深度思考 追根溯源
——以“圓錐曲線中直線過定點”為例

何 云

(浙江省嵊州中學(xué) 312400)

2022年10月我校參加了浙江十校聯(lián)盟考,本文探究這次數(shù)學(xué)聯(lián)考第21題的來源和解法．

1 試題呈現(xiàn)

(2022年浙江省十校聯(lián)盟考數(shù)學(xué)卷第21題)已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點F,且經(jīng)過點A(2p,m)(m>0),AF=5．

(1)求p和m的值;(2)點M,N在拋物線C上,且AM⊥AN,過點A作AD⊥MN,D為垂足,證明:存在定點Q,使得DQ為定值．

2 試題特點

本題主要以圓錐曲線中的拋物線為載體考查定點、定值問題,這是高考的一大熱點.對這類題型學(xué)生并不陌生,題源主要來自2020年新高考Ⅰ卷理科第22題,題根來自于人教A版選擇性必修第一冊第三章復(fù)習(xí)參考題3第10題.第(1)問利用拋物線定義求拋物線方程和參數(shù)值,較簡單.第(2)問考查直線與拋物線相交過定點問題,根據(jù)已知條件“AM⊥AN”轉(zhuǎn)化為“kAM·kAN=-1”,兩直線的斜率之積為定值,考查等價轉(zhuǎn)化和數(shù)學(xué)抽象能力;由題目已知條件判斷直線MN過定點,考查邏輯推理能力;解決本題所求定點、定值問題,考查數(shù)學(xué)運算能力.

3 解法探究

視角1設(shè)直線MN方程(單聯(lián)立)

(1)p=2,m=4.

整理得b2-12b-16(k+2)(k-1)=0,即[b-4(k+2)][b+4(k-1)]=0,所以b=4(k+2)或b=-4(k-1).

點評此思路簡單自然,是大部分學(xué)生應(yīng)該掌握的方法,其難點是代數(shù)運算的計算量較大,很多學(xué)生做到一半就放棄了,要完成解答,對運算素養(yǎng)有較高要求.一定要用韋達定理嗎?為了打破學(xué)生的慣性思維和簡化運算,需優(yōu)化解法.

視角2設(shè)直線AM,AN的方程(雙聯(lián)立)

點評設(shè)兩條直線方程,用斜率k表示M,N的坐標(biāo),進而得到直線MN的參數(shù)方程,若利用直線方程的兩點式求直線MN方程,尋找定點,這種方法比第一種方法的計算量還大.于是,為了剖析運算合理性,提升運算效率,筆者就利用“點M,N均在直線MN上”這一同構(gòu)點達到優(yōu)化數(shù)學(xué)運算的效果.

視角3齊次化

點評由題目條件可知“直線MN不經(jīng)過點A”,設(shè)直線MN為“s(x-4)+t(y-4)=1”,這樣避開直線過已知定點的問題,然后利用曲線方程進行齊次化處理,構(gòu)造直線AM與AN斜率滿足的方程,找直線方程中參數(shù)s與t的一次關(guān)系.此法的缺陷是學(xué)生對直線MN的設(shè)法不熟悉,潛意識里習(xí)慣性設(shè)直線的斜截式.算法的優(yōu)化直接關(guān)乎運算核心素養(yǎng)的水平,在落實核心素養(yǎng)的過程中,追求深度學(xué)習(xí),不搞題海戰(zhàn)術(shù).

視角4先特殊后一般

點評從特殊情況入手,通過特殊值求直線所過定點,先尋找使結(jié)論成立的必要條件,再利用“kPM-kPN=0”證明問題的充分性.

4 歸本溯源

4.1 課本尋根

(人教A版選擇性必修第一冊第三章復(fù)習(xí)參考題3第10題)已知直線與拋物線y2=2px(p>0)交于A,B兩點,且OA⊥OB,OD⊥AB交AB于點D,點D的坐標(biāo)為(2,1),求p的值.

4.2 高考尋源

4.3 知識背景

已知點A(x0,y0)在圓錐曲線C上,直線l交曲線C于P,Q兩點,記直線AP,AQ的斜率分別為k1,k2.經(jīng)探究,有如下相關(guān)結(jié)論成立[1-2]:

結(jié)論2 若k1+k2=0,則直線l的斜率為定值.

若點P是不在圓錐曲線上的任意一點,過點P引兩條斜率分別為k1,k2的割線依次交圓錐曲線于A,B,C,D四點,線段AB,CD的中點分別為M,N．經(jīng)過探究得出以下結(jié)論:

結(jié)論5 若k1+k2=0,則直線MN的斜率為定值.

結(jié)論6 若k1+k2=λ(λ≠0),則直線MN恒過定點.

5 解題反思

現(xiàn)今大多數(shù)學(xué)生的狀況是:會做的題目的情境、設(shè)問方式等稍作改變,他們就不會.這是什么原因呢?解題也是為將來解決同類問題乃至其他新問題積累經(jīng)驗的過程,應(yīng)探索實現(xiàn)學(xué)生的高路遷移“情境、原理和方法”的策略和方法,促進解題經(jīng)驗的有效遷移和思維的靈活轉(zhuǎn)換,內(nèi)化、積累數(shù)學(xué)問題解決的策略,發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力.

5.1 究竟是什么阻擋了學(xué)生解題的步伐

一是不會運算.不會算有兩層含義:①對于算什么目標(biāo)不清晰;②有目標(biāo)但方法不佳.解析幾何題本身計算量大,運算是不少學(xué)生的“弱項”,因此在課堂上教師要重視算法和算理的分析.二是運算速度慢.解決策略是平時注重掌握一些常見簡化運算策略,重視運算方法分析,優(yōu)化策略、提升運算速度.三是不善于提煉數(shù)學(xué)思想方法.主要成因在于學(xué)生平時不善于研題,解法單一,因此課堂上應(yīng)多開展一題多解或多題一解研討和研究.四是學(xué)生心理素質(zhì)欠佳.學(xué)生遇到計算量大的題目產(chǎn)生恐慌心理,影響解題速度.解決對策是教學(xué)中多展示運算過程.五是對陌生的問題情境缺乏判斷方向.教師在教學(xué)中多展示題目的分析過程,明確運算方向.六是忽視解析幾何中的幾何特點.教師在教學(xué)中要重視數(shù)形結(jié)合思想的滲透.

5.2 教學(xué)中“多”一定與教學(xué)效果成正比嗎

數(shù)學(xué)題做得“多”一定能考得高嗎?不一定.盲目刷題,缺乏數(shù)學(xué)思想方法的提煉,只會事倍功半.數(shù)學(xué)解題是經(jīng)驗不斷積累和生長的過程,應(yīng)注重積累經(jīng)典問題的處理方式、熟悉常見問題的解題策略.教師講得“多”教學(xué)效果一定好嗎?最典型的“滿堂灌”課堂已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能適應(yīng)當(dāng)前的高考模式,課堂上的適度探究有助于促進學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的提升,實現(xiàn)教學(xué)相長.上課上得“多”教學(xué)效果一定好嗎?上多少不重要,重在如何設(shè)計、怎么教.

5.3 究竟怎樣利用教材提高學(xué)生的解題能力

高三復(fù)習(xí)階段中,大部分學(xué)生盲目地做試卷,脫離教材,認(rèn)為教材上的內(nèi)容太簡單,導(dǎo)致這一現(xiàn)象的部分原因是教師沒有帶著學(xué)生充分利用好教材.高考人才選拔重在對考生能力的考查,高考真題源于教材又高于教材,教師帶著學(xué)生在教材上尋根,在往年真題上尋源,通過深度變式探究、深挖知識背景、解法探討、情境轉(zhuǎn)換等方式看透問題本質(zhì).在教學(xué)中,教師充分用好教材素材、真題素材、拓展研究、豐富解法手段是很重要的.通過變化講透思想方法的本質(zhì),深刻理解不同方法的適用范圍,這就是立足課堂的創(chuàng)新教學(xué).