基于單位根檢驗和ARMA 模型的橋墩位移穩定性時間序列分析

陳 剛，郭 鵬，皮 鶴，孫 聰，李春光

1. 同濟匯智（北京）科技發展有限公司，北京 102299；

2. 武漢市政建設集團有限公司，湖北 武漢 430023；

3. 廣西葛洲壩田西高速公路有限公司，廣西 百色 533500；

4. 武漢生態環境設計研究院有限公司，湖北 武漢 430050；

5. 中國科學院武漢巖土力學研究所，湖北 武漢 430071

橋梁運營期間不僅受到車輛荷載的反復作用，還受到自然環境的影響、侵蝕，以及地質條件變化與使用環境的作用，甚至會遭受自然災害、撞擊等偶發事件，使得橋梁健康狀況發生變化。橋梁墩臺變位，不僅使其幾何形態發生改變，變位過大可能導致內部應力發生改變，嚴重的可能發生主梁、墩身開裂甚至破壞，為了保障橋梁運營期內的結構安全，必須對橋梁進行健康監測。

全球定位系統（global positioning system，GPS）動態監測技術可以精確獲取監測點的三維坐標，具有采樣率高、精度高、設站自由、全自動、全天連續觀測的優點，廣泛應用于橋梁形變動態監測中。

在獲取監測數據的基礎上，對監測信息進行處理和分析，成為橋梁狀態評估和分析的關鍵［1-3］。時間序列方法處理的對象是具有時間刻度的有序數據，對時序內部各元素之間的關系進行統計分析，是數據處理中廣泛采用的重要方法。將時間序列分析用于處理監測數據，大多將側重點放在擬合時間序列模型進行預測。唐浩等［4］采用自回歸移動平均（auto-regressive moving average，ARMA）模型技術對橋梁歷史靜態監測量進行分析，試驗結果顯示出較高的預測精度。趙煒等［5］采用季節綜合自回歸移動平均（autoregressive integrated moving average，ARIMA）模型模擬橋梁檢測序列的變化趨勢，得到較好的擬合效果。文獻［6-8］通過國內外各類規范對橋墩位移的限值規定的比較分析，對橋梁墩頂位移限值進行了探討。韓曉冬等［9］采用ARMA 模型對基坑沉降監測點數據進行了分析，驗證了該模型對變形監測數據處理與預報可行性。為了克服單一時間序列模型ARMA 的不足，李修云等［10］提出時間序列模型和灰色關聯模型組合時序預測模型（auto regression and moving average-grey model，ARMA-GM），以描述監測數據序列前后之間的數學關系，獲得比單一模型更高的預測精度。陸萍等［11］對江津長江大橋撓度監測數據建立時間序列預測模型進行短期預測，但他們認為長期預測精度不如短期預測精度高。宋福春等［12］通過對立交橋梁位移、應變實時健康監測數據進行ARMA 時間序列預測模型進行分析，用于發現橋梁在使用過程中所存在的隱患。余加學等［13］采用ARMA模型對橋梁索塔形變監測中的GPS 坐標序列進行預測研究，預測值曲線總體上與實測值保持一致，GPS 的使用保證了預測的全天候、實時性。

橋梁在受到短期偶發因素（如撞擊、側向填土、地質條件變化等）影響導致橋墩發生位移，影響消除或采取工程措施后，如何評估其位移是否收斂和穩定是橋梁健康評估的重要內容。本文利用時間序列方法對橋墩位移穩定性進行分析，將橋墩GPS 監測時間序列數據進行單位根檢驗，驗證是否為平穩序列，然后采用ARMA 模型對該序列進行預測，以進一步確定橋墩位移的長期穩定性，流程如下。

1 時間序列模型

1.1 平穩時間序列

若時間序列yt滿足［14］：

（1）對任意時間t，其均值E(xt) =μ為與時間t無關的常數；

（2）對任意時間t和s，其自相關系數只與時間間隔t-s相關，而與t和s的起始點無關，即方差Var(xt) =s2是與時間t無關的常數，協方差Cov(xt,xt+k) =gk是只與時期間隔k有關，與時間t無關的常數。

則該時間序列就是平穩時間序列，即平穩時間序列的各觀測值圍繞其均值上下波動，且該均值和方差與時間t無關。時間序列平穩性刻畫的是時間序列的統計性質關于時間平移的不變性。

1.2 單位根檢驗

序列自相關可以粗略判斷時間序列的平穩性，單位根檢驗是檢驗時間序列平穩性的典型方法。

1.2.1 Dickey-Fuller（DF）檢驗 Dickey 和Fuller提出單位根檢驗方法，考慮了如下的AR（1）過程：

式（1）中：εt為白噪聲，若參數|ρ|< 1，則序列是平穩的，而當|ρ|> 1 時，序列是爆炸性的，無實際意義，所以只需檢驗 |ρ|是否嚴格小于1。

根據yt的性質不同，DF 檢驗還允許序列yt有包含常數項和線性時間趨勢項的形式：

式（2）~式（3）中：c為常數項，ρ為滯后項系數，δ為時間趨勢項系數。一般地，如果序列yt在0 均值上下波動，則應選擇不包含常數項和時間趨勢項的檢驗方法，如果序列具有非0 均值，但沒有時間趨勢，可選擇式（2），若序列隨時間變化有上升或下降趨勢，應選擇式（3）。

1.2.2 Augmented Dickey-Fuller（ADF）檢驗 在DF檢驗中，常常因為序列存在高階滯后相關而破壞隨機擾動項εt是白噪聲的假設，ADF 檢驗對此進行了改進，假定序列yt服從AR（p）過程，檢驗方程為：

式（4）中：γ=p-1，ξi為待定系數。

ADF 檢驗假設與DF 檢驗相同，ADF 檢驗也可以包含常數項和線性時間趨勢項。

1.3 ARMA 模型

ARMA［15］模型包含自回歸（autoregressive，AR）模型和移動平均（moving average，MA）模型，是時間序列分析的典型模型。

若時間序列yt是平穩時間序列，且其當前值為前期值及隨機誤差項的線性函數：

則稱該時間序列yt是自回歸移動平均序列，（p，q）階自回歸移動平均模型記為ARMA（p，q）。實參數?1,?2,...,?p稱為自回歸系數，θ1,θ2,...,θq稱為移動平均系數。

引入滯后算子B，式（5）可簡寫為：

ARMA（p，q）過程的平穩條件是滯后多項式?(B)的根均在單位圓外（倒數根在單位圓內），可逆條件是θ(B)的根均在單位圓外。

平穩解的均值為：

時間序列可以通過自相關函數和偏自相關函數的截尾性和拖尾性初步判定ARMA 模型的階數。選用ARMA 模型的前提條件是其自相關函數和偏自相關函數都不截尾，但這僅能限定p、q不為0，p、q的具體取值只能從低階到高階逐階嘗試。

由于不同的時間序列模型之間其相關函數具有不同的截尾性質，可據此選擇合適的模型，若時間序列自相關函數呈現拖尾性質，偏自相關函數呈現截尾性質，則可選擇AR 模型，若正好相反，則可選用MA 模型。

ARMA 模型通常采用赤池信息準則（Akaike information criterion，AIC）、施瓦茲信息準則（Schwarz information criterion，SC）、德賓-沃森（Durbin-Watson，DW）統計量等對模型進行整體評估。

2 工程應用

2.1 監測數據

大橋引橋因橋梁兩側堆土引起橋梁整體水平位移，為監測橋墩位移變化情況，在橋梁兩側橋墩頂部各安裝1 套GPS 監測設備，共布設3 對6 套設備，架設1 臺GNSS 信號接收基站，如圖1 所示。橋墩位移監測數據為5 min 記錄1 次，經基站自動上傳至服務器保存。

圖1 數據監測：（a）測點平面布置，（b）GPS 位移監測設備，（c）信號接收基站Fig.1 Monitoring：（a）GPS location，（b）GPS displacement monitoring equipment，（c）signal receiving base station

GPS 記錄數據為水平位移：X偏移為南北方向（向北為+，向南為-），Y偏移為東西方向（向東為+，向北為-），H偏移為錘子垂直方向（向上為+，向下為-），單位均為mm。

橋墩位移監測5 min 記錄1 次，記錄時間為2020 年4-10 月。由于監測周期較長，關注的是橋墩長期穩定性，5 min 的數據時間窗太短，周和月度數據量偏少，因此采用以天為單位的監測數據進行時間序列建模。

將橋墩水平和垂直位移單獨分析，水平位移經坐標變換換算成順橋方向和橫向2 個方向。由于該橋墩垂直方向位移較小，水平方向位移主要是順橋向位移，建模方法相同，以3#測點順橋向水平位移為對象進行分析。

2.2 數據統計特征

水平位移監測數據幅度最大發生在2020 年4月28 日，為13.58 mm（但未超過，其中L是橋梁跨度，滿足規范要求，還是安全的），之后隨時間振蕩衰減，表現出一定波動性，如圖2 所示。由圖3 可知，位移數據分布偏度為正，峰度接近正態分布，水平位移分布接近白噪聲。

圖2 橋墩水平位移時間序列Fig.2 Time series of horizontal displacement of piers

圖3 橋墩水平位移分布圖Fig.3 Distribution diagram of horizontal displacement of piers

2.3 單位根檢驗

時間序列均值不為0，且呈現振蕩衰減特征，對時間序列進行包含常數項的ADF 檢驗。由表1可知，ADF 統計量顯著小于3 個臨界標準，序列不存在單位根，即序列是平穩的。

表1 ADF 單位根檢驗Tab.1 Unit root test by ADF

2.4 ARMA 建模

計算時間序列滯后60 d 相關關系。

序列自相關表現為1-7、10 階滯后相關，之后落入隨機區間；偏自相關表現為1、3、7 階顯著，之后落入隨機區間。圖4 展示了自相關和偏相關圖。ARMA 模型可以考慮p＝1~3、7，q＝1~7、10。經試算，ARMA（1，7）的AIC 和SIC 較小且更為簡潔，是較為合適的模型，其模型參數估計見表2。

表2 ARMA 模型參數估計Tab.2 Estimation of ARMA model parameter

圖4 （a）自相關圖，（b）偏自相關圖Fig.4 （a）Autocorrelation，（b）partial autocorrelation

yt= 5.966 674 + 0.381716yt-1+ 0.228 782εt-7+εt

ARMA 模型滯后多項式?(B)的倒數根在單位圓內，即序列是平穩的。

圖5 給出了橋墩水平位移實測數據與模型擬合結果。對殘差序列進行χ2檢驗，其自相關和偏自相關系數均落入隨機區間，表明為隨機序列。

圖5 橋墩水平位移實測數據與模型擬合結果Fig.5 Measured data of horizontal displacement of piers and fitting results of model

含常數項的ADF 單位根檢驗表明該監測數據序列沒有時間趨勢，不存在單位根，是平穩的，ARMA（1，7）模型能夠較好地刻畫該序列，且滯后多項式的倒數根在單位圓內，也表明序列是有常均值（5.966 67 mm）常方差的平穩序列，即水平位移幅度不會隨時間擴散。

利用該模型對此后3 個月的水平位移進行預測，并與實測數據進行比較，也表明趨于穩定，如圖6 所示。

圖6 橋墩水平位移預測效果Fig.6 Forecast effects of horizontal displacement of piers

3 結 論

橋梁運營期間健康狀況的監測和評估是保障橋梁運營期內結構安全的重要手段。通過將時間序列方法應用于橋墩GPS 監測數據的處理，對橋墩位移的穩定性進行分析。

工程實例表明，單位根檢驗表明序列沒有時間趨勢，不存在單位根，數據序列為平穩序列，具有常均值和方差；ARMA 模型能夠較好地刻畫監測數據，且具有較高的可靠性和可行性；根據平穩時間序列模型的特征，可以計算監測數據序列的均值和方差。

時間序列方法可作為橋梁健康監測工程數據的處理、分析、預測的有效方法，為橋梁健康評估提供依據，以保證橋梁的安全運營。