基于隨機場理論的土質邊坡可靠度分析

閻 龍,王 勤,劉利嬌,張海瑩,左淑紅

(黑龍江大學 建筑工程學院,哈爾濱 150080)

0 引 言

作為天然材料,±體經過沉積條件、應力歷史和風化等其他地質作用呈現出空間變異性。常用的模擬邊坡±體參數變異性的方法有兩種：①單變量分析方法及隨機變量模型[1];②可以表征±體參數空間變異性的隨機場模型。 為了更有效、真實地描述±體的變異性,需引入隨機場理論。 空間變異性分析時,經常采用理論自相關函數來描述±體中任意兩點的自相關性,自相關函數中的計算參數即自相關距離是表征參數空間變異性的相關程度[2]。 工程中,通常需要確定合適的自相關函數和±體參數的相關距離,來定量表征±體參數的不確定性。 此外,±體參數的變異系數作為邊坡可靠度設計的另一個重要參數,在可靠度設計時取定值參數并不合理,應該對變異水平進行分級研究,以便可以根據變異水平的不同進行邊坡工程可靠性分析。

為此,許多學者進行了相關研究。 王棋等[3]研究了可靠度隨坡高和抗剪強度參數變異系數的變化規律,并進行了路基邊坡可靠度分析。 薛亞東等[4]通過局部平均理論離散二維各向異性隨機場,采用強度折減法和Monte-Carlo 相結合,求得邊坡安全系數及其可靠度。 蔣水華等[5]提出了考慮自相關函數影響高效參數敏感性分析的多重二階響應面法。 白桃等[6]提出了考慮空間變異性對Monte-Carlo 與LHS+Cholesky 分解方法計算失效概率的效率進行評估。 上述文獻在分析及研究時,僅考慮了單一方向的相關距離變化;其次僅考慮了單一參數的空間變異性,而忽略了±體參數間的互相關性和不同變異水平下邊坡可靠度的變化。

本文采用喬列斯基分解的中點法模擬相關非高斯隨機場,利用Matlab 與Geostudio 對接批量求解安全系數,然后進行邊坡可靠度分析。 同時,考慮±體參數的自相關性和空間變異性,生成黏聚力和內摩擦角隨機場,探討不同相關距離變化對邊坡可靠度的影響以及黏聚力、內摩擦角不同互相關系數和變異系數下可靠度和安全系數均值的變化。

1 非高斯隨機場

1.1 土體參數的空間變異性

通常采用合適的自相關函數來表征±體參數的空間變異性,本文采用應用較為廣泛的指數型自相關函數來描述±體任意兩點的自相關性。對于指數型自相關函數,自相關距離是相關距離δh、δv的0.5 倍。 公式如下：

式中：a為自相關距離;τx、τy分別為±體中任意兩點水平和豎直相對距離,,其中x、y分別為任意兩個計算網格的絕對坐標;δh、δv分別為水平和豎直方向的相關距離,黏性±±體參數水平相關距離約為3～80m,豎直相關長度約為0.1～7.14m[2]。

1.2 LHS 抽樣

作為一種多維分層抽樣方法,拉丁超立方抽樣最早于1979 年由Mckay 等提出,在蒙特卡羅抽樣方法的基礎上,對采樣策略進行了改進,保持顯著性的同時減小了采樣規模。 相比于其他抽樣法,該方法的優點是：具有均勻分層隨機的特性;可以在抽取樣本數較小的情況下,得到首尾部樣本值;可以避免普通分層抽樣樣本集中現象。 LHS 抽樣步驟如下[7]：

假設每一維進行的都是均勻抽樣。

1)首先確認抽樣次數M。

2)將變量的概率分布函數等分成M個互不重疊的子區間,每段區間長度為。

3)隨后在M段的每個子區間進行獨立的等概率抽樣。 為了滿足所抽取的隨機數來自各個區間,第i個子區間的隨機數Vi應滿足。

4)每個子區間產生一個隨機數,然后通過逆變換法,得到M個某一概率密度函數的隨機變量抽樣值。

5)最后對所抽取的樣本按照抽樣值所屬區間序號隨機排列。

以上幾個步驟便完成了拉丁超立方抽樣。

1.3 隨機場的實現

本文研究黏聚力和內摩擦角參數模擬的互相關對數正態隨機場,首先假設模型網格數為N,抽樣數目即生成隨機場數目為M。

1)在每一維子區間隨機抽取的樣本點通過概率密度函數的反函數,映射為標準正態分布樣本,然后生成黏聚力和內摩擦角的初始樣本矩陣。 生成的樣本矩陣ξ,根據式(2)計算出相關系數矩陣;根據式(3)計算等效互相關系數,構成等效互相關系數矩陣ρo(m×m)。

式中：i、j為矩陣ξ的行和列;cov(li,lj)為li和ji的協方差;σ(li),σ(lj)為li和ji的標準差。

式中：covc、covφ為黏聚力、內摩擦角的變異系數。

2)對ρo矩陣進行喬列斯基分解,滿足ρo=L1LT1,得到下三角矩陣L1,然后與樣本矩陣ξ相乘,得到G(n×m)=ξLT1 相關標準正態隨機樣本矩陣。

3)根據所采用的自相關函數和計算得到的隨機場單元中點坐標,計算出自相關系數矩陣C,然后對矩陣C進行喬列斯基分解,得到下三角矩陣L2(n×n),最后通過式(4)得到相關標準高斯隨機場。

4)因為±體參數一般不服從高斯分布,可以對相關高斯隨機場取指數。 通過式(5),將相關高斯隨機場轉化為相關非高斯隨機場,可得到c和φ的相關對數正態隨機場。

其中：

式中：μi、σi為對數正態變量(本文為黏聚力和內摩擦角)的均值和標準差;μlni,σlni分別為正態變量lni的均值和標準差。

將上述步驟通過編程,可得到±體參數的相關非高斯隨機場。

2 邊坡可靠度分析

對于邊坡功能函數,一般取g(x)=Fs-1,通過式(6)計算失效概率,通過式(7)、式(8)計算邊坡可靠度β。

采用Geostudio 軟件中Geocmd 命令行實用程序,利用Matlab 編寫腳本生成大量的項目文件報告,對接Geocmd 處理大量數據文件。 相關軟件實現步驟如下：

1)利用Geostudio 軟件建立邊坡模型并劃分網格,提取各網格節點的坐標信息和單元的節點信息,利用Matlab 計算出各單元網格的中點坐標。

2)確定所建立隨機場的參數(均值、標準差選取合適的相關距離、互相關系數、變異系數),根據1.3 一節所述步驟編寫Matlab 程序,生成N組黏聚力和內摩擦角的互相關對數正態隨機場。

3)Matlab 和Geostudio 結合,進行材料參數的批量賦值和計算,并提取N組隨機場下各工況所計算出的結果文件,統計整理N個安全系數值。

4)根據所提取的安全系數值,利用Matlab 編寫程序計算失效概率,反求可靠度指標。

3 算例分析

3.1 模型建立

利用Geostudio 軟件建立模型,見圖1,坡高15m,坡度1 ∶2。 模型劃分為810 個單元網格以及971 個節點,其中包括20 個三角形網格,其余均為正方形網格,尺寸1m×0.5m。 采用常用的摩爾-庫倫算法構建±體模型,且不考慮孔隙水壓力。

圖1 邊坡模型及安全系數

在進行確定性分析時,不考慮±體參數的空間變異性,利用Geostudio 軟件自動搜索滑移面,按表1 設置參數,得到安全系數為1.112。

表1 土體模型參數

3.2 參數敏感性分析

由于不同空間位置的±壤性質是相互聯系而不是相互獨立的,本研究考慮±體參數的相關性,分析過程中ρ(c,φ)取定值-0.5,圖2 分別為邊坡可靠度和安全系數均值隨豎直相關距離和水平相關距離變化曲線。

圖2 β 和μFs 隨豎直和水平相關距離變化曲線

由圖2 可知,隨著水平或豎直相關距離的增大,β呈現下降趨勢,而μFs數值變化幅度很小,β對水平或豎直相關距離變化更為敏感。 當δh=40m、δv由1m 增長至7m 時,可靠度指標由2.65下降至2. 46;當δv=4m、δh由30m 增長至60m時,可靠度指標由2.75 下降至2.41。 由圖2 還可發現,豎直相關距離比水平相關距離對邊坡可靠度的影響更顯著。 當β提升4.88%,豎直相關距離需要從3m 增加至7m(水平相關距離為40m),而水平相關距離需要從40m 增加至50m。此外,圖2(a)、圖2(b)可靠度始末兩點斜率絕對值分別為0.031、0.011,也表明可靠度指標對豎直相關距離的變化更加敏感。

由于±壤性質的相關性存在不確定性,本文簡要研究c和φ的相關系數對邊坡可靠度的影響。 由文獻[8]可知,c和φ的相關系數變化范圍可取(-0.7,0.25)。

由圖3 可以看出,c和φ的相關系數由-0.7增長至0.2 時,β下降42.7%、μFs下降0.73%,表明c和φ相關系數變化會對β和μFs均產生影響,且可靠度指標相對于安全系數均值對相關系數變化更加敏感。 此外,c和φ的負相關程度越強,可靠度指標和安全系數均值越大,這與文獻[9]所得結論一致。

圖3 β、μFs 隨c 和φ 互相關系數變化曲線

基于文獻[10]中黏聚力變異系數波動范圍在0.26～0. 78、內摩擦角變異系數波動范圍在0.15～0.73,圖4 分別為β、μFs隨c和φ變異系數變化曲線。 由圖4 可知,β、μFs隨c和φ變異系數的增大逐漸降低。 當covφ=0.2、covc從0.1 增長至0.7 時,β、μFs分別下降53.09%和2.43%;當covc=0.3、covφ由0.2 增長至0.5 時,β、μFs分別下降62.4%和2.03%。 此外,圖4(a)、圖4(b)的可靠度始末兩點斜率分別為5.26 和5.36。 綜上可知,可靠度指標對c和φ變異系數變化更加敏感,且內摩擦角變異系數相比于黏聚力變異系數對可靠度影響更加顯著。

圖4 β、μFs 隨covc 和covφ 變化曲線

4 結 論

1)可靠度隨著水平或豎直相關距離的增大而逐漸減小,但對安全系數均值影響較小,且豎直相關距離變化對可靠度影響更大。

2)可靠度和安全系數均值隨著黏聚力和內摩擦角互相關系數的增大而減小,可靠度對互相關系數變化更加敏感,且當黏聚力和內摩擦角具有強負相關時,可靠度會變得越大。

3)可靠度和安全系數均值隨著黏聚力或內摩擦角變異系數的增大而減小,可靠度對變異系數變化更加敏感,而內摩擦角變異系數對可靠度影響更大。