緊跟改革步伐 探索學(xué)科融合
——圖形變換中的數(shù)學(xué)之美

陳 磊

(江蘇省蘇州市滄浪中學(xué)校 215004)

2022年4月,《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》正式頒布,國(guó)內(nèi)掀起新一輪教學(xué)改革浪潮．課標(biāo)要求學(xué)生在七至九年級(jí)感受數(shù)學(xué)在與其他學(xué)科融合中所彰顯的功效,積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),逐步形成“會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”的核心素養(yǎng)[1]．2022年12月,筆者參加了蘇州市立達(dá)中學(xué)教育聯(lián)盟舉辦的主題為“探跨學(xué)科主題學(xué)習(xí),育全面發(fā)展時(shí)代新人”的“新時(shí)代有效教學(xué)研究”展示活動(dòng)．筆者緊扣學(xué)科融合的主題,將數(shù)學(xué)和美術(shù)相融合,上了一堂公開(kāi)課,讓學(xué)生動(dòng)手體會(huì)初中階段學(xué)習(xí)的三種圖形變換能創(chuàng)作出美麗的圖案,實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)的美育價(jià)值,也讓學(xué)生感受到了數(shù)學(xué)在美術(shù)創(chuàng)作中的作用．

1 教學(xué)實(shí)踐

在數(shù)學(xué)教學(xué)中如何合理地設(shè)置“問(wèn)題鏈”是一堂好課的關(guān)鍵．所謂“問(wèn)題鏈”,指的是以學(xué)生的實(shí)際生活和思維層次為基礎(chǔ),根據(jù)教學(xué)的核心內(nèi)容和目標(biāo)精心設(shè)計(jì),能夠引領(lǐng)學(xué)生積極參與、深度思考的多個(gè)問(wèn)題構(gòu)成的問(wèn)題序列,這些問(wèn)題具有明顯的啟發(fā)性、層次性、結(jié)構(gòu)性、系統(tǒng)性等特征[2]．對(duì)于本節(jié)課而言,圖形的旋轉(zhuǎn)是在學(xué)生學(xué)習(xí)了圖形的平移和翻折以后學(xué)習(xí)的內(nèi)容,因此在提問(wèn)設(shè)置中筆者會(huì)以類(lèi)比的方式啟發(fā)學(xué)生下一步的研究?jī)?nèi)容．在關(guān)鍵的知識(shí)生成處,步步追問(wèn),引發(fā)學(xué)生思考．而在本節(jié)課的重點(diǎn)——圖形的旋轉(zhuǎn)性質(zhì)生成時(shí)的提問(wèn)設(shè)置,則以緊扣觀察—猜想—驗(yàn)證—一般化的方式進(jìn)行．期望學(xué)生在課堂中既有感性的認(rèn)識(shí),又有理性的分析和思考．

1.1 游戲引入,增加興趣

問(wèn)題1-1:在如圖1所示的俄羅斯方塊游戲畫(huà)面中,我們通過(guò)什么簡(jiǎn)單變換可以消除整行方塊?

圖1 圖2

問(wèn)題1-2:如圖2,游戲中新增什么圖形變換功能就能使圖形下落后消除整行方塊?

問(wèn)題2:你還記得在學(xué)習(xí)上述兩類(lèi)圖形變換時(shí)我們研究了哪些內(nèi)容嗎?

設(shè)計(jì)意圖在真實(shí)的俄羅斯方塊游戲中是不存在翻折變換的,因此圖2這個(gè)情境筆者設(shè)置的問(wèn)題是“游戲中新增什么圖形變換功能就能達(dá)到下落后消除整行方塊?”在復(fù)習(xí)完圖形的平移和翻折后,筆者帶領(lǐng)學(xué)生回顧了在學(xué)習(xí)圖形變換的過(guò)程中涉及的圖形變換的定義、要素和性質(zhì)．而所謂“性質(zhì)”其實(shí)是圖形變換這一運(yùn)動(dòng)中的不變性,并且研究的角度是宏觀和微觀兩個(gè)方面,即宏觀上有圖形的全等,微觀上研究了對(duì)應(yīng)點(diǎn)和變換要素的關(guān)系．這些都為下面研究圖形的旋轉(zhuǎn)做好了鋪墊．

1.2 類(lèi)比舊知,探索新知

·實(shí)物操作,認(rèn)識(shí)旋轉(zhuǎn)

問(wèn)題3:當(dāng)我們遇到如圖3所示的圖形時(shí),對(duì)它作什么變換可以使得下落后消除方塊?

圖3

追問(wèn):你能在黑板上嘗試著演示一下這個(gè)旋轉(zhuǎn)的過(guò)程嗎?

再追問(wèn):你能用語(yǔ)言描述一下自己的旋轉(zhuǎn)過(guò)程嗎?

問(wèn)題4:我們將實(shí)物抽象成一個(gè)幾何圖形,請(qǐng)同學(xué)們觀看動(dòng)畫(huà),類(lèi)比圖形平移的定義說(shuō)說(shuō)什么是圖形的旋轉(zhuǎn).

·動(dòng)畫(huà)演示,解析旋轉(zhuǎn)

問(wèn)題5:(觀看了生1的旋轉(zhuǎn)過(guò)程后)其他同學(xué)的旋轉(zhuǎn)結(jié)果都和他一樣嗎?有不同的旋轉(zhuǎn)結(jié)果嗎?

追問(wèn):這兩位同學(xué)因什么選取的不一樣而導(dǎo)致了旋轉(zhuǎn)結(jié)果的不同?

再追問(wèn):你認(rèn)為還有什么會(huì)影響旋轉(zhuǎn)的結(jié)果?

設(shè)計(jì)意圖圖形旋轉(zhuǎn)是學(xué)生新接觸的知識(shí),很多學(xué)生知道旋轉(zhuǎn)但是不明確旋轉(zhuǎn)的要素,此時(shí)讓學(xué)生上黑板實(shí)際操作,并直接用語(yǔ)言描述自己的圖形旋轉(zhuǎn)的行為,學(xué)生能說(shuō)出繞著哪個(gè)點(diǎn)、按照什么方向、轉(zhuǎn)過(guò)了多少角度．這正是無(wú)意中說(shuō)出了圖形旋轉(zhuǎn)的定義,同時(shí)也明確了圖形旋轉(zhuǎn)的三要素,很好地引出了新知．讓第二位學(xué)生上黑板演示不同的旋轉(zhuǎn)結(jié)果可以讓學(xué)生歸納影響旋轉(zhuǎn)結(jié)果的三個(gè)要素．

問(wèn)題6:我們研究了旋轉(zhuǎn)的定義和要素,接下來(lái)研究什么呢?

問(wèn)題7:你能根據(jù)前面學(xué)習(xí)的圖形的平移和翻折的性質(zhì),直接說(shuō)出圖形旋轉(zhuǎn)的一條性質(zhì)嗎?

問(wèn)題8:這顯然是從宏觀角度觀察到了旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)中的不變性,類(lèi)比圖形的翻折(從微觀角度),接下來(lái)我們要研究什么呢?(研究對(duì)應(yīng)點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)的要素間的關(guān)系)

問(wèn)題9:請(qǐng)同學(xué)們觀察圖4的旋轉(zhuǎn)動(dòng)畫(huà)過(guò)程,找出旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的旋轉(zhuǎn)中心和各組對(duì)應(yīng)點(diǎn)．

圖4 圖5 圖6 圖7

問(wèn)題9-1:當(dāng)我們把一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)中心相連,你有什么發(fā)現(xiàn)?(如圖5,分別將對(duì)應(yīng)點(diǎn)M,N和旋轉(zhuǎn)中心O相連)

問(wèn)題9-2:若我們把圖4中其他組對(duì)應(yīng)點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)中心相連,你有類(lèi)似的發(fā)現(xiàn)嗎?

問(wèn)題9-3:你還能找到另一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)嗎?此時(shí)你會(huì)怎么做,你又有什么發(fā)現(xiàn)呢?(圖6)

問(wèn)題9-4:通過(guò)以上三位同學(xué)的發(fā)現(xiàn),你能猜想出旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)嗎?(圖7)

問(wèn)題9-5:對(duì)于圖形其他的旋轉(zhuǎn)情況,任取一組對(duì)應(yīng)點(diǎn),上述性質(zhì)仍然成立嗎?

設(shè)計(jì)意圖顯然,圖形旋轉(zhuǎn)前后全等．而旋轉(zhuǎn)的其他性質(zhì),由于前面鋪墊了要研究對(duì)應(yīng)點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)要素的關(guān)系,我們也能很順暢地把一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)中心連起來(lái),讓學(xué)生進(jìn)行探索,教師通過(guò)幾何畫(huà)板度量長(zhǎng)度和角度的工具進(jìn)一步印證學(xué)生的發(fā)現(xiàn)(對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等、兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線形成的角相等)．值得注意的是,課堂上只是選取了三組對(duì)應(yīng)點(diǎn),猜想到了旋轉(zhuǎn)的其他兩條性質(zhì)．為了嚴(yán)謹(jǐn),筆者在幾何畫(huà)板中對(duì)該圖旋轉(zhuǎn)了任意一個(gè)角度,也讓學(xué)生通過(guò)任取一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)中心相連,觀察剛剛發(fā)現(xiàn)的兩條猜想是否仍然成立(圖8、圖9),這是把結(jié)論從特殊推廣到一般的十分重要的過(guò)程．

圖8

圖9

1.3 學(xué)科融合,彰顯主題

學(xué)生學(xué)完了這三種圖形變換,就可以通過(guò)這些變換將單一圖形變得豐富而優(yōu)美．事實(shí)上,生活中的很多設(shè)計(jì)都是采用了其中一種或多種圖形變換．例如,當(dāng)我們畫(huà)好了一個(gè)簡(jiǎn)筆畫(huà)小鯨魚(yú),對(duì)它作翻折變換,可以得到如圖10的圖形．當(dāng)我們改變變換的要素即對(duì)稱(chēng)軸,可以得到如圖11、圖12的不同效果．在旋轉(zhuǎn)變換中,改變旋轉(zhuǎn)的角度,也會(huì)有不同的美,如圖13和圖14．

圖10 圖11 圖12

圖13 圖14

在創(chuàng)作階段,鼓勵(lì)學(xué)生大膽嘗試．先讓學(xué)生將自己喜歡的單一圖形在普通A4紙上畫(huà)好,通過(guò)透明紙的復(fù)制功能,很快可以在透明紙上描出一個(gè)與之全等的圖形,接著平移或旋轉(zhuǎn)透明紙?jiān)購(gòu)?fù)制A4紙上的基本圖形即在透明紙上實(shí)現(xiàn)了一次平移或旋轉(zhuǎn)變換．而折疊透明紙并直接復(fù)制透明紙上的基本圖形可以實(shí)現(xiàn)一次翻折變換．

這樣的創(chuàng)作活動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生思考圖形變換的各種要素,讓學(xué)生徜徉在設(shè)計(jì)的海洋里,感受數(shù)學(xué)帶來(lái)的美．

學(xué)生們一一分享自己的創(chuàng)作成果,挖掘形成圖案美的數(shù)學(xué)要素．而在單一變換的基礎(chǔ)上,如果我們混合使用不同的圖形變換,如綜合使用旋轉(zhuǎn)和平移變換,再加以著色,那效果會(huì)更加震撼(圖15)．事實(shí)上,這樣的圖案設(shè)計(jì)廣泛應(yīng)用于生活中,如果我們細(xì)心觀察周?chē)?很多布料的紋樣都蘊(yùn)含了這三種圖形變換(圖16)．而在自然界,龍舌蘭葉片的排列、向日葵果實(shí)的排列、高清鏡頭下的雪花,這些都有旋轉(zhuǎn)的要素在其中.在建筑設(shè)計(jì)領(lǐng)域,對(duì)稱(chēng)美也比比皆是,如蘇州園林的花窗(圖17)、故宮的建筑群、法國(guó)的盧浮宮(圖18),這些都是很好的例子．

圖15 圖16

2 教學(xué)思考

在學(xué)生的創(chuàng)作階段,筆者呈現(xiàn)的是傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課堂,利用透明紙的可復(fù)制性,學(xué)生根據(jù)自己選擇的交換種類(lèi)多次復(fù)制自己的基本圖形,達(dá)到圖形變換的目的．學(xué)生能感受到圖形變換給單一圖形帶來(lái)的美的豐富性．而事實(shí)上,在學(xué)生使用透明紙實(shí)現(xiàn)圖形變換的過(guò)程中,難以在變換的要素上有精確的把控,如平移的距離、對(duì)稱(chēng)軸的選擇、旋轉(zhuǎn)的角度等．這些要素如果換成是用幾何畫(huà)板來(lái)實(shí)現(xiàn),會(huì)精準(zhǔn)很多．設(shè)想一下我們的課堂在機(jī)房,學(xué)生先學(xué)習(xí)幾何畫(huà)板三種變換的操作流程,在熟練掌握的基礎(chǔ)上再來(lái)創(chuàng)造自己喜歡的圖形．在這個(gè)過(guò)程中,學(xué)生可以不斷調(diào)整變換的要素來(lái)達(dá)到美的效果,甚至還可以使用畫(huà)圖軟件進(jìn)行著色,運(yùn)用數(shù)學(xué)與藝術(shù)等多種語(yǔ)言形式表達(dá)自己對(duì)美的理解．