一個離散型隨機變量問題的剖析與啟示

曹 輝 程守山 劉天程

(江蘇省常州市北郊高級中學 213031) (江蘇省常州市正行中學 213000)

《普通高中數學課程標準(2017年版)》將“數學建模”列為六大核心素養之一,在必修課程、選擇性必修課程和選修課程中均對數學建模活動作出了具體要求,在核心素養的水平劃分中列出了數學建模素養三個水平層級的詳細指標[1]．隨機變量是連接隨機現象和實數空間的一座橋梁,它使我們可以借助有關的數學工具來研究隨機現象的本質,通過建立不同的概率模型解決有關隨機現象的問題．

教科書通過數學建模和數學探究活動或專題(如“建立函數模型解決實際問題”“建立數據模型進行數字特征分析和統計”等),為學生形成積極主動和多樣的學習方式提供了有利的條件,有助于激發學生的數學學習興趣,養成獨立思考和積極探索的習慣．

1 問題及背景

2023年蘇錫常鎮一模第20題:

某小區有居民2 000人,想通過驗血的方法篩查出乙肝病毒攜帶者,為此需對小區全體居民進行血液化驗,假設攜帶病毒的居民占a%,若逐個化驗需化驗2 000次．為減輕化驗工作量,隨機按n個人的血液混合在一起化驗,若混合血樣呈陰性,則這n個人的血樣全部陰性;若混合血樣呈陽性,說明其中至少有一人的血樣呈陽性,就需對每個人再分別單獨化驗一次．假設每位居民的化驗結果呈陰性還是陽性相互獨立．

(1)若a=0.2,n=20,試估算該小區化驗的總次數;

(2)若a=0.9,每人單獨化驗一次花費10元,n個人混合化驗一次花費n+9元,求n為何值時,每位居民化驗費用的數學期望最小．(注:當p<0.01時,(1-p)n≈1-np)

本題的重點是如何選擇隨機變量來刻畫檢測方法的優劣,難點是學生在確定隨機變量的選擇后,如何建立概率模型解決問題．因此,在教學中應可通過“數學探究”“數學建模”等學習活動,讓學生參與到這個探究過程中來,感悟數學和現實之間的關聯,提高分析和解決實際問題的能力．

上述問題源于蘇教版選擇性必修第二冊第8章“8.2.2 離散型隨機變量的數字特征”中的例2[2]:

在一個人數很多的地區普查某種疾病,由以往經驗知道,該地區居民得此病的概率為0.1%．現有1 000人去驗血,給出下面兩種化驗方法．

方法1:對1 000人逐一進行化驗．

方法2:將1 000人分為100組,每組10人．對于每個組,先將10人的血各取出部分,并混合在一起進行一次化驗,如果結果呈陰性,那么可以斷定這10人均無此疾病;如果結果呈陽性,那么再逐一化驗．

試問:哪種方法較好?

可以看出,蘇錫常鎮一模第20題與教科書 例2大同小異．例2在待定標準時,難度要大一些．選擇怎樣的隨機變量來刻畫檢測方法的優劣是解決問題的關鍵．因此,學生在學習的過程中應加深對教材題目的理解和領悟,同時也要求我們加強對教材例題和課后習題的研究,在教學中滲透建模思想,提高學生的建模能力．

2 多視角探究

由于例2的開放性,學生在探究的過程中給出了自己的觀點:

生1:方法1好,理由是如果該疾病有傳染性,那么方法2有擴散的風險．

生2:方法1好,理由是從患者個體來講,采用方法1每人只需抽血1次,而采用方法2每人至少抽血1次．

生3:方法2好,理由是從醫院化驗的次數來講,方法2應該優于方法1,具體理由不清楚．

著名數學家懷特海曾說:“數學是對模式的探究”．教材是從分組后每組化驗的次數來建立最佳模型,運用數學方法進行探索,使問題得到解決．數學模型的建立有多種方法,怎樣選擇一個最佳模型,這是一個難點,也是嘗試和探索的過程．學生的探究過程,也是關鍵能力培養的過程．為了使問題指向更加明確,我們從化驗次數的角度來刻畫檢測方法的優劣,下面從三個視角嘗試建立模型．

視角1對于方法2,課本上采用分組后每組的化驗次數X作為隨機變量,X的可能取值為1和11,而且這些人的化驗結果是相互獨立的,所以分組后每組的化驗次數X的概率分布如下:

X111P(1-0.001)101-(1-0.001)10

因為每組化驗次數X的均值為E(X)=1×(1-0.001)10+11×[1-(1-0.001)10],所以100組的化驗次數的均值為100×{1×(1-0.001)10+11×[1-(1-0.001)10]}≈110．方法1的化驗次數為1 000,因此方法2遠好于方法1．

Y1101110P(1-0.001)101-(1-0.001)10

誤區1 簡單認為隨機變量Z的取值是100和1 100．從100組陰性和陽性的角度進行分類,即根據100組陰性,99組陰性1組陽性,98組陰性2組陽性,…,100組陽性,來確定隨機變量Z的取值．也可以歸納為100+10k,k=0,1,…,100,其中k代表k組陽性．

誤區2 將每人感染的概率和每組感染的概率混為一談,造成了部分學生認為1組感染的概率是0.001．

3 反思與啟示

教材是專家和學者潛心研究并結合多數學生認知水平編寫出來的,是集體智慧的結晶．不過,它不可能將編者的思考過程完全用文字反映出來,這就需要教師不斷引領學生發現、挖掘、提煉,力爭獲得其背后所蘊含的知識外延,這恰是命題教師編擬題目的源泉．

無論是哪一階段的建模環節,學生都需要具備較強的抽象能力作為支撐.但建模能力的培養并不能一蹴而就,需要學生在教師的精心指導和幫助下拾級而上．在教學過程中,教師應有意識地精選典例,引導學生積極開展討論和探索,強化建模思維訓練,達成師生、生生相互學習、共同成長的目標．學生在參與數學建模和探究的過程中,不斷地擴充個人認知,提升數學建模和探究能力．