線性代數教學中若干問題反例的構造和運用

艾小川 翟亞利 紀祥鯤

【摘要】線性代數是一門內容抽象、理論性強的課程，為了加快加深學生對線性代數中相關概念、定理的理解，適當地運用反例進行教學是一種非常有效的方法.文章從反例的含義、作用、構造等方面進行了研究，給出線性代數中的一些具體反例并進行了延伸和拓展，旨在增強學生對概念理解的準確性、深刻性、靈活性和批判性，并且能夠培養學生的探究精神，提高學生的抽象思維能力和創新意識.

【關鍵詞】線性代數；反例；矩陣；秩；線性方程組

【基金項目】海軍教育理論課題（HJ20206313606）；海軍工程大學教學成果立項培育項目（HJGC20219102）

引 言

線性代數是我國高校理工農、管理、經濟等專業的一門公共基礎課程，具有概念多、理論性強、內容抽象等特點，加上與實際生活聯系少，學生在初學時具有一定的難度，極富挑戰性.因此，在線性代數的學習過程中，如何更好地理解和掌握相關的概念和定理，如何正確地證明命題結論，對學生來說是一個很大的難點.著名的科學家、哲學家波普爾（KalRaimund Popper）曾說，知識成長的邏輯是“在猜想和反駁中成長著的”.對一個錯誤知識的反駁不僅是可能的，而且有一個十分有效的標準方法———反例，反例方法是證偽、糾錯和發現正確認識的極富說服力的思想方法.反例不僅是對命題非常簡明的否定，而且是對否命題非常有說服力的肯定.它往往能起到正向證明難以發揮的作用，對解決某些問題有很大的幫助.通過構造和展示反例，學生可以從不同角度闡明概念、定理等內容的本質，能夠加深對這些內容的理解和把握，從而避免出現一些似是而非的錯誤.

習近平總書記在全國高校思想政治工作會議上強調：要用好課堂教學這個主渠道，各類課程都要與思想政治理論課同向同行，形成協同效應.現在思政元素已經滲透到各門課程的教學中，努力踐行“立德樹人”的宗旨.在《線性代數》課程的內容中，反例蘊含著豐富的思政元素、哲學思想，因此深入挖掘反例中蘊含的思政元素既能提升學生對基本概念和基本定理的掌握，又能增強學生的數學素養和思想素養.

本文針對線性代數中矩陣的運算、向量組的線性相關性、矩陣與向量組的秩、線性方程理論等相關命題給出具體反例，以促進學生對這些知識的理解，從而更好地掌握相關理論知識.

一、反例及其作用

一個正確的數學命題需要嚴密的證明，而錯誤的命題則只需要依靠一個具體的反例即可，舉出一個例子，使之具備命題的條件，卻不具有命題的結論，這種例子稱為反例.反例具有直觀、明顯、說服力強等突出特點.

初學者在學習或使用反例的過程中，往往會忽視其中一個看起來不重要的條件，最終導致結論的錯誤，所以討論命題中的反例，有利于學生對命題進行更深層的理解和掌握，更深刻地領悟命題中的各個條件不是可有可無的.

在《線性代數》中，教師要善于通過反例進行教學，不僅可以幫助學生厘清對某些概念和性質，消除對一些知識的認知偏差和習慣性錯誤思維，構建準確完整的知識體系，還能提高學生的思維能力和科學素養.

二、反例選取的標準

反例的選取一般有這樣兩條標準：一是要簡單明了，使人印象深刻，便于記憶；二是一個例子可以用來說明多個問題.人們對事物的認識過程，通常是一個從具體到抽象，從視覺直覺到理性思考的過程.如果學生記住一個反例，他們往往就能記住與它相關的屬性，這會使證明更容易獲得事半功倍的效果.這兩個反例的選擇標準可以幫助學生“借助具體認識抽象”，從而更好地理解抽象的內容.

反例的構造，其實并不是件很容易的事情，有時甚至比給出證明還要困難.本文根據教學實踐積累列舉一些線性代數中的反例.

三、線性代數教學反例

知識點1 矩陣的乘法滿足交換律嗎？

矩陣是線性代數中的一個非常重要的概念，在引入矩陣的概念之后，就要介紹矩陣的各類運算，如加法、減法、數乘、乘法等.矩陣的加法與減法歸結為對應元素的相加和相減，數與矩陣相乘歸結為數與矩陣的每一個元素相乘，這些都是學生易于接受和理解的知識點.

矩陣的乘法是新引入的概念，其實質為左邊矩陣的行乘以右邊矩陣的列，而并非兩個矩陣對應元素的乘積，因此矩陣的乘法不同于數的乘法.數的乘法滿足交換律、結合律與消去律，而矩陣的乘法滿足結合律（空間位置不變，時間次序可變），但并不滿足交換律與消去律，這兩點是學生容易出錯的地方.如果學生不理解新知識的本質，就會很自然地認為矩陣乘法和數的乘法一樣，有可能會認為矩陣乘法也滿足交換律和消去律，從而產生不準確的認知.對于此類問題，最好的方法就是給出具體的反例.

（1）若m≠n，則AB為m×n矩陣，而B與A不能相乘，顯然不滿足交換律.

（2）若m=n≠s，則AB為m階方陣，BA為s階方陣，AB與BA不是同型矩陣，不可能相等，不滿足交換律.

知識點2 矩陣乘法滿足消去律嗎？

即已知AB=O，A≠O，能否推出B=O.

反例展示

設

容易計算得AB=O.

實際上，根據知識點1中的反例同樣可以說明矩陣乘法不滿足消去律.

因此矩陣乘法不滿足消去律，其另一種等價形式為：

已知AX=AY，即使A≠O，也無法推出X=Y.

說明：AX=AY？A（X-Y）=O，即使A≠O，也不能推出X-Y=O，即無法證明X=Y.

知識延伸

（1）若A2=O，無法推出A=O.

（2）若A2=A，無法推出A=E或A=O.

那么在什么條件下結論成立呢？

注：（1）若已知AB=O，A為可逆矩陣，則可推出B=O.

（2）若已知AX=AY，A為可逆矩陣，則推出X=Y.

由此教師可提醒學生在數的乘法運算中形成的可交換與可消去的計算習慣必須改變，否則將引起很多錯誤.

向量組的線性相關性、線性無關性是《線性代數》的重點和難點內容.學生對于線性相關性的定義理解總是存在著很多的誤區.

知識點4 等價矩陣有相等的秩，反之若兩個矩陣的秩相等，是否等價呢？

分析：兩個矩陣不同型，其秩可能相等，但不可能等價.

知識點5 等價的向量組有相等的秩，若兩個向量組的秩相等，是否等價呢？

分析：若兩個向量組所含向量的維數不同，即使秩相等，也不等價.

那么若兩個向量組所含向量維數相同，且秩相等，一定等價嗎？

知識點6 矩陣相似必等價，等價一定相似嗎？

概念辨析 矩陣等價指的是，矩陣A能經過初等變換變成B，

即A≈B？？可逆矩陣P，Q，使得PAQ=B.

實際上矩陣的等價并不一定限制為方陣.而矩陣的相似是針對方陣來講的.

矩陣相似指的是，在A，B為同階方陣的前提下，A～B？？可逆矩陣P使得P-1AP=B.

實際上，由定義可以看出，相似必等價，而等價不一定相似，其原因為：

（1）等價的兩個矩陣不一定是方陣，相似的前提滿足不了.

（2）即使等價的矩陣是方陣，也不一定相似，因為在等價的充要條件PAQ=B中，P和Q并不一定互為逆矩陣.

結 語

反例思維是深入思考的必經之路，教師在《線性代數》的教學中，要特別注意積累合適的反例，正確運用反例，帶領學生突破某一數學方法和手段的局限性.反例教學可以培養學生的數學創造能力和創新思維能力，加深學生對基本概念的理解，以及對數學知識的精準分析，加強學生思維的縝密性和研判能力，培養學生的探究能力和思考能力，培養學生思維的靈活性和發散性，提高教學效果，提高學生數學學習能力.教師在《線性代數》的教學實踐中運用好反例構造的思維方法，能夠充分激發學生的創新意識.

【參考文獻】

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