雙層襯砌圓形水工隧洞力學(xué)分析

祝二浩，袁明道，史永勝，張旭輝，徐云乾，2

（1. 廣東省水利水電科學(xué)研究院，廣東 廣州 510610； 2. 河海大學(xué)水利水電學(xué)院，江蘇 南京 210098）

0 引 言

襯砌是應(yīng)用非常廣泛的支護(hù)結(jié)構(gòu)，與圍巖協(xié)調(diào)變形。它不僅可以限制巖體變形，為隧洞壁提供支護(hù)力，而且可以封閉圍巖，防止圍巖風(fēng)化。通過(guò)現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)、模型試驗(yàn)、理論分析和數(shù)值模擬，學(xué)者們一直在探索襯砌支護(hù)的作用機(jī)理［1-14］。很多研究闡釋了襯砌支護(hù)的工作原理，并考慮了各種影響因素，如接觸面粗糙度、巖石節(jié)理發(fā)育程度、開(kāi)挖面的空間效應(yīng)和支護(hù)時(shí)間等。其中，Muskhelishvili 提出的復(fù)變函數(shù)方法是分析巖體與襯砌相互作用有效的分析方法［11-16］。而呂愛(ài)鐘教授的團(tuán)隊(duì)利用這種方法做了大量工作并得到很多重要的結(jié)論［12-15］，他們利用復(fù)變函數(shù)理論和保角映射方法，根據(jù)位移連續(xù)條件和力的邊界條件確定相應(yīng)解析函數(shù)的系數(shù)后進(jìn)行應(yīng)力計(jì)算，解決了不同洞型的深埋或淺埋隧洞單層襯砌問(wèn)題，得到了無(wú)限域內(nèi)任意形狀襯砌隧洞的應(yīng)力和位移的解析解［13，14］。本文延續(xù)該思路，進(jìn)一步考慮了雙層襯砌水工隧洞的情況，建立了圍巖、初襯和二襯相互作用的力學(xué)模型，可以求解三者中任意位置處的應(yīng)力分量，并通過(guò)數(shù)值模擬對(duì)結(jié)果進(jìn)行了驗(yàn)證，隨后分析了影響襯砌應(yīng)力分布的因素，揭示了隧洞開(kāi)挖引起的山巖壓力在初襯和二襯中的荷載傳遞機(jī)制，對(duì)雙層襯砌水工隧洞的設(shè)計(jì)工作提供了一種思路。雙層襯砌圓形水工隧洞示意圖如圖1。

本文的假定條件如下：隧洞埋深較深，初襯和二襯同時(shí)承擔(dān)開(kāi)挖引起的山巖壓力和內(nèi)水壓力，且?guī)r體和襯砌始終處于彈性狀態(tài)，隧洞軸線方向的應(yīng)變?yōu)榱?。也就是說(shuō)，本文的問(wèn)題可以簡(jiǎn)化為平面應(yīng)變問(wèn)題。襯砌與圍巖是完全接觸的，即襯砌與圍巖接觸面處的接觸應(yīng)力和位移是連續(xù)的。

1 基本原理和公式

隧洞的支護(hù)問(wèn)題可以簡(jiǎn)化為平面應(yīng)變問(wèn)題來(lái)求解，在體力為常數(shù)的前提下，平面彈性問(wèn)題的應(yīng)力解法最終歸結(jié)為：在給定邊界條件下求解雙調(diào)和方程，而根據(jù)復(fù)變函數(shù)理論，應(yīng)力函數(shù)可以用兩個(gè)勢(shì)函數(shù)來(lái)表示，通過(guò)邊界條件確定下兩個(gè)解析函數(shù)的具體形式后，域內(nèi)任意點(diǎn)的應(yīng)力和位移即可求出。

1.1 隧洞無(wú)支護(hù)

當(dāng)隧洞沒(méi)有設(shè)置襯砌支護(hù)，圓形隧洞開(kāi)挖相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)勢(shì)函數(shù)可以用Laurent級(jí)數(shù)表示為［11］：

式中：p為初始垂直地應(yīng)力；λ為側(cè)壓力系數(shù)；R1是圓形隧洞的半徑；z為圍巖內(nèi)任意點(diǎn)位置。

1.2 考慮襯砌支護(hù)

安置雙層襯砌后，隧洞開(kāi)挖引起的應(yīng)力釋放過(guò)程中圍巖與初襯相互作用。初襯作用下對(duì)應(yīng)的圍巖的兩個(gè)解析函數(shù)可以用Taylor級(jí)數(shù)表示為：

而初襯在圍巖和二襯接觸荷載作用下對(duì)應(yīng)兩個(gè)復(fù)勢(shì)函數(shù)可以用Laurent級(jí)數(shù)表示為：

類似地，二襯在初襯接觸荷載以及內(nèi)水壓作用下的兩個(gè)復(fù)勢(shì)函數(shù)可以用Laurent級(jí)數(shù)表示為：

式（2）～（4）中的ck、dk、ek、fk、gk、hk、ak、bk、mk、nk為待定常數(shù)。如圖1 所示，假定靜水壓力p0作用于二襯的內(nèi)邊界，且初襯、二襯與圍巖三者之間完全接觸。那么，根據(jù)圍巖與初襯接觸面上（r=R1）的應(yīng)力和位移連續(xù)性條件，初襯與二襯接觸面上（r=R2）的應(yīng)力與位移連續(xù)性條件，以及二襯內(nèi)邊界上（r=R3）的應(yīng)力邊界條件可以得到以下方程：

式中：（μ1，G1，E1），（μ2，G2，E2），（μ3，G3，E3）分別是圍巖、初襯和二襯的泊松比、剪切模量和楊氏模量，并且滿足：k1=3-4μ1，k2=3-4μ2，k3=3-4μ3。h為位移釋放系數(shù)［12-14］，由掌子面與襯砌段之間的距離決定，表示隧洞在發(fā)生總位移的h倍后得到支護(hù)。

1.3 建立方程并求解

將式（1）、（2）代入式（5），比較式子等號(hào)兩邊eikq的系數(shù)，可以得到以下等式：

而將式（3）、（4）代入式（6）并對(duì)比式子等號(hào)兩邊eikq的系數(shù)可以得到下列等式：

將式（4）代入式（7），因?yàn)槭綄?duì)任意q恒成立，因此可以得到下面等式：

將式（1）、（2）和（3）代入式（8），并比較式等號(hào)兩邊eikq的系數(shù)，可以得到下面的等式：

將式（3）、（4）代入式（9）并比較式等號(hào)兩邊eikq的系數(shù)則可以得到：

從式（10）～（31）可以看出，除了a1，b1，b3，c1，d1，d3，e1，f1，f3，g1，g3，h1，m1，m3，n1不等于零外，其他待求系數(shù)均為零。這些系數(shù)可以通過(guò)由等式（10）～（13）、（15）、（17）～（18）、（20）～（23）、（26）、（28）和（30）～（31）組成的線性等式（32）～（46）來(lái)確定：

聯(lián)立以上等式，由此便得到了圍巖和雙層襯砌對(duì)應(yīng)的復(fù)勢(shì)函數(shù)具體表達(dá)式。

2 雙層襯砌及圍巖內(nèi)的應(yīng)力解

在給定（R1，R2，R3，p，p0，λ，μ1，μ2，μ3，E1，E2，E3，h）參數(shù)值并通過(guò)式（32）～（46）計(jì)算出系數(shù)（a1，b1，b3，c1，d1，d3，e1，f1，f3，g1，g3，h1，m1，m3，n1）情況下，初襯和二襯內(nèi)任意位置處的應(yīng)力可通過(guò)式（47）和（48）求解，只需將式中的φ0（z）、ψ0（z）分別替換成對(duì)應(yīng)的φ2（z）、ψ2（z）以及φ3（z），ψ3（z）即可：

整理可得初襯內(nèi)應(yīng)力分量分別是：

二襯內(nèi)應(yīng)力分量分別是：

至于圍巖中的應(yīng)力，它是由開(kāi)挖前圍巖的應(yīng)力、開(kāi)挖引起的應(yīng)力變化和施加襯砌后的應(yīng)力變化疊加而成，相應(yīng)地，兩個(gè)復(fù)勢(shì)函數(shù)等于開(kāi)挖前的勢(shì)函數(shù)再加上式（1）、（2）對(duì)應(yīng)的勢(shì)函數(shù)，即：

式（55）、（56）中的第一項(xiàng)即代表著隧洞開(kāi)挖前的勢(shì)函數(shù)。同樣地，將式（47）、（48）中φ0（z）、ψ0（z）分別替換成與φ4（z）、ψ4（z）即可得到圍巖內(nèi)任意位置的應(yīng)力分量如下：

3 驗(yàn)證與討論

3.1 理論解與數(shù)值解的對(duì)比

驗(yàn)證采用的相關(guān)參數(shù)有：圓形隧洞半徑R1=2.3 m；初襯厚度為0.3 m（R2=2.0 m）；二襯厚度為0.4 m（R3=1.6 m）；垂直地應(yīng)力σv=1 MPa；側(cè)壓力系數(shù)λ=0.5；隧洞內(nèi)水壓p0=0.3 MPa；圍巖、初襯和二襯的楊氏模量分別為E1=1 GPa、E2=35.5 GPa、E3=32.5 GPa；圍巖的泊松比μ1=0.2，雙層襯砌的泊松比為μ2=μ3=0.167；位移釋放系數(shù)η=0.2。數(shù)值解采用有限元法進(jìn)行模擬計(jì)算：模型尺寸為50 m×50 m，雙層襯砌和圍巖采用不同材料性質(zhì)的Plane42單元模擬，雙層襯砌之間以及初襯、圍巖之間的接觸（面面接觸）關(guān)系則采用targe169 和contac172 單元模擬。通過(guò)Duncan 和Dunlop［17］提出的“應(yīng)力釋放法”模擬隧洞開(kāi)挖過(guò)程。圖2給出了雙層襯砌支護(hù)的圓形隧洞的數(shù)值模型：最外圍部分為圍巖區(qū)域；內(nèi)部的兩個(gè)圓環(huán)即初襯和二襯；作用在二襯上的4個(gè)紅色箭頭指代內(nèi)水壓力，而作用圍巖上的整圈紅色箭頭指代的是開(kāi)挖荷載；藍(lán)色三角即為模型的對(duì)稱約束。圖3 到圖7 則給出了二襯內(nèi)邊界、初襯與二襯交界面、初襯與圍巖交界面處的解析應(yīng)力解與數(shù)值應(yīng)力解的比較。由于對(duì)稱性，只給出了從模型上部x軸正向開(kāi)始θ=0°到θ=180°的應(yīng)力結(jié)果。

圖2 雙層襯砌圓形隧洞數(shù)值模型Fig.2 Numerical model of circular tunnel with double lining

圖3 二襯內(nèi)邊界應(yīng)力Fig.3 Inner boundary stress of the secondary lining

從圖3 到圖7 可以看出，本文方法得到的雙層襯砌和圍巖的應(yīng)力結(jié)果與數(shù)值解吻合良好。并且通過(guò)觀察圖3 可以發(fā)現(xiàn)σr/p0=-1，τrθ=0，（負(fù)號(hào)表示壓應(yīng)力），這符合我們預(yù)設(shè)的二襯內(nèi)邊界的應(yīng)力情況，即在二襯內(nèi)邊界上的徑向正應(yīng)力等于隧洞的內(nèi)水壓。此外，通過(guò)比較圖4 和圖5、圖6 和圖7 中的徑向應(yīng)力和剪切應(yīng)力結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)二襯外邊界上的徑向應(yīng)力、剪切應(yīng)力和初襯內(nèi)邊界的徑向應(yīng)力、剪切應(yīng)力基本相等，即在雙層襯砌之間的接觸面上、初襯和圍巖間的接觸面上都滿足應(yīng)力連續(xù)性條件，同樣在很大程度上證明了該模型的有效性。

圖4 二襯外邊界應(yīng)力Fig.4 Outer boundary stress of the secondary lining

圖5 初襯內(nèi)邊界應(yīng)力Fig.5 Inner boundary stress of the primary lining

圖6 初襯外邊界應(yīng)力Fig.6 Outer boundary stress of the primary lining

圖7 圍巖內(nèi)邊界應(yīng)力Fig.7 Inner boundary stress of the surrounding rock

3.2 參數(shù)分析與討論

在開(kāi)挖隧洞引起的山巖壓力和隧洞內(nèi)水壓力的不同荷載組合下，雙層襯砌內(nèi)的應(yīng)力分布也不盡相同，二襯的切向應(yīng)力時(shí)有會(huì)出現(xiàn)拉應(yīng)力區(qū)的情況，特別是當(dāng)內(nèi)水壓力值較大時(shí)更是如此。以3.1 節(jié)提供的參數(shù)為例，從圖3 中可以很容易看出，這種工況下的二襯的切向應(yīng)力在θ=68°和θ=112°之間為正值，即該部分的切向應(yīng)力為拉應(yīng)力。根據(jù)Tresca 破壞準(zhǔn)則，最大主應(yīng)力和最小主應(yīng)力的差值越大越容易引起屈服破壞（這里切向應(yīng)力和徑向應(yīng)力分別對(duì)應(yīng)最大主應(yīng)力和最小主應(yīng)力），因此這種應(yīng)力狀態(tài)下的襯砌容易屈服破壞?；谶@種認(rèn)識(shí)，為了在工程設(shè)計(jì)階段更好地把握山巖壓力和內(nèi)水壓在雙層襯砌和圍巖內(nèi)的荷載傳遞規(guī)律，接下來(lái)對(duì)影響雙層水工襯砌應(yīng)力分布情況的參數(shù)進(jìn)行分析和討論。

（1）水工隧洞內(nèi)水壓的影響。采用3.1 節(jié)中的參數(shù)，令水工隧洞的運(yùn)行內(nèi)水壓p0分別等于0.3， 0.25， 0.2， 0.15，0.1 MPa。采用本文方法計(jì)算二襯的切向應(yīng)力，結(jié)果如圖8、圖9所示。

圖8 不同p0對(duì)應(yīng)的二襯內(nèi)邊界的切向應(yīng)力Fig.8 The tangential stress at the inner boundary of the secondary lining corresponding to different p0

從圖8、圖9 可以看出，在此算例的參數(shù)條件下，隨著水工隧洞內(nèi)水壓的減小，二襯內(nèi)邊界出現(xiàn)的拉應(yīng)力區(qū)隨之減小，而在二襯的外邊界上的徑向應(yīng)力（壓應(yīng)力）也隨之減小。也就是說(shuō)，對(duì)于開(kāi)挖隧洞引起的山巖壓力，是初襯、二襯、以及隧洞內(nèi)的水體三者共同在承擔(dān)，反之，水工隧洞運(yùn)行時(shí)的內(nèi)水壓也是由初襯、二襯以及圍巖共同承擔(dān)。內(nèi)水壓的改變，使襯砌和圍巖的荷載分配發(fā)生改變：內(nèi)水壓減小，水體和襯砌承擔(dān)的荷載隨之減小，圍巖本身需承擔(dān)更多開(kāi)挖引起的荷載，因此在工程實(shí)踐中應(yīng)該注意水工隧洞運(yùn)行內(nèi)水壓，避免出現(xiàn)不利的應(yīng)力組合情況。

（2）互換襯砌彈性模量的影響。保持其他參數(shù)值不變，令初襯和二襯厚度相等，即R2=1.95 m，互換初襯和二襯彈性模量，當(dāng)E2=40 GPa，E3=20 GPa 時(shí)，記為“原始”狀態(tài)；當(dāng)E2=20 GPa，E3=40 GPa 時(shí)，記為“互換”狀態(tài)，分析其對(duì)荷載傳遞的影響。采用本文的方法，可以得到初襯和二襯內(nèi)、外邊界的徑向應(yīng)力和切向應(yīng)力結(jié)果如圖10、圖11所示。

圖10 互換襯砌彈模后的徑向應(yīng)力Fig.10 The radial stress after exchanging the elastic modulus of linings

圖11 互換襯砌彈模后的切向應(yīng)力Fig.11 The tangential stress after exchanging the elastic modulus of linings

從圖10 可以看出，在本節(jié)給定的參數(shù)條件下，互換雙層襯砌彈模后的徑向應(yīng)力結(jié)果：二襯內(nèi)邊界和初襯外邊界的徑向應(yīng)力改變的幅度很小，但是二襯、初襯接觸面上的徑向應(yīng)力整體降低了0.14 MPa左右。而從切向應(yīng)力角度看（圖11），二襯絕大部分的切向應(yīng)力值均有所增大，不管是拉應(yīng)力，還是壓應(yīng)力均是如此；而初襯的情況正好與二襯相反。也就是說(shuō)，互換襯砌彈模后，彈模較大，即較硬的襯砌承受的荷載較大，且最大主應(yīng)力與最小主應(yīng)力的差值較大，容易發(fā)生屈服破壞。

（3）襯砌厚度的影響。最后改變初襯和二襯的厚度，觀察二襯切向應(yīng)力的變化（保持隧洞半徑和二襯內(nèi)邊界半徑不變）。結(jié)果如圖12所示，發(fā)現(xiàn)調(diào)整初襯和二襯厚度不能明顯改善二襯內(nèi)邊界的應(yīng)力分布。

圖12 不同R2對(duì)應(yīng)的二襯內(nèi)邊界的切向應(yīng)力Fig.12 The tangential stress at the inner boundary of the secondary lining corresponding to different R2

4 結(jié) 論

采用復(fù)變函數(shù)方法建立了深埋雙層襯砌圓形水工隧洞的力學(xué)模型。圍巖、初襯和二襯三者之間處于完全接觸的狀態(tài)，而通過(guò)三者之間接觸面的連續(xù)性條件和邊界條件，可以建立相應(yīng)的線性方程組，并求解相關(guān)解析函數(shù)的系數(shù)。然后推導(dǎo)了圍巖和雙層襯砌中任意點(diǎn)的應(yīng)力分量，通過(guò)與數(shù)值解比對(duì)，證明了該方法的正確性和有效性。

最后對(duì)影響襯砌應(yīng)力分布的因素進(jìn)行了參數(shù)分析和探討，得出以下結(jié)論：①內(nèi)水壓可以承擔(dān)一部分隧洞開(kāi)挖引起的山巖壓力，使襯砌充分發(fā)揮材料的抗壓特性，但是過(guò)大的內(nèi)水壓將會(huì)引起襯砌和圍巖出現(xiàn)較大拉應(yīng)力區(qū)，從而發(fā)生屈服破壞，因此在水工隧洞運(yùn)行過(guò)程中要避免這類不利應(yīng)力組合。②當(dāng)雙層襯砌厚度相同，互換襯砌的彈性模量的結(jié)果是較硬的襯砌承受的荷載較大，最大主應(yīng)力和最小主應(yīng)力的差值較大，容易出現(xiàn)屈服破壞。③調(diào)整襯砌厚度對(duì)改善二襯的應(yīng)力分布沒(méi)有明顯的效果。