基于問題驅動的高中數學微課設計
——以“二面角及其平面角”為例

朱 楠

衡陽師范學院 湖南衡陽 421000

1 概述

1.1 微課

《普通高中數學課程標準(2017年版)》的實施建議指出:教師要注重信息技術和數學課程的深度融合,提倡利用信息技術來呈現傳統教學中難以達到的效果,加強數學教學與信息技術的結合[1]。微課是以微型錄像為載體,以短片的形式,將各種知識導入課堂,具有簡練、簡潔、靈活、突破時空限制等特點。在“互聯網+”教育時代,微課作為一種信息技術手段和重要的教學輔助資源,正在迅速對數學課程教育產生深刻的影響。在高中數學教學中,應用微課的教學方式降低了高中數學知識的學習難度,學生對于數學重難點的理解更透徹,為深入直觀的學習數學奠定基礎。因此,高中數學教師要充分發揮主導作用,充分發揮信息技術的優勢,打造具有信息化和實用化的數學課堂,將數學知識應用到實際生活中。

1.2 問題驅動

問題是促進學科發展的原動力,數學也不例外。M.Kline曾指出:“每一個數學分支均是為攻克一類問題而發展起來的。”[2]數學教育家張奠宙教授曾提出了以問題驅動的新概念數學。[3]問題驅動是一種培養學生數學思維能力的重要教學模式,與數學課程改革要求相符合。具體來說,問題驅動教學指的是教師圍繞備課所設計的問題來組織課堂活動,引導學生逐步深入的探究問題,提高學生分析和解決問題的能力,并借此提升學生的學習、表達、應用、創新等能力。如何把微課與問題驅動結合起來,更好地突出微課在高中數學教學中的作用,是高中數學教師思考的一個問題。因此,本研究采用問題驅動的教學方法對“二面角的平面角”進行微課設計。

2 教學分析

2.1 教材分析

“二面角及其平面角”是人教A版《數學》(必修2)第八章第6節第3課時內容,二面角及其平面角的概念是立體幾何中的基礎概念也是重要概念,二面角的概念完善了空間角的概念。

2.2 學情分析

在學習“二面角”之前,學生已經學習了兩條直線的垂直定義、兩條直線所成角的定義、直線與平面所成角的定義,以及異面直線所成的角的定義,至此,學生已經具備了一定的空間想象力和概括能力,因此可以從這些已經學過的角的定義出發進行類比教學。

2.3 教學目標

2.3.1 知識與技能

掌握“二面角”及“二面角的平面角”概念;能根據定義正確地作出二面角的平面角;會求簡單的二面角的平面角的大小。

2.3.2 過程與方法

學生通過經歷探究“二面角”及“二面角的平面角”概念的過程提高空間想象能力、動手能力,體會類比、轉化和化歸思想方法,感受數學魅力。

2.3.3 情感態度價值觀

通過實際問題的引入,激發學生的求知欲。由簡單到復雜的問題導入也可以培養學生問題意識和勤于動腦的學習習慣。學生在獨立思考的基礎上,積極交流感受二面角既來源于生活,也能解決生活中的實際問題,提高數學學習興趣。

2.4 教學重點

(1)掌握二面角的大小計算。

(2)理解和掌握“二面角”及“二面角平面角”的概念。

2.5 教學難點

二面角的平面角概念。

2.6 教學方法

(1)啟發式教學法:教師設計層層問題來引導學生獲得“二面角”及“二面角平面角”的概念。

(2)探究式教學法:引導學生進行折紙活動,主動探究,培養學生動手能力和科學探究能力。

(3)直觀式教學法:利用多媒體、實物視頻、教具,化抽象為具體,突破難點。

2.7 教具

自制教具、自制多媒體教學課件、A4紙。

3 教學過程

3.1 問題驅動,引入情境

師:同學們,你們知道中國空間站是在哪個平面上繞地球旋轉的嗎?(播放空間站繞地球旋轉的視頻)其實空間站的軌道面與赤道面是不重合的。這里標黃色的為軌道面,它與標藍色的赤道面可以抽象出兩個相交的平面。

問題1:如何準確地描述兩個平面相交的狀態,想一想初中是借助什么來描述兩直線相交的狀態?

教師引導學生思考:在平面上兩條直線相交于一點,會把平面分成四個區域,任意一個區域都可以用兩條射線所構成的角表示。說清角的大小就可以說明兩條直線相交的狀態了。

問題2:想一想,在初中,“角”是如何定義的?

教師引導學生得到角的靜態定義:具有公共點的兩條射線組成的圖形叫做角,這個公共端點叫做角的頂點,這兩條射線叫做角的兩條邊。

3.2 問題驅動,導入概念

問題3:類比嘗試給“二面角”下定義。

教師引導學生思考:回到空間中,兩平面相交于一條直線,把空間也分成了四個部分。類比兩直線相交,只要說清楚一部分的大小,就可以表示兩平面相交的狀態。

教師引導學生通過圖形、表格等形式將平面幾何中“角”的概念與二面角做對比,引出與二面角有關的概念:半平面、二面角的棱、二面角的面以及二面角的表示方法。

角與二面角的對比表

生:嘗試歸納二面角的定義:從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角,這條直線叫做二面角的棱,這兩個半平面叫做二面角的面。把構成二面角的元素順次用符號寫出來,就可以得到二面角的符號表示。

[設計意圖]通過平面幾何中“角”與立體幾何中的“二面角”作類比,使學生溫故而知新,符合學生的認知規律。通過動畫等抽象知識具體化,便于學生對知識的理解,培養學生分析問題的能力。

3.3 問題驅動,探究角大小

教師活動:演示書本翻開的過程,打開門的過程,展示二面角連續變化的過程。

問題4:根據角的研究經驗,在定義二面角的概念之后,你認為接下來應該做什么?

生:應該測量角的大小了。

問題5:生活中我們常說“把書翻開些”“把門開大些”是指哪個角開大些?二面角的大小具體應該怎樣度量?

問題6:類比之前我們所學過的“異面直線所成的角”和“直線和平面所成的角”,想想這些角是如何度量的?

生:我們可以將這個二面角轉化成平面角。

師:轉化成平面角進行測量的思路是正確的。我們在求異面直線的夾角時是通過平移,在一條直線上找一點,過該點做另一條直線的平行線,這兩條相交直線所成的角即為所求。那對于直線和平面的夾角,我們可以先將它們的交點記為點a。在直線上另取一點b,作點b到平面的投影b1,過這兩點作直線,這兩條直線的夾角就可以度量線面角的大小了。

生:哦,我明白了。要度量二面角的大小需要找到它的平面角。

師:沒錯,我們要把復雜的空間問題化歸為簡單的平面問題。可以類比之前所學,運用轉化的思想方法,將空間角的度量轉化為平面角度量。

[設計意圖]通過問題串引發學生對二面角的平面角定義合理性的思考。這個過程能讓學生逐步體會到數學定義不是憑空產生的,感受到數學的嚴謹性。

3.4 問題驅動,找二面角的平面角

問題7:請大家翻動書頁,思考用哪兩條邊所成的角來度量這個二面角呢?從直觀上看又是什么呢?

生:我們將書頁翻轉,從直觀上猜測度量書頁的邊緣所夾角的度數可以得到這個二面角的大小。

師:那順著大家的思路,我們一起來觀察,當書合上時,邊緣所構成的夾角也是0°。當書攤開時,邊緣所構成的夾角也是平角。得出結論,書的邊緣所構成的角大小正好和我們認知中的二面角大小一致。

問題8:那是不是所有的邊緣構成的角都有這樣的性質呢?

教師引導學生進行折紙活動來觀察解決問題8。

師:我們先把紙斜折,此時構成了兩種邊緣的夾角。將二面角攤平,兩個半平面在同一平面上,而邊緣構成的角不是平角。另一種情況,將這張紙折合,二面角的兩個半平面重合了,而邊緣所構成的角不是0°。通過折紙活動,發現折紙結果與我們的猜測不相符,產生了認知沖突:頁面邊緣所夾角的大小不一定反映二面角大小。

生:那為什么在前面書本的例子中書本邊緣所構成的角就能表示二面角的大小呢?

問題9:大家一起觀察在書本翻折的例子中,這個平面角的頂點落在什么位置?角的射線落在什么位置?角的兩邊與棱有什么關系?

生:點在棱上,線在面內,與棱垂直。

師:總結得很好,二面角的平面角必須滿足這三個條件(1)角的頂點在棱上;(2)角的兩邊分別在兩個面內;(3)角的兩邊都要垂直于二面角的棱。所以在數學中二面角的平面角是這樣定義的:在二面角α-α-β的棱上任取一點O,在α內過O點作OA⊥α,在β內過O作OB⊥α,射線OA和OB組成∠AOB,我們把這樣的角叫二面角的平面角。

問題10:我們繼續思考二面角的平面角的取值范圍是什么呢?

生:書頁既然可以在0°～180°之間轉動,那么二面角的平面角的范圍應該就是0°～180°。

師:那如果書頁翻折到超過180°呢?

生:那這兩個半平面所成的角可以看成是另一個方向小于180°的角,所以范圍仍然為0°～180°之間。

師:思考得很全面,二面角可以用它的平面角來度量,對于任意一個二面角的平面角,度數都在0°～180°之間。那么二面角的度數范圍也就是[0°,180°],寫成弧度就是[0,π]

3.5 問題驅動,證明二面角平面角頂點的任意性

問題11:我們繼續思考,異面直線所成的角的頂點是任取的,那二面角的平面角的頂點在棱上也是任取的嗎?(展示建筑工人用直角三角板測量墻角的視頻)

生:我發現在生活中,建筑工人為了要證明兩個墻面是垂直的,通常用直角三角板在墻面不同位置進行測量,直角邊與墻面都是緊密貼合的,就說明角度都是相同的。

問題12:如何用數學的方法來證明二面角的平面角的頂點在棱上也是任取的?

生:我們之前學習過等角定理可以證明二面角的平面角的頂點在棱上也是任取的。

問題13:如何用等角定理來證明?

生:如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行,并且方向相同,就說這兩個角相等。所以我們可以證出二面角的平面角的大小和它的頂點在棱上的位置無關。

師:回答得非常準確。最后,我們來總結一下吧。為了描述兩個平面相交的狀態,我們學習了二面角。它是由兩個半平面夾著一條直線組成的。在兩個半平面中各做一條垂直于棱的射線形成的角就叫做二面角的平面角,它的大小就是二面角的大小。

[設計意圖]培養學生類比的思想方法,并且聯系生活實際,從生活中觀察數學,并用等角定理證明二面角的平面角的大小與點O在棱上的位置無關,為后面從復雜幾何體中準確找平面角做好理論鋪墊。

3.6 學以致用

(1)概念辨析題:判斷圖中哪個平面角是正確的?

(1)

(2)

(3)

(4)

(2)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,找出二面角D1-AB-D的平面角,并求出大小。

[設計意圖]設計課中練習題,是教師掌握學生課堂學習效果與質量的重要環節,反饋題圍繞本節課的學習內容,讓學生獨立思考,檢查學生是否理解二面角平面角的定義,檢查學生從幾何中分離出二面角;檢查學生對二面角的平面角的定義的掌握情況。

4 反思小結

這一節課是從衛星軌道繞地球旋轉開展的,同時結合生活中的開門與翻書等生活實例。學生從本節課中體會到數學來源于生活,也服務于生活,提高對二面角的感知和認識,激發了數學學習的興趣。此外,教師以學生的認知結構、最近發展區為前提進行問題驅動式教學,所設置的問題需要對大部分學生而言具有一定的挑戰性,但不至于過難、過偏,以免讓學生喪失解決問題的興趣,打擊學生的學習熱情。再者,問題的設置也要有邏輯性,一步步引領學生探究和思考,運用類比的方式,讓學生根據已有的學習經驗來經歷二面角的概念形成過程,提高學生直觀想象、邏輯推理和數學抽象的數學核心素養的發展。第四,二面角的平面角研究比較復雜,運用問題驅動,引導學生類比異面直線所成角和線面角的解決方式,由繁到易,培養學生轉化與化歸的思想方法。第五,本節課注重發揮學生的主體作用,在探究二面角的平面角過程中,先讓學生直觀感受二面角平面角的位置,進行大膽猜測,再組織折紙活動進行驗證,鼓勵學生探究和交流反饋,使學生成為課堂的主體,提高學生的學習效果。