武等[8-9]采用遺傳算法分別對層合板的鋪設角和嵌入式共固化穿孔阻尼層復合材料結構的穿孔布局進行了優化。

鯨魚優化算法(whale optimization algorithm,WOA)是一種非常有效的優化算法。相比傳統的梯度求解算法,WOA具有良好的全局收斂性,在缺少導數的前提下能通過自身的收縮策略不斷向最優解靠近;但WOA也存在與其他啟發式算法類似的缺陷,如前期易過早收斂、后期易陷入局部最優等。為此,諸多學者通過引入不同修正策略提升WOA的性能,改善上述缺陷。改進后的鯨魚優化算法已被廣泛用于圖像分割[10]、路徑規劃[11]、故障診斷[12]、姿態檢測[13],損傷識別[14]等領域。其中閆哲等結合二維最大熵算法和WOA提出了一種改進鯨魚算法,顯著提高了圖像的分割精度。郭啟程等針對無人機三維路徑規劃問題,將Lévy飛行策略和信息交流機制引入WOA提出了一種新型的改進鯨魚算法,獲得了代價更小的航跡。鄭直等結合深度長短時記憶神經網絡提出一種新的改進鯨魚算法,提高故障診斷精度。

文獻研究發現,在層合板優化的研究方面,常以層合板基頻為目標進行鋪層優化研究,對帶隙優化研究較少。此外,采用WOA同時結合對立學習策略、非線性算子和自適應閾值進行層合板鋪層優化的研究鮮有報道。本文提出了一種改進鯨魚優化算法,通過引入對立學習策略、非線性算子和自適應閾值來提高其性能,并建立連續變量與離散變量的聯系。以復合材料層合板的基頻和帶隙為優化目標,對其鋪層進行優化設計。

1 復合材料層合板振動建模

在任意邊界條件下建立了復合材料矩形板模型,矩形的長和寬分別為a和b,選取板的中面作為基準面,并建立坐標系。引入兩個旋轉約束彈簧Kx和Ky以及三個軸向約束彈簧ku、kv和kw。假設等厚的矩形板的每層具有相同的材料性能和厚度。θ為層纖維與坐標軸x軸正方向的鋪設角度,如圖1所示。

圖1 復合材料層合矩形板幾何模型及坐標系Fig.1 Geometric model and coordinate system of composite laminated rectangular plate

根據一階剪切變形理論,板的位移場為[15-16]

(1)

式中:u、v和w為x,y和z方向的位移;φx和φy為旋轉位移。

位移與應變的關系可以表達為

(2)

板的本構方程為

(3)

(4)

式中:κ為結構剪切修正因子;Aij、Bij和Dij分別為拉伸、彎曲拉伸耦合和彎曲剛度系數,表達式為

(5)

由拉格朗日能量方程可得

L=V+Vsp+T

(6)

式中:T和V分別為復合材料矩形板的動能和總勢能;Vsp為彈簧所存儲的彈性勢能。

(7)

其中,I0,I1,I2分別為

(8)

式中,ρ為板的密度。

(9)

式中:li為板的外部邊界的長度;ks為對角矩陣,計算公式為

ks=diag(ku,kv,kw,Kx,Ky)

(10)

(11)

復合材料層合板的位移函數選用[17]

[u,v,w,φx,φy]=

(12)

(13)

使用Ritz法確定允許位移函數中的未知系數,并將未知系數向量的偏導數設為0

(14)

將位移函數代入式(13)可得

(Kp-ω2Mp)G=0

(15)

式中,Kp、Mp和G分別為板的剛度矩陣、質量矩陣和位移矩陣。通過求解等式可以獲得板的固有頻率。

2 算法描述

2.1 標準鯨魚算法

鯨魚優化算法的靈感來源于座頭鯨一種特殊的泡泡網捕食行為[18]。在狩獵的過程中通過不斷更新鯨魚的位置來獲取獵物的信息,完成對獵物的包圍,攻擊和搜索。三種行為分別對應狩獵的三種方法:包圍法、泡泡網法和隨機搜索。

(1) 包圍法:由于獵物的位置是優化問題的全局最優解,在狩獵過程中是未知的。因此假定當前獵物的位置是當前種群中適應度值最優個體的位置,并在后續的狩獵過程中不斷修正。其余鯨魚在該位置的指引下不斷向中心收縮,進而完成對獵物的包圍。其數學模型如下所示

D1=|C·Xbest(t)-X(t)|

X(t+1)=Xbest(t)-A·D1

(16)

式中:t為當前迭代數;Xbest為最佳鯨魚的位置;||為絕對值;A,C為系數向量,計算公式如下:

A=(2r-1)·a,C=2·r,a=2·(1-t/T)

(17)

式中,r為[0,1]中的隨機數,a在迭代過程中從2不斷減小到0,T為最大迭代次數。

(2) 泡泡網法:座頭鯨通過螺旋運動逐漸逼近獵物,此時當前最優鯨魚個體的局部進行搜索。構建鯨魚與獵物兩者之間的螺旋方程,并以此為運動路徑,以兩者之間的距離D2為修正參數更新鯨魚的位置。這樣便可以實現鯨魚對獵物的攻擊。螺旋方程的數學模型如下

D2=|Xbest(t)-X(t)|

X(t+1)=D2·ebl·cos(2πl)+Xbest(t)

(18)

式中:b為定義螺旋形狀的常數;l為[0,1]中的隨機值。

為了使鯨魚在狩獵的過程中兼顧包圍收縮與螺旋逼近。WOA算法根據隨機概率p確定狩獵的方式,兩種方法被選擇的概率均為50%。具體的選擇模型如下

(19)

(3) 隨機搜索:當|A|>1時,進行隨機搜索。在隨機搜索的過程中將迫使鯨魚遠離假定的獵物,開始隨機覓食,通過選取鯨魚種群中隨機鯨魚的位置更新自身位置。其數學模型如下:

X(t+1)=Xrand(t)-A·|C·Xrand(t)-X(t)|

(20)

式中,Xrand表示當前種群中隨機鯨魚的位置。

2.2 改進的鯨魚算法

2.2.1 對立學習策略

對立學習策略最早由Tizhoosh[19]提出。對于基于種群的WOA算法,全局搜索的過程是隨機的,按照其搜索策略更新的解可能離最優解不遠,進化開始便可以快速收斂。與此同時生成的解也有可能是最壞的或者離最優解相距甚遠,這會讓優化過程變得棘手。在沒有先驗知識的情況下,無法做出最優的判斷。因此可以選擇向相反的方向尋求最優解。本文選擇在隨機搜索過程中增加更新機制的多樣性,每次隨機搜索都有相同的概率選取到相反的位置。同時對最優個體取相反解替換最差個體。隨機搜索的數學模型如下

(21)

2.2.2 非線性收斂因子

對于WOA而言,其主要的探索能力受收斂因子a的影響。在收斂過程中a由2線性地逐漸減小到0,當a較大時,算法具有較好的全局搜索能力,但收斂速度較慢;當a較小時,算法具有較好的局部搜索能力,收斂速度較快,但容易陷入局部最優。收斂因子線性遞減無法完全體現出實際的優化過程。為了平衡全局勘探和局部搜索的關系,本文將線性收斂因子替換為非線性收斂因子,根據不同的優化問題選擇合適的k值。數學模型為

(22)

2.2.3 自適應閾值

鯨魚算法選取包圍法和泡泡網法的概率都為50%,等比例的全局勘探和局部搜索容易陷入局部最優等問題。在前期全局勘探應占有較大的比例而后期應進行細致的局部搜索。因此本文提出自適應概率閾值p*改善全局和局部搜索的關系。

(23)

2.2.4 更新位置的轉換

由于鯨魚的位置在迭代的過程中都是連續的,然而鋪層角度是離散的。因此需要將連續的鯨魚位置轉換為離散的變量,建立兩者之間的轉換規則。同時為了保持迭代過程中位置的連續性,本文采用Matlab中的取整函數

i=1,2,…,N;j=1,2,…,M

(24)

式中:N為種群規模;M為變量個數。離散角度的迭代數值Xij在一定的區間內波動,相當于在WOA的迭代過程添加了隨機擾動。有利于提高鯨魚種群的多樣性。

2.2.5 改進鯨魚進化算法的步驟

步驟1 初始化種群,設置種群數量N,變量數M,和迭代次數T。記錄種群中最優個體的適應度值和位置X。同時更新參數A,C,l。

步驟2 根據式(23)將連續的變量離散化,得到具體的鋪層角度。并計算每個鯨魚個體的適應度值。

步驟3 利用式(21)和(22)計算收斂因子a和p*。若p≤p*,且|A|≤1,根據式(15)更新鯨魚的位置,若p≤p*,且|A|>1,根據式(20)更新鯨魚的位置。

步驟4 若p>p*,則采用螺旋收縮的方式行進,利用式(17)對鯨魚個體進行更新。

步驟5 重復步驟2～步驟4,判斷迭代次數是否達到最大迭代次數T,若達到,輸出最優的鯨魚個體及其適應度值。

2.2.6 算法參數及性能

為了驗證本文所提出的IWOA算法的性能,選用6個測試函數,并與IWOA1、IWOA2、IWOA3和經典WOA算法進行比較。IWOA1、IWOA2和IWOA3分別代表只采用對立學習策略、非線性收斂因子和自適應閾值的IWOA。由于本文解決的離散問題為多峰多模態問題,因此選用文獻[18]中的多模態測試函數,測試函數的具體參數如表1所示。

表1 多模態測試函數具體參數Tab.1 Specific parameters of multimodal test function

以均值和標準差作為評價指標對結果進行分析。相關參數設置如下:N=30,M=30,T=500。針對F1～F6,經過多次測試IWOA和IWOA2的k值分別取0.1、0、0.1、0.1、0.4、0.5。重復計算30次以保證計算結果的可靠性。

表2 多模態測試函數優化結果對比Tab.2 Comparison of optimization results of multi-modal test functions

其中(IWOAi/WOA)表示結果優于或等于IWOAi和WOA的測試函數個數,i=1,2,3。“-”表示當前算法為被比較算法。IWOA1、IWOA2和IWOA3的均值除F2測試函數下,均優于WOA,表明不同的改進策略均能提升WOA尋找全局最優解的能力,但標準差較WOA略劣,表明單個改進策略的IWOAi魯棒性較差。IWOA的標準差均優于IWOAi,均值除F1測試函數外,均優于IWOAi。此外IWOA在六種測試函數下的均值均優于WOA,標準差除F1測試函數外,均優于WOA,F2測試函數IWOA和WOA均達到最佳的理論值。上述分析表明了三種策略結合能極大提升算法的綜合能力。均值和標準差的分析結果表明,IWOA算法優于WOA算法。IWOA算法在多峰值多模態的情況下具有比WOA算法更好的尋優能力和魯棒性。

3 案例分析

以固定層數層合板的基頻和帶隙最大化為優化目標,優化對稱的復合矩形板的鋪層角度,如圖2所示。優化問題可以描述為

圖2 層合板對稱鋪設Fig.2 Symmetrical laying of laminated boards max Ω1(φ) or Ω2(φ)-Ω1(φ)

問題一:以8層數對稱結構復合材料矩形板的基頻最大化為優化目標,鋪層角度為設計變量。

問題二:以8層數對稱結構復合材料矩形板的帶隙最大化為優化目標,鋪層角度為設計變量。

findφ=[φ1φ2…φn-1φn]

subject toφj∈{θ1θ2θ3…θm-1θm}

-90°≤θi≤90°

i=1,2,3,…,m

j=1,2,3,…,n

(25)

式中:n為復合矩形板的層數;m為角度可選用的個數。

其中無量綱頻率Ω的計算公式如下

(26)

表3 石墨/環氧樹脂復合材料參數Tab.3 Graphite/epoxy composite material parameters

表4給出了IWOA算法優化后長寬比a/b為1的8層對稱復合材料矩形板的鋪層和基頻,同時與LOA和DE算法優化的結果進行了比較。為了便于比較,利用Ritz法對原有的鋪層重新求解,計算的結果與LOA中的基頻相差不大,與文獻[6]的最大誤差為4.6%。IWOA算法在SSSS、SSCC、CCCC三種邊界條件下獲得了與LOA和DE一致的優化結果,而在SSSC和SSCC兩種邊界條件下,LOA和DE并不能獲得全局最優值,IWOA的優化結果要優于這兩者。

表4 LOA、DE和IWOA在不同邊界條件下的基頻優化對比(a/b=1)Tab.4 Comparison of LOA, DE and IWOA for optimization of fundamental frequency under different boundary conditions (a/b=1)

表5考慮了矩形板長寬比a/b為2時的最優鋪層和基頻,誤差依然在5%以內。在SSSS、SSSC、SCSC、CCCC邊界條件下優化結果與文獻中的一致,-90°與90°所對應的纖維方向是相同的。五種邊界條件下鋪層都趨于[90°/90°/90°/90°]s。然而在SSCC中出現了85°角,基頻的計算結果未發生改變。這是由于層合板的優化問題屬于多模態問題,存在多個局部最優解,同時在計算精度一定時,獲得的結果可能略有差異。這種現象在文獻[5]中也有體現。

表5 LOA、DE和IWOA在不同邊界條件下的基頻優化對比(a/b=2)Tab.5 Comparison of LOA, DE and IWOA for optimization of fundamental frequency under different boundary conditions (a/b=2)

表6和表7分別給出了長寬比a/b=1和2的矩形板的最優帶隙和鋪層,并與經典WOA算法進行了對比。在SSSS邊界出現了與表4中類似的現象。在SSSC、SCSC、SSCC和CCCC四種邊界條件下IWOA的優化結果均優于WOA。圖3為長寬比a/b=1時優化過程對比圖,由于引入了對立學習策略,提高了的種群的多樣性,同時非線性算子和自適應閾值賦予IWOA更強的全局搜索能力,改善了WOA后期容易陷入局部最優和“早熟”的現象,即使在初始值較差的情況下依然能收斂到最優。