超級電容動態參數等效電路模型及實時辨識方法

0 引言

在電源供電和新能源發電/儲能應用領域,鋰電池和超級電容被廣泛應用[1-3]．不同于鋰電池,超級電容能量密度偏低,但具有功率密度高、充放電速度快和高頻充放電不影響其使用壽命等優點[1,4]．因此,超級電容被廣泛用作緩沖電源、應急電源或啟動電源．在新能源發電/儲能等應用領域,超級電容還可以有效平抑功率波動對風電儲能系統和電網的負面影響[5-6]．作為一種頗具應用前景的供電和儲能器件,國內外近年來對超級電容的應用研究非常引人關注[6-9]．

為有效控制超級電容儲能系統,超級電容的內部參數辨識尤為重要[7,9]．超級電容的內部參數涉及實時容量、充放電內阻和自放電內阻等,這些內部參數是反映超級電容放電程度、可用電量或最大放電功率的關鍵參數[7,9-10]．為了辨識超級電容內部參數,學者們提出了許多建模和參數辨識方法[10-13]．其中,最常用的超級電容建模方法是傳統的靜態參數三分支等效電路模型[5,14-15]．在靜態參數三分支等效電路模型中,不同的分支具有不同的時間常數,能反映超級電容不同時刻的充放電工作特性和靜置特性．但是,靜態參數三分支等效電路模型參數過多,參數辨識過程復雜,且離線估計的靜態參數在實際應用時又會導致較大的模型誤差和誤差累積現象,這不利于模型的實際應用[14-15]．

從超級電容內部的結構來看,超級電容電極由多孔材料構成,其特有的大孔、中孔和微孔結構可以通過多階梯形等效電路模型來描述,通過電路的不同時間常數反映超級電容的工作特性[9]．進一步,一些研究者提出,在連續工作狀態或靜置時間較短的充放電工況下,多階梯形等效電路模型可以等效為低階梯形等效電路模型[8-9,16]．與三分支等效電路模型相比,低階梯形等效電路模型的結構簡單并且參數少,利于辨識．一些研究表明,基于離線參數辨識方法的低階梯形等效電路模型在簡單工況應用時具有較好的精度[8,16]．但是,超級電容在連續變化充放電過程中等效電阻和電容參數是動態變化的[17-18]．如何采用簡化的低階等效梯形電路模型描述超級電容工作特性隨充放電工況變化有待進一步研究．

目前,針對超級電容等效電路模型的參數辨識,應用較多的主要為遞推最小二乘法、卡爾曼濾波算法、粒子群算法及基于大數據的人工神經網絡辨識方法等[12-13,19-21]．其中:卡爾曼濾波算法一般應用于參數較少的動態模型,可以實現十分精確的在線參數辨識[13];粒子群算法需要多次辨識和分析模型參數,結果會受到數據飽和的影響[12];人工神經網絡方法則是基于大量的實驗數據樣本對等效電路模型參數進行辨識,在動態模型應用中受限于計算和存儲單元的性能[21]．相比于其他參數辨識方法,遞推最小二乘法最為簡單和實用[17,22]．然而,對長期循環充放電的超級電容進行參數辨識時,由于遞推最小二乘法需要根據過去數據進行遞推,隨著遞推次數的增加,會出現數據飽和問題,過去數據會淹沒新數據的信息,將導致超級電容模型出現不可逆的誤差積累．

為解決超級電容傳統靜態等效電路模型誤差大、不能有效反映其動態工作特性等問題,本文提出一種包含動態充放電內阻、電容參數和靜態自放電內阻參數的二階梯形等效電路模型．通過仿真和實驗表明,忽略靜態自放電內阻不影響超級電容動態充放電內阻和電容參數的辨識結果．為避免超級電容內部參數初值選取不合理,基于完整的充放電和靜置工況進行參數離線辨識,將離線辨識的等效電路模型參數作為初值,引入帶遺忘因子的遞推最小二乘法對超級電容等效電路模型的動態參數進行實時辨識,有效避免了誤差累積現象．最后,通過仿真和實驗結果對比證明了動態參數二階梯形等效電路模型的有效性和準確性．

1 超級電容動態參數等效電路模型

目前,超級電容已經被廣泛應用于超快響應電源、車載啟動電源、公共汽車和地鐵列車儲能供電系統、多電飛機應急電源等應用領域[1-2,7]．已經得到廣泛應用的超級電容可分為雙電層電容(Double Electric Layer Capacitor,DELC)和法拉第贗電容(Faraday pseudocapacitor)兩種[1,7]．其中,最具有代表性的是Maxwell雙電層超級電容．由于雙電層超級電容在充放電過程中沒有發生伴隨的化學反應,其充放電過程是“鏡像”的,反映了典型的電容工作特性,因此過去對超級電容的建模和參數辨識研究多數是基于雙電層結構開展的．

雙電層超級電容的電極材料具有多孔結構特點．根據電極上不同孔隙的大小,分為大孔、中孔和微孔結構．如果這些孔隙大小均勻,可等效為理想的三階梯形等效電路,如圖1a所示．在實際的生產過程中,受制作工藝和材料的影響,電極材料上的孔隙是不規則的．因此,為了在等效電路模型中體現不同孔隙對超級電容參數產生的影響,理論上需要多階梯形等效電路來描述超級電容的工作特性．但是多階梯形等效電路同樣會增加模型的參數,導致參數實時辨識困難．為簡化模型,在簡單的充放電工況下,可采用二階梯形等效電路描述超級電容的工作特性,如圖1b所示．該模型的第二階R2和C2可以看成是中孔和微孔等效電路合并后的等效電路,在連續變化的充放電工況下,由于超級電容長期靜置對應的自放電內阻高達幾千歐姆,與短期幾十歐姆的自放電內阻并聯后等效自放電內阻幾乎不變,因此忽略長期自放電內阻對短期自放電內阻辨識結果影響十分微小,中期自放電內阻可以等效疊加到短期自放電內阻上．

圖1 超級電容傳統的梯形等效電路模型Fig.1 Traditional ladder equivalent circuit models of supercapacitor

在簡單的充放電工況下,圖1b所示的等效電路模型有較好的模型精度．但是,超級電容充放電內阻和容量隨充放電工況變化而動態變化,因此采用動態變化的模型參數可以更有效地描述超級電容的動態工作特性．為此,本文提出包含動態充放電內阻、電容參數和靜態自放電內阻參數的二階梯形等效電路模型．進一步,由于漏電流和電荷再分布現象的存在,超級電容在充放電階段和靜置階段均具有自放電效應．考慮充放電和靜置期間的自放電效應,等效電路模型保留了一個自放電內阻.由于自放電內阻相對較大,微小的變化不會影響模型精度,因此設計自放電內阻是靜態的．所提出的動態參數二階梯形等效電路模型如圖2所示．

圖2 動態參數二階梯形等效電路模型Fig.2 Second-order ladder equivalent circuit model with dynamic parameters

2 動態參數實時辨識

基于圖2所示的動態參數二階等效電路模型,將引入帶遺忘因子的遞推最小二乘法對動態模型參數進行實時辨識．首先,圖2所示等效電路的傳遞函數為

[RselfR2C2C1s2+(RselfC2+RselfC1+R2C2)s+1]-1,

(1)

式中:Rself是靜態自放電內阻．

為便于計算,令R3=Rself,并將傳遞函數G(s)寫成如下形式:

(2)

對比式(1)—(2),可以得到:

(3)

進一步,為了辨識模型參數,需要對傳遞函數進行離散化．離散化方法包括后向差分法、前向差分法和雙線性變換法等.由于后向差分法需要很小的采樣周期才能保證模型精確,不太適合工程應用,而前向差分法會導致結果出現很大的偏差,因此選擇雙線性變換法,該方法應用于低頻響應會取得較好的效果,十分實用．雙線性變換公式為

(4)

基于雙線性變換,可以得到:

(5)

其中:

(6)

相應的差分方程為

V(z)+α1V(z-1)+α2V(z-2)=

β0I(z)+β1I(z-1)+β2I(z-2).

(7)

令:

θ=[-α1,-α2,β0,β1,β2],

(8)

h(z)=[V(z-1),V(z-2),I(z),I(z-1),

I(z-2)]T.

(9)

則基于最小二乘法的辨識方程可以表示為

V(z)=θh(z).

(10)

采用遞推最小二乘法進行參數辨識,相應的公式為

(11)

式中:當λ=1時,為遞推最小二乘法;當λ<1時,則變為帶遺忘因子的遞推最小二乘法．在辨識時有5個模型參數,即R1～R3和C1～C2,定義為5參數辨識方法．

根據測試得到的超級電容輸出電壓和工作電流數據,設計采樣周期T=1 s,結合式(10)和式(11)的遞推最小二乘法可辨識參數θ,再通過對比式(3)和式(6),就可以離線辨識對應的模型參數．遞推最小二乘法容易實現,而且在簡單工況下會有較高的精度．但是,超級電容在充放電/靜置工況突變時,等效內阻和電容等參數是動態變化的,遞推最小二乘法受前期采樣數據的影響,會有一定的誤差累積現象,因此不十分適合參數的實時辨識．在遞推最小二乘法的基礎上引入遺忘因子,將使前期數據的權重隨新數據的增加逐漸減弱,能夠有效避免數據過飽和現象．

盡管如此,過多的參數極有可能在實時辨識過程中出現無效解或奇異解．例如:自放電內阻在充放電/靜置工況突變時,辨識結果為負值,是一個無效解或無意義解．為了簡化辨識過程,本文通過仿真和實驗發現:自放電內阻的參數小幅度變化不會影響超級電容模型精度和其他動態參數辨識結果．因此在充放電工況下可忽略靜態自放電內阻進行模型的動態參數辨識．相應的傳遞函數變為

(12)

對比式(2),可以得到:

(13)

同樣地,對式(12)采用雙線性變換進行離散化,并與式(5)進行對比,有

(14)

相比于式(3)和式(6)對應的5參數辨識方法,式(13)和式(14)辨識參數為4個,對應的4參數辨識方法與5參數辨識方法相比,計算相對簡化,遞推最小二乘法實時辨識更少的參數,避免了無效解或無意義解．同時,為了防止由于數據過多導致的數據過飽和,設計遺忘因子λ=0.96,減弱前期數據權重,就可以實現基于遺忘因子遞推最小二乘法的實時參數辨識．

3 仿真和實驗對比分析

為驗證動態參數二階梯形等效電路模型和實時辨識方法的有效性和準確性,搭建了超級電容實驗測試平臺,如圖3所示．為避免外部環境因素干擾,在恒溫恒濕條件下,采用新威電池測試系統對超級電容進行實驗測試,通過電壓傳感器和電流傳感器分別采集超級電容的輸出電壓和工作電流數據,采樣周期為1 s,采集數據經過處理后將實時儲存于上位機,并通過監測系統顯示．

圖3 超級電容實驗測試平臺Fig.3 Experimental test platform for supercapacitor

同時,搭建超級電容的二階梯形等效電路模型,如圖4所示．在仿真時,由于自放電內阻會導致部分充放電能量損失,因此不可忽略．但是,自放電內阻的小幅度變化不會影響超級電容模型精度,在仿真時將忽略自放電內阻的動態變化,所以R3設計為恒定值,R1、R2、C1和C2設定為動態變化的參數,跟隨超級電容不同充放電或靜置工況的參數辨識結果動態變化．動態變化參數將通過后臺運行腳本文件嵌入仿真模型．因此,該模型仿真結果可以有效反映超級電容的動態工作特性．

圖4 超級電容二階梯形等效電路仿真模型Fig.4 Second-order equivalent circuit model of supercapacitor

基于搭建的實驗測試平臺和仿真模型,超級電容動態參數等效電路模型的實時辨識及驗證流程如圖5所示．首先,通過實驗測試獲取超級電容的輸出電壓和工作電流數據．然后,采用遞推最小二乘法對二階梯形等效電路模型參數進行初步離線辨識．進一步,將離線辨識的靜態參數作為初值,引入帶遺忘因子的遞推最小二乘法對模型動態參數進行實時辨識．最后,將實時參數辨識結果嵌入仿真模型,通過仿真和實驗結果對比驗證動態參數等效電路模型和實時辨識方法的有效性和準確性．

圖5 超級電容參數辨識及分析驗證流程Fig.5 Supercapacitor parameter identification and analysis verification process

選用Maxwell 350 F超級電容進行實驗測試和仿真分析,該超級電容的額定電壓、額定容量、最大工作電壓、最大工作電流和實驗標定內阻如表1所示．用于標定的實驗工況對應的輸出電壓和工作電流如圖6a所示．該實驗工況依次包含靜置階段、充電階段、充電后靜置階段、放電階段和放電后靜置階段,可有效反映超級電容各階段的不同工作特性．

表1 Maxwell超級電容規格參數

圖6 充放電和靜置工況下仿真和實時參數辨識結果Fig.6 Simulation and real-time parameter identification under charging/discharging and static operating conditions

基于圖6a完整的充放電和靜置工況,分別采用上一節的5參數辨識和4參數辨識方法進行初步的離線參數辨識,得到的結果如表2所示．可以看出,兩種方法對應的等效充放電內阻和電容的辨識參數十分相近．

表2 不同參數模型的辨識結果

將表2中5參數辨識和4參數辨識結果分別代入圖4的仿真模型進行仿真,模型輸出電壓如圖6b所示．在仿真時,4參數辨識方法的自放電內阻等于5參數辨識方法的自放電內阻,雖然忽略自放電內阻不會影響動態參數的辨識結果,但自放電內阻會消耗部分電量,因此仿真時自放電內阻不可忽略．在后續的動態參數等效電路模型仿真時,自放電內阻同樣等于5參數辨識方法得到的結果．由圖6b可以看出,4參數辨識方法和5參數辨識方法的仿真模型輸出電壓幾乎重合．實際上,兩種辨識方法的等效內阻R1和R2完全相同,等效電容C1和C2差別幾乎可以忽略．相應地,兩種辨識方法對應的仿真模型輸出電壓同樣不會發生明顯變化．

進一步,將表2中4參數辨識方法得到的結果作為二階梯形等效電路模型動態變化參數的初值,采用帶遺忘因子的遞推最小二乘法對超級電容內部參數進行實時辨識,得到動態變化的等效內阻和電容參數如圖6c所示．可以看出,超級電容在充放電工況變化時會發生一定的等效內阻和電容變化,在靜置后會保持穩定,有效反映了超級電容的內阻和容量隨充放電工況變化而動態變化的工作特性．在靜置自放電過程中,內部參數保持不變,其主要原因是超級電容輸出電壓和工作電流均未發生明顯變化．超級電容內部參數變化主要發生在靜置轉變為充電工況,或者由靜置轉化為放電工況．

在實際儲能與供電應用時,超級電容將處于頻繁的充放電過程中．為驗證超級電容動態參數等效電路和實時辨識方法在頻繁充放電過程中的有效性,對超級電容在如圖7a所示的工況進行實驗測試和仿真,相應的參數辨識結果如圖7b所示．超級電容在充電完畢后,自放電效應明顯,如果沒有靜置階段,部分自放電效應會疊加合并到放電階段,導致第一級等效內阻增大,因此實時放電過程辨識得到的等效內阻R1大于充電過程辨識得到的等效內阻R1．

圖7 頻繁充放電工況下的實時參數辨識Fig.7 Real-time parameter identification under frequent charging/discharging operating conditions

相應地,第一級和第二級的等效電容和電阻也會發生一定的波動．其中,等效內阻的動態變化波動在5%左右,等效電容的動態變化波動在2%左右．圖6和圖7參數辨識結果表明:不同充放電工況或靜置工況會顯著影響超級電容的內部參數．此外,所辨識的C1和C2之和接近超級電容的額定容量,驗證了超級電容容量參數辨識的有效性和準確性．

將上述實時辨識參數嵌入到超級電容的仿真模型,進行仿真,并將動態參數二階梯形等效電路模型的仿真結果與實驗結果、傳統靜態參數三分支等效電路模型和靜態參數二階梯形等效電路模型的仿真結果進行對比分析,如圖8所示．可以看出,在兩種工況下,動態參數二階梯形等效電路模型的仿真輸出電壓可以很好地跟蹤超級電容的實驗測試電壓,僅在充放電工況向靜置工況突變時出現微小偏差．以超級電容的額定電壓值為基準,三種等效電路模型的誤差對比如表3所示:在兩種工況下,所提出的動態參數二階梯形等效電路模型的誤差分別低于0.37%和0.34%．

表3 三種等效電路模型的誤差對比

圖8 兩種工況的仿真和實驗結果比較Fig.8 Comparison of simulation and experimental results under two operating conditions

傳統靜態參數三分支等效電路模型和靜態參數二階梯形等效電路模型的仿真結果在初始階段能較好地跟蹤實驗測試結果．但是,隨著時間的推移,特別是在放電工況結束后,誤差尤為明顯．并且,由于參數是靜態的,會出現誤差累積現象．在連續頻繁的充放電工況下,誤差逐漸增大．在兩種工況靜置階段末期,傳統靜態參數三分支等效電路模型誤差將分別超過2.45%和4.08%,而靜態參數二階梯形等效電路模型的誤差將更大,達到3.93%和6.67%．因此,相比于傳統靜態參數的三分支等效電路模型或二階梯形等效電路模型,所提出的動態參數二階梯形等效電路模型精度分別提高2.08和3.56個百分點．

4 結論

針對超級電容傳統的靜態參數等效電路模型誤差大、不能有效反映其動態工作特性等問題,在超級電容傳統靜態參數二階梯形等效電路模型的基礎上,采用動態充放電內阻和電容反映超級電容的動態充放電工作特性,并保留一個靜態自放電內阻反映超級電容的自放電工作特性．利用遞推最小二乘法進行離線參數辨識,獲得動態參數二階梯形等效電路模型的初值．進一步,考慮超級電容充放電內阻和電容隨充放電工況交替變化而動態變化情況,引入帶遺忘因子的遞推最小二乘法對動態參數進行實時辨識,提高超級電容模型的精度．

搭建了超級電容仿真模型和實驗測試平臺,選用Maxwell 350 F超級電容進行仿真和實驗驗證．在兩種不同工況下,參數辨識結果驗證了超級電容等效內阻和電容隨充放電工況和靜置工況變化而動態變化的工作特性．結果表明,動態參數二階梯形等效電路模型的仿真輸出電壓可以有效跟隨超級電容實測電壓,與傳統靜態參數三分支等效電路模型和靜態參數二階梯形等效電路模型相比,模型的精度分別提高2.08和3.56個百分點．

所提出的超級電容動態參數二階梯形等效電路模型及實時辨識方法簡單可靠,參數估計準確,模型精度高,對超級電容實時輸出電壓追蹤和內部狀態評估十分實用．此外,在超級電容的長期充放電過程中,其內部容量、最大充放電功率會隨使用周期增加和工作環境變化發生衰減情況．因此,超級電容可用能量狀態、功率狀態和健康狀態評估將是未來的重點研究內容．