高等數學課程教學中的案例教學育人實踐
——以無窮小量的教學過程為例

舒亞東 吳雋永

貴州黔南經濟學院 貴州惠水 550600

高等數學作為一門基礎課程,對實現高質量教育有著重要的地位。好的課程設計是實現高質量教育和公平普惠的教育,使教育更加充滿活力的主要手段[1]。高質量課堂不僅需要豐富的內涵,更肩負培養學生價值取向的使命[2]。高質量教育和立德樹人為新時代賦予了特殊的內涵,也對新時代的教育改革指明了方向,必須以青少年理想人格塑造為核心[3]。本文以高等數學一次課的教學內容(無窮小量的定義及性質)為例,通過構造豐富的案例,把育人教學貫穿整個課堂教學過程。

一、教學目標

知識目標:正確理解無窮小量的概念(包括直觀概念和幾何概念);掌握無窮小量的基本性質。

能力目標:培養學生自主探究能力和明辨性思維;通過對無窮小量概念和性質的理解,體會數學中極限的思想,實現極限思想與現實世界有機結合。

育人目標:通過中國古人對極限思想的貢獻,激發學生愛國主義情懷和增強文化自信;培養學生用辯證的思維理解無窮小量的哲學內涵,引導學生樹立正確的人生觀、世界觀,從而給學生提供強大的精神動力。

二、教學重點與難點

教學重點:無窮小量的性質以及無窮小量的應用。

教學難點:無窮小量的概念和性質。

三、教學方法和手段

(一)多媒體演示法

通過計算機動畫演示,幫助學生有可視化的直觀感受,清晰描述無窮小量的漸進過程。給出一些來回波動,但最終又向無窮小邁進的案例。

(二)啟發式教學

通過勵志人物傳記,培養學習的愛國熱情,增強文化自信,啟發學生思考腳踏實地、堅持不懈努力的意義和內涵,從而培養學生努力學習、踏實做人的良好品質。

(三)問題驅動教學模式

以問題情境為導火索,通過問題環環相扣,使整個教學環節在不斷激發學生的探究熱情,引導學生分析問題、解決問題的過程中,達到本次課程的學習目的。

(四)課堂討論

給出幾個案例,先讓學生分組討論,然后誘導學生思考所給案例所隱藏的哲學內涵,從而讓學生明白哲學不再是單純的教條和蒼白的文字,同時,數學也不再是枯燥無味,而是充滿人生哲理的學科。

(五)總結發言

課程快結束時,讓學生分組討論總結本次課程的學習內容和要點。每一組選一個代表上臺交流發言,這樣可以提升學生課堂參與度,同時讓更多的哲學道理給學生提供強大的精神動力。

四、教學實施過程

(一)回顧復習

1.首先介紹我國數學家對極限思想的貢獻,進而激發學生的愛國熱情,同時增強文化自信

我國數學家劉徽給出了“割圓術”,即割之彌細,所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓合體,而無所失矣。也就是說通過圓內接正多邊形細割圓,并使正多邊形的周長無限接近圓的周長,該觀點已經形成了極限思想的雛形,為現代極限概念的形成奠定了思想基礎,在世界數學史上留下了濃墨重彩的一筆。直到18—19世紀,通過無數代數學家的努力,才形成嚴格的極限理論。然后通過動畫給出極限的漸進過程。

2.回顧極限概念

數列極限的定義:

從定義中引導學生加強對ε和N的理解,為本次課程的主要內容無窮小量做好鋪墊。

顯然,無論是根據極限的直觀定義還是嚴格的數學定義,上述兩個數列的極限都為零。同時表明,假如這兩個數列就代表兩個人的成長軌跡,無論起點怎么樣,只要后續不努力,終將一無所有。也或者說一個人的未來怎么樣,主要取決于你未來是否會連續付出。

顯然,該數列的極限為1,就像市場上商品的價格會來回波動,但隨時間推移,終將會穩定在某一個確定的值。

函數極限的定義:

?ε>0,?δ,使得當0<|x-x0|<δ,恒有|f(x)-A|<ε.

(二)新知探究

1.通過動畫和討論,給出無窮小量的定義

給出《莊子·天下篇》中“截丈問題”的精彩論述:“一尺之棰,日取其半,萬世不竭。”其含義是,一尺長的木棍,每天截去它的一半,千秋萬代也截不完。顯然,這句話包含了對立統一的思想。事物的發展總是先從量變開始,量變是質變的必要準備,質變是量變的必然結果。因此,我們做任何事情都要從一點一滴的小事做起,要腳踏實地、埋頭苦干,積極做好量的積累,為實現事物的質變創造條件。讓學生分組討論該論述所表達的主要思想,從而得到在高等數學中占有重要地位的一個重要極限——無窮小量,然后給出無窮小量的嚴格定義。通過學習中國古代數學家對數學科學做出的重要貢獻,培養學生的愛國熱情和民族自豪感,同時增強文化自信。

無窮小量的定義:在某一變化過程中,函數以零為極限,即:

括號( )中的自變量可以是x,也可以是n,表達式中的過程主要有三類。若是數列極限,則該過程為n→∞;若為函數極限,則該過程可以是x→x0,也可以是x→∞。

通過圖像的軌跡可以說明無窮小量是一個運動的趨勢,而不是一個具體的很小的數。

2.給出理解無窮小量的幾點注記,同時舉例解釋

(1)無窮小量是變量,不能與很小的數混為一談,即絕對值非常小的非零常數不是無窮小量。

(2)零是特殊的無窮小量。

解釋:特殊性在于零本身是常數,其極限就等于本身,也就是說零在任何過程中的極限都為零,根據定義,零是無窮小量。

(3)無窮小量總伴隨著一個過程。

除了①和②,討論任何變量是不是無窮小量,皆與過程有關。

例5:當x→1時,x-1,x2-1都是無窮小量,但當x→0時,x-1,x2-1都不是無窮小量。

在學習極限時,首先不是看函數本身,而是先關注變量的變化過程。

3.用PPT播放一些勵志人物傳記,誘導學生思考這些勵志人物身上共同的基本素養,通過他人故事思考自己應該如何去度過自己的大學生活

這些平凡人物的身上都體現著腳踏實地、頑強拼搏、百折不撓的人生旅程。縱使經歷無數失敗,但為了理想,終其一生,最終實現了理想。

4.無窮小量的性質

性質1.有限個無窮小量的代數和仍然是無窮小量。

性質2.有限個無窮小量的乘積仍然是無窮小量。

性質3.無窮小量與有界函數的乘積仍然是無窮小量。

性質4.常數與無窮小量的乘積仍然是無窮小量。

該例題表明:假如該數列就代表一個學生進入校園后的狀態。縱然每次聽課后感覺什么都沒學到,因為每一項的極限都為零,是無窮小量,但該學生卻選擇了堅持下去,終將實現了量變到質變的蛻變。或者也可以說,只要堅持不懈付出終將會得到回報,付出是有收獲的。

例10:當x→0時,x,x2,sinx都是無窮小量,讓學生分組討論如下極限:

顯然,當把性質中的有限改為無限,兩個無窮小量相除就可能得到不同的結論。

(三)無窮小量的應用

給出一些經典的案例,通過提問和分組討論,引出無窮小量所蘊含的哲學意義。

提問學生,然后再提問其他同學對該答案是否認同,若認同,為什么?不認同,說明理由。顯然,該例題中無窮個零的和還是零。

例題表明:假如該數列就代表一個同學進入校園后的狀態,但整天做其他事情,從未走進過教室學習,那就意味著不付出是不會有收獲的。

讓學生分組思考,該例題和例11的區別在哪里?該例題帶給我們什么啟示?顯然該例題的極限還是零。

該例題表明:假如該數列就代表一個學生進入校園后的狀態。堅持聽了幾次數學課,但是每次基本什么都沒學到,后面選擇了放棄,但是和直接沒來過教室的人相比,還是稍微要好點,只是說學到的東西幾乎趨近于零,因此沒有堅持幾天就開始放棄了,導致的結局也是一無所有。即沒有足夠的耐心和恒心,是很難成功的,并不是付出不一定有收獲,而是付出得還不夠。

讓學生分組思考,該例題和例12的區別在哪里?該例題帶給我們什么啟示?顯然該例題的極限為1。

該例題表明:假如該數列就代表一個學生進入校園后的狀態。縱然每次聽課后感覺什么都沒學到,但卻選擇了堅持下去,終將實現量變到質變的蛻變。或者也可以說,堅持不懈的付出終將得到回報。

讓學生分組思考,該例題和例13的區別在哪里?該例題帶給我們什么啟示?顯然該例題的極限為0。

該例題表明:假如該數列就代表一個學生進入校園后的狀態。和例13比較,該例題中學生每天學到的知識更少,或者說基礎更差,且前者學習了n天,后者也只學習了n天,導致的結局是后者永遠不如前者。同時告訴我們一個道理,假如我們本身不如別人聰明,結果自己付出和別人一樣多,導致永遠落后于別人。

讓學生分組思考,該例題和例13、例14的區別在哪里?該例題帶給我們什么啟示?顯然該例題的極限為1。

該例題表明:假如該數列就代表一個同學進入校園后的狀態。和例13比較,該例題中學生每天學到的雖然更少,但此時堅持學習了n2天,也就是說加倍努力,最終也實現了質的改變。該例告訴我們一個道理,假如我們本身不如別人聰明,或者基礎沒有別人好,那么我們就加倍付出,終將實現質的飛躍,最終取得成功。

上述例題再次表明,無窮個無窮小量的和不一定是無窮小量。

五、總結

總結本次課程所學到的知識點,可以給當代大學生四年大學生活或者說這一生提供一些啟示。學生分組充分討論,讓數學課程包含的深刻哲學思維深入大學生的心靈深處,從而提供強大的精神動力和培養學生強烈的社會責任感。(1)大一新生進入新的校園生活,思想上有所松懈,比較迷茫,通過在一年級課程中引入飽含哲理的育人元素,增添學習的樂趣,使枯燥的數學變得有趣;(2)通過數學課引申出的哲學內涵無疑給學生注入了強大的精神動力,同時讓學生明白有所為有所不為,堅定理想信念;(3)通過無窮小量的學習,使學生具有獲得感。即使每天進步微乎其微,但是有了數學課驗證下的量變累積到一定程度必然會發生質變和付出一定會有收獲的科學內涵,從而營造良好的學習氛圍。