基于APOS理論的高中數學深度學習的教學設計
——以“平面向量的概念”為例

韋慶賀 劉希武

(江蘇省連云港市厲莊高級中學 222121) (江蘇省連云港市贛榆第一中學 222100)

1 APOS理論與深度學習

1.1 APOS理論

APOS理論認為,個體依序建構了心理活動(Action)、過程(Process)和對象(Object),最終組織成用以理解問題情境的圖式結構(Scheme)[1]．APOS理論關注學生的主體性,在學生已有認知基礎上,創設的情境與生活相聯系,通過自主學習、小組合作、交流討論等方式對知識進行知識建構.APOS理論與建構主義理論是密切相關的．

1.2 深度學習

深度學習是基于理解的學習,通過激發興趣,讓學生主動參與到知識構建的過程中,并結合新知與舊知,構建知識網絡,在這過程中注重學生對知識的深入理解、批判、反思、整合與遷移應用,促進學生核心素養的達成[2]．深度學習注重對新舊知識進行聯系,而新知是在舊知的基礎上建構起來的,因此深度學習是一種典型的有價值的建構型學習．深度學習在一定程度上具備建構主義理論相似的特征.深度學習課堂注重情境與生活的聯系,通過師生活動、生生活動促進學生對概念的感知、理解、掌握、建構,最終達到知識建構的目的．

1.3 APOS理論與深度學習的相互關系

(1)基于APOS理論的概念教學設計是實現深度學習的有效途徑

APOS理論是為數學概念學習所建構的理論,描述了學習進入深度認知過程;APOS理論傾向于獲得知識,側重學習知識的過程、學習的形式,是學習一個概念的完整的過程,是縱向的,更有利于提升學生的創新思維．基于APOS理論的概念教學設計可以較好地揭示學生的認知規律,它作為實現深度學習的有效途徑主要體現在兩個方面:一是充分體現學生的主體性,從概念建構到概念網絡體系的建構,科學合理地達成教學目標,有效提升學生學習的主動性;二是注重師生交流、生生小組交流研討,側重學習概念的完整性,有效促進學生概念學習向更深水平發展．

(2)深度學習是APOS理論指導數學概念教學的追求

深度學習是在教師指導下,學生圍繞課堂上重、難點內容積極參與、體驗成功、獲得發展的有意義的學習過程．深度學習傾向于人的發展,關注知識獲取的同時也關注人的發展,側重知識的廣度及知識的價值,在APOS理論的每個階段中都可以進行深度學習的教學設計．利用APOS理論可以促進深度學習的實現,即在縱向獲得完整知識的每個過程中橫向發展,拓展知識的廣度．

2 基于APOS理論的深度學習的教學設計

APOS理論適合概念課的教學.向量對高中學生來說是一個全新的數學概念,其特殊的形式和獨特的運算體系成為解決數學問題的有力工具,理解向量概念是應用向量的基礎．本文以人教A版普通高中教科書《數學》必修第二冊第六章第一節“平面向量的概念”為例,展示基于APOS理論的深度學習的教學設計．

2.1 學情分析

學生已初步掌握一定的觀察推測、歸納概括等能力;在學生已經學過的知識和已有經驗中,與本節內容相關的有:數的抽象過程、實數的絕對值(線段的長度)、數的相等、0和1的特殊性、線段的平行或共線等,物理學科中速度、力等,這些將為學生自覺、有序、有效地認知向量概念提供“固著點”．這里,為了幫助學生建立向量的概念,與數、形的相關概念類比與聯系值得重視,如數及其運算、直線(段)的平行關系等．

2.2 教材分析

本節課包括“章引言”和“平面向量的概念”兩部分．章節起始課,應該把本章節要解決的主要問題、基本過程和主要思想方法等納入教學任務中．本節課的教學內容包括向量的形式化定義及幾個相關概念,更重要的是獲得數學研究對象、認識數學新對象的基本方法,蘊含了用數學的觀點刻畫和研究現實事物的方法和途徑．本節內容涉及的知識點有平面向量的定義及表示、零向量、單位向量、平行向量、共線向量、相等向量和相反向量的概念等．

2.3 與APOS理論四階段對應的教學目標

根據APOS理論的四個階段,確定學生在APOS四個階段分別要達到的學習目標．

活動階段 深度學習理論強調教學要體現“以學生為中心”的理念,創設問題情境,激發學生的好奇心,增強學生主動參與課堂學習的動機,通過對速度、力等實例的分析,感悟生活中存在既有大小又有方向的量,體會學習向量的必要性．

過程階段 設定細化的目標導向,促進深度學習．通過問題引導的形式,類比抽象數量概念的學習過程,引導學生抽象出概念的本質特征,抽象概括得到平面向量的概念．

對象階段 深度學習注重核心素養的培養．梳理概念相關知識點,利用平面向量概念解決相關的問題．比較向量和數量的區別,進一步理解向量概念．從整體的視角去看待所要學習的向量的概念,掌握向量概念的本質特征,并能夠對這一對象進行數學運算．

圖式階段 與已有知識體系實現深度銜接,形成完整的知識框架,將平面向量作為一個新知識納入已有的數學認知結構中,最終完成平面向量的綜合圖式．

本節課的教學重點是向量的概念、相等向量的概念和向量的幾何表示;教學難點是向量的概念和共線向量的概念, 以及向量的幾何表示的生成過程．

2.4 教學片段

2.4.1 活動階段:創設情境,激發興趣;情境分析,初識概念

活動1 南轅北轍——戰國時,有個北方人要到南方的楚國去．他從太行山腳下出發,乘著馬車一直往北走去．有人提醒他:“到楚國應該朝南走,你怎能往北呢?”他卻說:“不要緊,我有一匹好馬!”他能如愿到達楚國嗎?產生這個結果的原因是什么?

設計意圖在本階段教師應該針對學習內容,通過恰當的設計來引導學生展開討論;學生根據問題,目標明確地去討論.交流研討能夠促進學生更深層次的學習,通過討論教師也能了解學生課前自主學習情況.教師要及時對所設計的問題進行重難點分析．在此階段,教師和學生要充分發表自己的理解,提出遇到的問題,促進學生深度學習．

活動2 在教室里,生1和生2相距2 m,我們可以用數量來表示他們之間的距離,那么我們如何來描述從生1到生2的這段位移呢?

活動3 哪位同學可以給我們解釋位移和距離表示方法之間的共同點和不同點嗎?

設計意圖教師引導學生參與舉例,讓學生“動”起來,激活學生已有的相關經驗,讓他們通過觀察、概括對象的共同屬性,加深印象．再追問有沒有只有大小、沒有方向的量,通過辨析正例和反例來引起學生的認知沖突,解釋向量概念的內涵,進而給向量下定義．這在一定程度上喚起了學生的學習興趣,為深度學習的發生奠定一定的基礎,同時也讓學生了解向量存在的必要性,自然而然地開始本節新課,符合學生認知規律．在活動階段,通過對新舊知識的聯系和對比遷移,促使學生將知識進行建構整合,從而為后面構建向量圖式搭建基礎,實現深度學習．

2.4.2 過程階段:問題引導,建構概念;內化反思,緊扣本質

過程1 現在同學們做一個游戲:把生3的眼睛蒙起來,讓生3走2 m,生3會走到哪里?位置確定嗎?

過程2 現在讓生3睜開眼睛,朝正西方向走2 m,生3會走到哪里?位置確定嗎?

過程3 我們可以在黑板上用一條線段來表示生3的直線運動軌跡,是不是不管生3如何做直線運動,我們都可以用類似這樣的線段來確定生3的運動軌跡呢?如:向東直線移動0.5 m;向東南方向直線移動1 m．

設計意圖在學生感性認識的基礎之上開展交流活動,營造良好的學習氛圍,是對活動階段的進一步深入和展開,促進深度學習．在活動階段學生已經認識位移和距離的區別,在過程階段學生親身感受向量概念的生成過程,此時新的概念呼之欲出,但是只靠這個過程并不能建構出向量的概念,需要繼續設置問題情境．

過程4 剛才我們讓生3移動到指定地點需要注意哪些要素呢?

過程5 還有哪些量具有這兩個要素?

設計意圖相關的物理量在過程階段被逐個總結出來,向量概念的特征在學生的學習過程中被反復強化.教師提問讓生3移動到指定地點需要注意哪些要素,讓學生在培養概括能力的同時,初步感知新概念,引領學生實現學科思維從特殊到一般的轉變．

過程6 從剛才我們讓生3直線移動的過程中發現了一種新的量,與數量明顯不同的是,它有兩個很明顯的特征:大小和方向．

過程7 請描述向量概念．

設計意圖讓學生描述向量概念,加深學生對向量概念的理解和對知識點的不斷強化,感受數學是不斷發展的.在過程階段把教學活動做扎實以后,學生就很容易接受新概念的出現,利于促進學生的深度學習．

2.4.3 對象階段:歸納概括,符號表征;實踐練習,鞏固概念

對象1 了解了向量的概念之后,我們應該如何表示向量呢?生3移動的過程中我們是怎么表示生3的位移的呢?

對象2 要想直觀地表示生3的位移還需要注意哪些關鍵要素呢?這幾個關鍵要素結合有向線段如何表示向量呢?

設計意圖學生在過程階段對向量的概念已有了初步的理解,本階段強化學生對向量概念的深度探究,通過引導學生的思考形成數學活動經驗,更加規范地界定向量概念的要素,概括概念的本質和特點,并對其賦予符號化的意識．本階段體現了教師主導和學生主體作用,學生的思維能力也得到進一步的鍛煉．

對象3 能否用有向線段表示所有的向量?長度為零的向量該如何表示?

對象4 能說出0與數量0的區別與聯系嗎?單位向量是如何定義的?

設計意圖對象階段完成了對向量概念的符號化過程,向量概念在本階段變成了一個相對獨立的“實體”,更易于對其進行整體性把握.把向量與數量進行辨析,加深學生對零向量與單位向量的“方向”的認識,學生整體性思維和批判性思維得到鍛煉,促進深度學習的發生．整個向量概念體系初步建立,進入下面的圖式階段．

2.4.4 圖式階段:聯系舊知,完善建構;整合凝練,深度認知

圖式1 如圖1,四邊形ABCD是平行四邊形,四邊形EFGH是梯形,EF∥HG,圖中的有向線段都表示向量,它們的起點和終點分別是所在四邊形的頂點．

圖1

(1)用符號表示各個向量;

(2)每個四邊形對邊上的兩個向量的方向是否相同或相反?它們的長度是否相等?

設計意圖為學生學習相等向量、相反向量、平行向量等概念提供背景,評價學生是否已掌握所學過的向量表示法,引導學生理解概念之間的聯系與區別,建構完整知識結構;針對學生受直線平行與重合關系的負遷移影響,糾正學生認為共線向量不是平行向量的錯誤想法．擴大學生對于向量的認識框架,拓展圖式的維度．

圖式2 判斷以下四邊形ABCD的形狀:

設計意圖引導學生體會向量是代數與幾何的橋梁,運用向量的關系可以方便快捷地解決幾何問題．圖式是對前面階段知識的內化、歸納,將問題描述轉化成向量的幾何圖形,并讓學生對題目口述,能有效檢測學生對知識的掌握程度.結合前兩個階段中對重點概念的建構,引導學生描述這些向量(相等向量、共線向量、相反向量)之間的關系,從而對概念進行聯結整合.教學過程注重概念生成的過程,符合學生認知規律,降低抽象概念的學習難度．本環節教學活動注重小組間的合作交流、學生的回答、教師的引導,提升學生對平面向量的學習興趣,學生的反思能力和遷移應用能力均得到了鍛煉,利于實現深度學習．

圖式3 回顧小結:

(1)請同學們回顧向量概念是如何產生的,總結本節課學習的向量概念及其表示方法,交流“相等向量”“共線向量”“平行向量”的理解;

(2)本節課學習過程中主要涉及哪些數學思想方法;

(3)通過已學知識畫出知識架構圖,將今天所學內容進行概括總結．

設計意圖在教師的引導下,學生采用思維導圖的方法把與平面向量的概念有關的知識點整合在一起,將向量概念的定義、表示方法、模、零向量、單位向量、平行向量、相等向量等歸入知識系統,從中提煉數學思想方法,掌握數學建模、類比思想、分類討論、數形結合等數學方法,表明學生的頭腦中已經形成了關于平面向量的一部分圖式,已經掌握了一定的概括歸納能力．依據APOS理論圖式階段進行的教學設計,把本節所學的內容進行整合,進行新舊知識之間的聯結,在促進學生深度學習的同時,引導學生構建完整的概念體系．

3 結束語

以何種方式傳遞知識并培養學生學習的自主性及深度學習的能力?如何挖掘知識更多的育人價值?這些問題已受到廣大教育工作者的重視．本文基于APOS理論設計的向量概念教學流程,在教學過程中融入深度學習理念就是基于該目的的教學實踐．