基于整體設(shè)計(jì)的單元起始課
——以“整式的乘除”單元為例*

劉春江

(浙江省杭州市文海中學(xué) 310018)

數(shù)學(xué)教材因?yàn)榭紤]學(xué)生的年齡、認(rèn)知特點(diǎn)等因素,會依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)采取螺旋上升的編排方式,將同一主題的知識編排到不同年級.這一處理方式易使學(xué)生缺少對相關(guān)數(shù)學(xué)內(nèi)容的系統(tǒng)思考,教師也不易將相關(guān)數(shù)學(xué)內(nèi)容的關(guān)系結(jié)構(gòu)及來龍去脈開發(fā)為有效的教學(xué)資源.因此,根據(jù)學(xué)生實(shí)際情況,對教材內(nèi)容進(jìn)行合理化的整合是一線教師繞不開的一個任務(wù).好的開始是成功的一半,在對單元進(jìn)行結(jié)構(gòu)化整合后,教師必然要聚焦整個單元的起始課進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì),借以發(fā)揮單元起始課對后續(xù)學(xué)習(xí)的先行組織者作用.本文對“整式的乘除”單元起始課進(jìn)行基于整體設(shè)計(jì)的嘗試.

1 內(nèi)容分析

1.1 對比教材劃定單元結(jié)構(gòu)

在深入研讀《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》(以下簡稱《2022課標(biāo)》)的基礎(chǔ)上,明確各版本教材的共同點(diǎn)和差異點(diǎn),深入分析內(nèi)在原因,這對設(shè)計(jì)教學(xué)具有重要的指導(dǎo)作用.對比人教版、北師大版、華師大版和浙教版“整式的乘除”“因式分解”以及“分式”等內(nèi)容的編排位置,整理成表1.

與人教版教材相比,各版教材的編排順序差異不大,不同點(diǎn)主要在于冪的除法運(yùn)算部分.其中人教版教材將“冪的除法”放在整式的乘法之后,乘法公式之前,這樣的編排按照“冪乘-式乘-冪除-特殊乘”的順序,學(xué)生不易體會冪的除法運(yùn)算的意義;北師大版和華師大版均將冪的除法設(shè)置在冪的乘法運(yùn)算之后,然后再進(jìn)行整式的乘法,這樣的編排按照“冪乘-冪除-式乘-式除”的順序,可以表述為“按運(yùn)算對象劃分子單元”,能發(fā)揮冪乘與冪除對后續(xù)式乘和式除的先行組織者作用;浙教版教材則是先將乘法運(yùn)算完整的邏輯鏈條呈現(xiàn):同底數(shù)冪的乘法-冪的乘方-積的乘方-整式的乘法-乘法公式-整式的化簡,再進(jìn)入整式的除法運(yùn)算邏輯:同底數(shù)冪的除法-整式的除法,這樣的編排邏輯可以表述為“按運(yùn)算類別劃分子單元”,以冪乘為根基,研究式乘時可以化歸為冪乘,再以冪乘-式乘為先行組織者,使得研究式除的邏輯路徑不需要教師傳授,學(xué)生可以自行仿照式乘進(jìn)行．浙教版這樣的順序既賦予了化歸的依據(jù)又賦予了路徑的參照,因此本文選擇浙教版教材的路徑進(jìn)行單元架構(gòu)(圖1)．

圖1 “整式的乘除”單元結(jié)構(gòu)圖

1.2 借助模型設(shè)定單元起始課學(xué)習(xí)目標(biāo)

單元起始課的學(xué)習(xí)目標(biāo)是學(xué)生通過學(xué)習(xí)后要達(dá)到的預(yù)期結(jié)果,是中觀層面上的學(xué)習(xí)目標(biāo),是落實(shí)課程目標(biāo)的基本單位.借助KUD模型對本單元起始課進(jìn)行目標(biāo)設(shè)計(jì),使用概念性視角建設(shè)“冪的運(yùn)算”子單元作為單元起始課來激發(fā)學(xué)生思維,并在處理“冪的運(yùn)算法則”事實(shí)性知識的同時能達(dá)到“法則的推理論證”,引發(fā)學(xué)生協(xié)同思考,獲得概念性理解,提高學(xué)習(xí)熱情．為了使學(xué)生形成“猜想與論證相適應(yīng)”的觀點(diǎn),將概念或觀點(diǎn)與現(xiàn)實(shí)情境問題聯(lián)系起來,實(shí)現(xiàn)更高層次的認(rèn)知.本子單元的目標(biāo)設(shè)計(jì)如表2．

表2 KUD模式的單元起始課學(xué)習(xí)目標(biāo)

2 教學(xué)實(shí)施

單元起始課的設(shè)計(jì)邏輯采用從整體出發(fā),逐漸分化,從運(yùn)算實(shí)踐出發(fā),經(jīng)歷算法,歸納算理．具體操作為從整式四則運(yùn)算的整體結(jié)構(gòu)出發(fā),引導(dǎo)學(xué)生從宏觀架構(gòu)到微觀實(shí)踐,自主將研究的問題具體化,通過運(yùn)算實(shí)踐尋找整式乘除的邏輯脈絡(luò),進(jìn)而構(gòu)建整體研究的思路,實(shí)現(xiàn)自主確定“先行組織者”策略,再按照知識的邏輯順序逐步展開學(xué)習(xí)．這一設(shè)計(jì)的核心教學(xué)功能是從“概念+運(yùn)算”的視角確定研究路徑,建構(gòu)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的路徑.選取教學(xué)實(shí)施各任務(wù)的核心活動呈現(xiàn)如下:

任務(wù)1知識回顧明算理

問題1 我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了哪些整式及其運(yùn)算的知識?

追問1 整式加減運(yùn)算的步驟如何?其實(shí)質(zhì)是什么?依據(jù)是什么?

師生活動 學(xué)生回顧單項(xiàng)式及其次數(shù)、多項(xiàng)式及其次數(shù)、整式等概念,用自己寫的整式進(jìn)行加減運(yùn)算;在正確運(yùn)算后回顧運(yùn)算程序——算法,并指出整式的加減運(yùn)算實(shí)質(zhì)是合并同類項(xiàng),并進(jìn)一步指出由于整式中的字母代表數(shù),故運(yùn)算的依據(jù)是加法的交換律和結(jié)合律——算理．

設(shè)計(jì)意圖快速確定研究對象,回顧已學(xué)知識的內(nèi)容及學(xué)習(xí)要求,即做到懂算法、明算理、理解數(shù)式通性,為后續(xù)學(xué)習(xí)提供支持.

任務(wù)2自主命題構(gòu)路徑

問題2 類比數(shù)的運(yùn)算,你認(rèn)為接下來可以研究整式的什么運(yùn)算?

追問1 你能運(yùn)用a,b,c,1,2,3這幾個元素構(gòu)造兩個整式進(jìn)行乘除運(yùn)算嗎?

追問2 (小組合作)能把大家寫的兩個整式的運(yùn)算式進(jìn)行分類嗎?

追問3 觀察這些算式,你能描述其中的關(guān)系并計(jì)劃研究的路徑嗎?

師生活動 學(xué)生獨(dú)立構(gòu)造整式的乘除運(yùn)算,再通過小組合作,將大家構(gòu)造出的整式乘除算式分類,并歸納出整式的乘法包括單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式、單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式、多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式;類似的,整式的除法包括單項(xiàng)式除單項(xiàng)式、單項(xiàng)式除多項(xiàng)式、多項(xiàng)式除多項(xiàng)式．

首先發(fā)現(xiàn),整式的乘法運(yùn)算仍是整式,而整式的除法運(yùn)算可能會產(chǎn)生分式.對于多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算,可以利用分配律轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式的乘積之和,再利用乘法交換律、結(jié)合律進(jìn)行單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式,而單項(xiàng)式的乘法運(yùn)算中有一個特殊的情況是兩個單項(xiàng)式都含有相同的唯一一個字母,即冪的乘法運(yùn)算.因此研究路徑可以定為“冪的運(yùn)算-單項(xiàng)式的運(yùn)算-多項(xiàng)式的運(yùn)算”．

設(shè)計(jì)意圖從整體上勾勒了本單元要研究的主要問題,讓學(xué)生初步建構(gòu)本單元的知識結(jié)構(gòu)．從系統(tǒng)的角度設(shè)計(jì)基于數(shù)學(xué)事實(shí)的教學(xué)情境,落實(shí)單元起始課的一項(xiàng)主要目標(biāo)．這樣的設(shè)計(jì)具有整體連貫性,便于學(xué)生系統(tǒng)了解知識之間的聯(lián)系,知道新知識從哪里來,將要到哪里去,同時還不失時機(jī)地應(yīng)用了分類的數(shù)學(xué)思想,也為繼續(xù)深入研究做好了化歸思想的滲透,在學(xué)習(xí)知識的同時發(fā)展學(xué)生思維能力,豐富學(xué)生探究運(yùn)算封閉性的活動經(jīng)驗(yàn)．

任務(wù)3聚焦起始再細(xì)分

問題3 整式的乘法以單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式為基礎(chǔ),又聚焦到冪的乘法運(yùn)算.你能從冪的構(gòu)成要素角度繼續(xù)對冪的乘法運(yùn)算進(jìn)行分類嗎?

追問1 能舉例說明如何進(jìn)行同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算嗎?

追問2 能從冪的概念角度證明運(yùn)算法則嗎?

師生活動 學(xué)生獨(dú)立思考冪的要素包含底數(shù)和指數(shù),因此冪的運(yùn)算應(yīng)包含同底數(shù)冪的乘法、底數(shù)和指數(shù)都相同的乘法、同指數(shù)的冪的乘法等幾類.教師引導(dǎo)學(xué)生聚焦到同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算,再由學(xué)生獨(dú)立根據(jù)冪指數(shù)形式的數(shù)字乘法運(yùn)算猜想同底數(shù)冪的乘法法則,最后由教師引導(dǎo)學(xué)生將冪還原成相同字母乘積的形式,運(yùn)用定義證明法則．

設(shè)計(jì)意圖對冪進(jìn)行要素分析,并基于要素設(shè)計(jì)研究類別,積累分類及研究經(jīng)驗(yàn),完整建構(gòu)單元起始課的主要研究內(nèi)容;通過數(shù)的運(yùn)算猜測法則并用回歸定義的方式證明法則,為后續(xù)的起始課內(nèi)容研究做好先行組織者工作,使學(xué)生既能熟練使用算法又能明白算理,強(qiáng)化代數(shù)推理的能力．

任務(wù)4積累經(jīng)驗(yàn)特殊化

問題4 對于同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算法則,你能設(shè)計(jì)研究思路嗎?

追問1 通過特殊的數(shù)字形式的運(yùn)算發(fā)現(xiàn)的規(guī)律一定可靠嗎?

追問2 目前我們有什么工具可以證明同底數(shù)冪的乘法法則?

師生活動 學(xué)生獨(dú)立思考,嘗試用數(shù)字冪運(yùn)算發(fā)現(xiàn)同底數(shù)冪的乘法,教師引導(dǎo)學(xué)生回歸冪的定義對運(yùn)算法則進(jìn)行證明．

設(shè)計(jì)意圖積累特例是重要的數(shù)學(xué)研究經(jīng)驗(yàn),引導(dǎo)學(xué)生體會數(shù)學(xué)中研究特例的意義:特殊性之中蘊(yùn)含著一般性及規(guī)律性,在從特例的性質(zhì)推廣到一般性質(zhì)的深化過程中體會通過特殊化、分類等方法解決問題的思路,進(jìn)一步積累代數(shù)推理的經(jīng)驗(yàn)．在法則證明環(huán)節(jié)引導(dǎo)學(xué)生思維“溯洄從之”尋找依據(jù),發(fā)現(xiàn)此處只能回歸冪的概念,為后續(xù)化歸思想做鋪墊．

任務(wù)5延續(xù)路徑再探究

問題5 能猜想同指數(shù)的冪——積的乘方運(yùn)算法則并論證法則嗎?

追問1 延續(xù)路徑,你有什么困惑與好奇之處嗎?

追問2 能對子單元進(jìn)行復(fù)盤,回顧所學(xué)知識與學(xué)習(xí)路徑嗎?

師生活動 學(xué)生獨(dú)立對同指數(shù)的冪——積的乘方進(jìn)行算法探究與算法論證;引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)對底數(shù)與指數(shù)均不同的冪的運(yùn)算進(jìn)行簡單探究,最后由教師引導(dǎo)學(xué)生對冪的運(yùn)算子單元進(jìn)行回顧整理．

設(shè)計(jì)意圖延續(xù)冪的要素分析與運(yùn)算探究,如果僅停留在特殊情況,學(xué)生仍是被教師、教材牽著鼻子走,屬于被動的學(xué)習(xí).引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)對底數(shù)與指數(shù)均不同的冪乘運(yùn)算進(jìn)行探究,將知識點(diǎn)置于知識系統(tǒng)中,使學(xué)生真正地實(shí)現(xiàn)見樹木更見森林的狀態(tài),提升自主探究的能力．

3 教學(xué)說明

3.1 整體設(shè)計(jì)重組教學(xué)單元

新課標(biāo)指出,數(shù)學(xué)教材為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動提供了學(xué)習(xí)主題、知識結(jié)構(gòu)和基本線索,是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)、實(shí)施數(shù)學(xué)教學(xué)的重要資源[1]．比較各版本教材,根據(jù)具體學(xué)情對教材進(jìn)行重組,在單元的內(nèi)容關(guān)聯(lián)與結(jié)構(gòu)、內(nèi)容組織與呈現(xiàn)等方面著力進(jìn)行重組以實(shí)現(xiàn)目標(biāo)．單元內(nèi)容組織時要特別注重來龍去脈,使教師的引導(dǎo)有邏輯、學(xué)生的興趣被激發(fā)、學(xué)生的探索有方向,從而形成有利于引發(fā)學(xué)生思考、體現(xiàn)核心素養(yǎng)培養(yǎng)要求的教學(xué)任務(wù)．在對單元進(jìn)行加工后發(fā)現(xiàn),本單元冪的幾種運(yùn)算法則在探究過程、思想方法等方面具有緊密的內(nèi)在聯(lián)系:法則的探究方法均為由特殊到一般,算理均需回歸冪的概念,過程均為法則得出后進(jìn)行相關(guān)的應(yīng)用.基于這些一致性,把冪的運(yùn)算整合為一個學(xué)習(xí)子單元,并確定為單元的起始課．分步實(shí)施確定為:第1課時引導(dǎo)學(xué)生猜想、驗(yàn)證完成同底數(shù)冪的乘法法則探究,形成初步的研究路徑;第2、第3課時延續(xù)路徑,引導(dǎo)學(xué)生猜想、驗(yàn)證完成冪的乘方及積的乘方法則探究,積累特殊化、要素化的經(jīng)驗(yàn),如此既突出整個單元的整體性,又在單元起始課的學(xué)習(xí)中積累學(xué)習(xí)方法和研究路徑．

3.2 先行組織發(fā)揮起始課作用

“冪的乘法運(yùn)算”是整式乘法的邏輯起點(diǎn),是該單元的起始課,是單元學(xué)習(xí)的開始,承載著單元知識以及學(xué)習(xí)方法、研究路徑的引領(lǐng)作用．在教學(xué)中應(yīng)該讓學(xué)生理解研究對象得出的必要性和重要性、從哪些方面進(jìn)行研究、研究的路徑和方法是什么等,從而讓學(xué)生明確學(xué)習(xí)目的,激發(fā)學(xué)習(xí)興趣,增強(qiáng)主動學(xué)習(xí)的意識.基于這一教學(xué)設(shè)計(jì)對教材進(jìn)行創(chuàng)造性加工和跨越式整合.依據(jù)美國教育心理學(xué)家奧蘇貝爾“先行組織者”理論,在單元起始課中設(shè)計(jì)冪的乘法運(yùn)算為先于學(xué)習(xí)材料的一個引導(dǎo)性材料,遵循“由特殊到一般的探究過程得到法則,用冪的定義證明法則,然后運(yùn)用法則進(jìn)行運(yùn)算”的學(xué)習(xí)過程.研究路徑和方法相同,研究對象指向了冪的要素——底數(shù)和指數(shù),第一課時研究同底數(shù)冪的乘法,第二課時研究特例,即底數(shù)和指數(shù)都相同的冪的乘法——冪的乘方,第三節(jié)課則研究底數(shù)不同而指數(shù)相同的情況.教學(xué)中還可以根據(jù)學(xué)生實(shí)際理解情況酌情補(bǔ)充一些底數(shù)和指數(shù)均不相同的冪的運(yùn)算問題進(jìn)行思維拓展．以此邏輯構(gòu)建新舊知識發(fā)生聯(lián)系的橋梁,以便建立有意義學(xué)習(xí)的心向,讓學(xué)生在后續(xù)全章內(nèi)容的學(xué)習(xí)中,能站在整體的高度上俯視將要學(xué)習(xí)的知識,知其然及所以然,更知何由以知其所以然.充分發(fā)揮單元起始課教學(xué)的先行組織者作用,更好地促進(jìn)學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)化,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力,落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3.3 自主探究創(chuàng)建知識建構(gòu)

作為單元起始課,既要為單元學(xué)習(xí)構(gòu)建“先行組織者”,使學(xué)生明確單元的學(xué)習(xí)主線,又要讓學(xué)生掌握“冪的乘法法則”．建構(gòu)主義指出,學(xué)習(xí)是主體在現(xiàn)實(shí)的特定操作過程中對自己的活動過程的性質(zhì)做反省、抽象而產(chǎn)生的.教學(xué)中要落實(shí)好知識的發(fā)生發(fā)展過程的建構(gòu),加強(qiáng)代數(shù)研究方法的積累,做到潛移默化地從數(shù)學(xué)的角度認(rèn)識問題和解決問題.引導(dǎo)學(xué)生通過自主的活動完成對冪運(yùn)算幾種法則的完整探究,再根據(jù)不同法則之間的探究一致性舉一反三,實(shí)現(xiàn)用做數(shù)學(xué)的方式學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),突出了數(shù)學(xué)思想方法,這是一種以學(xué)生為主體,以學(xué)生自主、探究、合作為基礎(chǔ)的學(xué)習(xí)方式．為了讓學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的完整過程,在冪的運(yùn)算法則的探究過程中,教師可以通過呈現(xiàn)豐富的問題情境,引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)和提出、分析、解決問題,經(jīng)歷問題解決全過程.

3.4 素養(yǎng)立意發(fā)展代數(shù)推理

數(shù)學(xué)教育家波利亞曾指出:數(shù)學(xué)家的創(chuàng)造性工作的結(jié)果是論證推理,是一個證明,但證明是由合情推理,是由猜想來發(fā)現(xiàn)的[2]．由此可以發(fā)現(xiàn),培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo).《2022課標(biāo)》在內(nèi)容要求上也明確加強(qiáng)了代數(shù)推理.因此有必要在適當(dāng)?shù)膯卧訌?qiáng)對代數(shù)推理的研究與實(shí)施．猜想和論證作為代數(shù)推理的一種典型形式,由猜想到證明,由特殊到一般,從歸納推理到演繹推理,由發(fā)現(xiàn)到論證,逐步提升學(xué)生的推理能力．本單元起始課即通過整體的、系列的、一致的猜想-論證活動,逐步提升學(xué)生的發(fā)現(xiàn)與提出問題、分析并解決問題的能力,進(jìn)而提高推理能力,提升核心素養(yǎng)水平．