數學建模在高職數學課程中的教學改革與探索

顧麗娜

楊凌職業技術學院文理學院 陜西咸陽 712100

一、概述

隨著社會的進步與科技的發展,將數學建模思想融入高職數學教學中顯得尤為重要。但是在日常教學中,部分學生還不能應用建模思想來解決實際問題,這將導致數學課程在教學改革探索中存在紕漏。所以本著數學教學改革的實際情況,積極重構教學內容,主動更新數學建模理念,詳盡梳理數學方法,為數學建模在職業院校數學課程中的教學改革與探索提出一條行之有效的發展路徑。結合實際情況,職業教育的改革仍然在路上,黨的二十大明確提出職業教育前景的發展大有可為,而對于職業教育的教學改革探索理應持續深入。數學作為職業教育的基礎課程,對于加強學生邏輯思維、專業應用等都有重要意義,所以研究如何將數學建模思維更好地應用到實際教學中是極其重要的。

眾所周知,在高職數學教學改革中運用數學建模思想解決問題變得越來越普遍。雖然諸多教師已在建模這方面給予了相應重視,并且在教學設計中也將其納入改革[1-3]。但從目前教學方式的發展趨勢分析,部分教師在數學建模思想方面仍然存在很多不足,如不能巧妙地結合實際模型來分析課堂教學內容,這在某種程度上確實制約了教學改革的進步與發展。相較于本科院校,職業院校學生進行專業課程及公共課程學習的總課時極其有限,所以大多數課程的設置都是遵循“必需,夠用”的原則進行。但從長期從事的專業考慮,除具備過硬的專業本領外,更要依賴個人整體學習水平,如基本運算能力和邏輯思維,所以決不能輕視公共數學課的作用。而將數學建模融入課堂,這對培養高素質、高品行的人才起到了非常大的作用。考慮高職數學課程的特點,以及學生專業理論知識與數學建模知識的融合[4-5],進一步提高學生的人文素養和崗位素養顯得極其重要。

二、數學建模的應用

(一)數學建模在日常生活中的應用

高職數學課程體系構建與高等數學體系基本一致,不過考慮到專業需求程度,故對教學內容進行了一定的重構,在基本知識學習的同時,融入了數學建模思想,確保課堂教學改革意義落到實處,讓學生感受數學在實際生活中的應用效果。目前,數學建模思想其實已滲透到各行各業。如2021年全國大學生數學建模競賽E題,關于中藥材產地與種類的鑒定問題,既和專業結合,又與數學思想、數學方法融合。實際生活中,例如在超市購物時,發現每種物品擺放位置不一,這種情況其實也融入了數學建模思想,即通過調查獲取所需,進而構建合適的模型來決策貨物的擺放位置。所以在數學教學改革中利用實際案例,引導學生思考,這樣才能使教學改革收到一定成效。

(二)數學建模在教學概念中的應用

數學教學改革的推動之所以困難,主要原因在于概念、定理、公式等較為抽象,從而導致學生學習興趣低、不能靈活應用等。例如,在講授一些較為抽象的內容時,可以引入建模思想,從實際問題出發,給出此內容的應用過程及方法等。這就將數學內容由無形化為有形,由抽象化為具體,由復雜化為簡單。如拋出問題:椅子能否在不平的地面上放穩?引導學生考慮用數學語言將椅子的位置和四只腳著地的關系表示出來,逐步引出要構建的模型,首先保證地面需要為連續曲面,進而提出連續函數模型來表征椅子的位置和四只腳著地的關系,使抽象的概念等具體化,加深學生們的理解。如學習定積分概念時,不但要知其然,還要知其所以然,這就要求學生不能只是死背硬記“分割、近似、求和、取極限”,還應理解它的來源:利用割圓術的動態圖演示定積分的概念,使無形的概念化為有形的圖解。所以,通過數學在實際問題中的應用同樣可以推動數學的教學改革。

(三)數學建模在專業大賽中的應用

數學教學改革不僅僅局限于課堂,它包括各個方面,尤其對于職業教學改革中的實踐鍛煉、技能大賽都顯得尤為重要。目前,諸多大賽內容其實與數學建模思想息息相關,例如“互聯網+”、建筑信息模型(BIM)應用、高鐵軌道精測精調、工業產品數字化設計與制造、土壤pH的測定、智慧物流作業方案設計與實施等大賽都融入了數學建模的思想。當一個好的模型能夠成功建立時,問題也就迎刃而解了,這集中體現出了數學建模的本質,即將理論融入實際專業大賽中。當下,學生技能大賽對于學生就業非常重要,所以在數學教學改革中可以通過引導學生積極參與專業大賽,進一步感受數學存在的意義。

(四)數學建模在實操軟件中的應用

眾所周知,編程的實現以及大數據分析與處理都涉及建模思想,若能夠在數學課堂教學中充分實操演練,以數學方法和思想訓練代碼,繼而呈現出實際效果,學生必然能夠感受到數學中建模思想的體現。目前,可通過引入解決數學模型的一些實操軟件,例如Matlab、Spss、Python等數學軟件,引導學生進一步感知數學建模的實際操作性,加強對此類軟件的學習及應用,從而簡化數學建模步驟,降低數學建模難度。

(五)數學建模在實踐教學中的邏輯應用

數學模型用途廣泛,主要體現在邏輯推理、結果解釋、框架設計、改進交流、指導行動、擬合預測和對比探索方面。在構建數學模型時,往往需要疏通邏輯,然后借此逐步遞推。比如阿羅定理就是一個可以說明邏輯推理如何揭示不可能性的有效例子,此模型提出了個人偏好是否歸結為集體偏好的問題,偏好表示為各備選選項之間的排序情況。以對學校食堂學生用餐窗口為例,假設有5家窗口(飯菜質量、種類一樣),分別用數字1～5表示,此模型有120種排序。阿羅定理特點是集體排序保持單調(若每個學生都將1排在2之前,則集體排序也是這樣)、獨立于無關的備選選項,且是公平的。結果表明該設法矛盾,如果允許任何偏好都存在,則就不存在集體排序。同樣,邏輯可以揭示悖論。其他方面亦是如此。

三、融入數學建模的改革意義

數學建模本身就將數學知識與實際問題巧妙地聯系起來,數學建模思想蘊含知識較為豐富,不論是極限與導數,抑或微分與積分都是其主要理論。知積分原理,方能探究積分與其存在的內涵關系。眾所周知,數學的大多概念與定理都是極其抽象的,包括數學公式在內的定義、性質、推論等,對于多數學生來說理解起來難度較大。但若在數學教學中結合數學建模知識,以數學實驗進行演練講解,學習效果定會更佳。因此,選擇微分建模思想作為數學課程教學的第一個切入點,通過具體案例介紹了極限問題的起源、本質和應用。此外,本課程結合學生專業特點,加之高職學生學習專業課及通識課的需求,通過“三段六環”式教學方法,形成了以情景導引、案例導思、公式導析、方法導練、案例導用為主線的教學脈絡,融合數學實驗有效達成了培養學生動手操作和培養自身數學概括能力的教學目標。綜上,現以函數的微分內容為例,對其建模具體如下:

案例1:基于數學背景求出某城市與鄉村之間用時最短的路徑。

在探析函數微分概念時,首先引入微分的實質意義,并以數學知識為背景,探討某城市與鄉村之間兩點用時最短的路徑模型,以距離來衡量什么是可微,什么是可導。并設計了“若要富,先修路”的相關題目,設計此問題的實質是引導學生學以致用,明確數學不僅是要學懂課本,更要明晰在實際生活中的應用。理解數學建模思想,實時獲取城鄉之間的經濟差距與現實狀況。同時以此為契機,感受微分幾何意義的“以直代曲”,充分把握微分的概念及其幾何意義。

案例2:利用人口普查現狀模型,分析某市人群年齡結構的構成,引入微分方程。

依據2021年第七次全國人口普查的結果,能夠了解到年齡結構的合理對于社會發展極其重要。在學習和理解微分方程求解時,可以以實際應用為主,預測和計算當下年齡結構的合理程度。設計此案例,旨在讓學生不但要學習掌握函數的微分,更要掌握今后將要學習的微分方程模型,諸如人口增長模型、馬爾薩斯人口模型等。

四、“數學建模”教學實施思路

在數學課堂教學中融入數學建模思維,有助于增強學生的數學知識實際應用能力。現對本課程數學建模具體實施思路表述如下:

(一)落實數學建模理念,倡導探究性學習

本課程的數學建模理念強調對學生數學能力的培養,倡導探究性學習使學生既能理解、掌握和應用知識的同時,又發展了收集和處理科學信息的能力、獲取新知識的能力、分析解決問題的能力,以及交流與合作的能力,特別是培養了創新精神和實踐能力。此外,還將使學生的學習過程更富有個性化,對情感的體驗、科學態度的養成、正確價值觀的樹立也會有極大的促進作用。只要將數學建模理念、思維能夠詳盡滲透到日常教學中,探究性學習定然會取得很大成效。

(二)圍繞“三全育人”,落實數學建模可操作性

為進一步貫徹落實“三全育人”成效,在掌握數學理論的基礎上,應積極探索數學建模的實際應用效果和實際操作性。在教學內容中應充分挖掘數學建模元素,形成“全員育人、全程育人、全方位育人”的格局,全面推進學校大學生對于數學建模教學的把控工作。日常教學中,數學理論枯燥無味,如何將理論與實踐結合起來,讓學生產生濃厚興趣,必然要從數學建模的可操作性出發,所以以“三全育人”統領教學,效果必然更佳。

(三)設數學實驗貼合專業,庖丁解牛化大為小

依據教學內容增設了動手操作實驗,體驗數學建模的思想,進一步加深了微分概念的印象,從而輕而易舉地引入函數增量。以循序漸進的方式深化微分概念的學習,明確微分概念“一看二化三近似”的關鍵點,有效解決了微分概念理解難的問題。設計數學建模實驗,以實例探索微分概念,化大為小,化難為易,逐一攻破,以解決紛繁復雜的問題。例如,在學習定積分求立體體積時,可以用硬幣及不規則物體現場教學演示,讓學生“切片”親身體驗“微元法”的思想。

五、數學建模教學資源的配置

積極利用和開發數學建模課程資源是順利實施數學課程教學改革的重要組成部分,可以有效地發揮課程資源應有的優勢,達到提高數學課程教學質量的目的。教學資源是當前教學能夠得以實施的必然要求,數學教學完全可以充分利用數學建模實驗室展開興趣教學,以Matlab、Spss軟件為操作對象,有效模擬實際數學模型,以實驗調動學生興趣,教學效果事半功倍。加之配套教材的編寫使用,讓學生真切感受到應用數學的實踐意義。

(一)編寫與數學教材配合使用的數學建模參考書

學以致用,在數學課堂教學中,若能夠融入一些極其鮮活的實際模型,教學手段自然豐富,故應結合教學目標、教學重點和預期的教學效果,出書配套實際教學,以此解析疑難問題,并對學生的學習活動提出針對性建議。只有將數學模型貫穿教學始終,學生才會舉一反三,逐步體悟數學建模的要義所在。

(二)加強對數學建模實訓室的建設和投入

加強對數學建模活動和數學建模實驗室的建設和投入,既豐富、活躍了廣大同學的課外生活,也為優秀學生的脫穎而出創造了條件。競賽使學生學會了如何綜合應用各種所學知識解決實際問題,從而使學生的知識水平和綜合能力上了一個新臺階。數學建模實訓室的作用決不可忽略,對于工科學生而言,動手能力強,對電子元件具有一定的觸感,故可借助實訓室進行實際模擬,用數學軟件模擬理論、模擬應用,唯有如此,建模實訓室才能發揮更大作用,提升教師教學水平。

(三)積極搭建數學建模課程平臺,完善建模課程資源

積極建設數學建模在線開放課程,繼續完善和優化混合課程建設平臺。在相關建設中不斷豐富完善各種建模課程資源,包括文字資源、教學課件、在線測試、數學文化、視頻資源等。當前,慕課、精品在線開放課等資源已經相當豐富充裕,教師除自身搭建課程平臺之外,完全有能力適當引導學生學習,引導學生查閱相關書籍和資源,日積月累,學習效果自然突出。只要理論完善,實踐操作就顯得尤為容易。這樣,數學建模課程平臺才能發揮出優良效果。

結語

數學教育若無數學建模元素的引領,數學課程將變得枯燥而乏味,數學建模教學的成功將成為改變這一現狀的有利契機。實踐出真知,教學亦是如此,故需要借數學建模這一有利因素,結合數學課程教學改革,提高學生課堂參與度,有效提升“三全育人”之成效,啟發學生在任何時候都要有厚積薄發的數學情懷,積累豐富的數學素養,提高數學建模的應用能力,使學生充分認識到技能報國的作用,強化學生對數學建模和數學文化的認同和自信。