具有傳質傳熱及擴散效應的雙氣泡的相互作用*

烏日樂格 那仁滿都拉

(內蒙古民族大學數理學院,通遼 028043)

1 引言

在聲空化研究中關于單氣泡的研究相對比較深入,許多研究者針對不同的側面問題進行了研究.如Hilgenfeldt 等[1]用流體力學方法研究氣泡形狀穩(wěn)定性和擴散穩(wěn)定性,給出了氣泡聲致發(fā)光相圖.Yasui[2]在考慮水蒸氣的非平衡蒸發(fā)和冷凝、氣泡內外熱傳導及泡內化學反應的基礎上,研究了單泡聲致發(fā)光機制.Toegel 和Lohse[3]在考慮水蒸氣相變、熱傳導及化學反應的情況下,計算出了單泡聲致發(fā)光相圖.Shen 等[4]研究了空化氣泡壁處液體溫度的空間分布等.但實際液體中的空化泡總是以泡群的形式存在[5?7],而空化雙泡顯然是研究空化泡群現象的一個重要的切入點,所以許多學者開展了對空化雙泡的研究.當液體中的氣泡受到聲場作用時,氣泡會發(fā)生體積脈動,氣泡之間會發(fā)生相互吸引或排斥作用,這與氣泡之間的次Bjerknes力有關.Mettin 等[8]首先給出次Bjerknes 力的計算表達式,并數值研究了強聲場作用下雙氣泡間的次Bjerknes 力的變化.Doinikov[9]提出一種能夠直接計算兩個相互作用的球形氣泡在強聲場中平移運動的模型,研究了兩個氣泡平移運動的規(guī)律.Sadighi-Bonabi 等[10]研究不同濃度硫酸溶液對雙泡相互作用力的影響,并認為隨著溶液黏度的增加次Bjerknes 力減小.Zhang 等[11]重點分析了雙頻聲激勵下兩個空化氣泡間相互作用的次Bjerknes力.Pandey[12]考慮雙泡間的強非線性耦合后對相互作用項進行高階修正,并通過研究指出高階修正項對近距離氣泡間的次Bjerknes 力有重要影響.Luo 和Niu[13]通過激光和水下低壓放電技術分別誘導兩個空化泡,并對不同時期誘導空泡坍塌時的噴射流和沖擊波進行實驗測量,揭示了雙泡坍塌形成的噴射流和沖擊波的一些規(guī)律.Zhang 等[14]數值研究了聲場中兩個空化氣泡的脈動和平移,并指出氣泡脈動使氣泡發(fā)生平移,不同的脈動導致不同的平移.李想等[15]在Rayleigh-Plesset 方程的基礎上,引入可壓縮流體次Bjerknes 輻射力,建立了考慮管道軸向氣泡分布的可壓縮雙氣泡耦合動力學模型,并分析了次Bjerkness 輻射力對雙氣泡的線性和非線性動力學特征的影響.Shen 等[16]研究氣泡間的相互作用對氣泡徑向脈動的影響,并給出氣泡間的相互作用不僅可以降低或抑制氣泡的膨脹比,還可以增大氣泡的膨脹比.Qin 等[17]利用一種包括徑向和平移運動的綜合模型,數值研究了黏彈性組織中兩個相互作用空化泡在不同驅動條件下的非線性動力學和聲輻射特性.Zhang 等[18]數值考察了強聲場中的大泡與小泡的平移運動和非球面振蕩對次Bjerknes 力的影響.王德鑫和那仁滿都拉[19]研究了不同泡半徑、不同泡間距、不同惰性氣體對雙泡聲空化特性的影響.王尋等[20]用數值方法研究了方波驅動下雙氣泡的動力學行為.以上研究都未涉及到同時考慮傳質傳熱及擴散效應的空化雙泡間相互作用的研究,但對于球形空化泡群的研究中分別涉及到了質量傳輸、熱量傳遞和化學反應等效應[21?23].

本文考慮空化雙泡的傳質傳熱及擴散效應,利用修正的Keller-Miksis 方程與Noble-Abel-Stiffend-Gas 狀態(tài)方程相結合的動力學模型,在不同半徑、不同驅動聲壓和不同驅動頻率情況下,研究聲空化氣泡的歸一化最大半徑和氣泡間的次Bjerknes 力的變化,并與Mettin 等[8]給出的結果進行比較分析.

2 考慮傳質傳熱及擴散效應的雙泡模型

Yasui[21]給出的修正的Keller-Miksis (KM)方程為

式中,小黑點表示對時間導數,Ri為第i個氣泡的瞬時半徑,為第i個氣泡的單位時間單位面積上的蒸發(fā)和冷凝速率,Cl,i為第i個氣泡壁處液體中的聲速,ρl,i(ρl,∞) 為第i個氣泡壁處液體(無窮遠處)密度,ρg,i為第i個氣泡內氣體密度,Pg,i為第i個氣 泡內 氣體 壓力,Ps,i=-Asin[2πf(t+Ri/Cl,i)]為作用于第i個氣泡的驅動聲壓,σ為表面張 力,μ為黏性系數,dij為兩氣泡間的間距,(1)式的最后一項是相互作用項.

氣泡內氣體及周圍液體的熱力學狀態(tài),采用Métayer 和Saurel[24]給出的Noble-Abel-Stiffened-Gas (NASG)狀態(tài)方程來描述:

式中,P為壓力;γ為熱容比;CV為定容熱容;T為溫度;b為分子共體積;B為壓力常數;v為比容,與密度的關系為v=1/ρ.根據聲速定義和狀態(tài)方程(3),第i個氣泡壁處液體中的聲速Cl,i可表示為

通過狀態(tài)方程(3),可得到第i個氣泡壁處液體密度為

第i個氣泡內氣體和水蒸氣的壓力為

式中,n=Ar,H2O 分別表示泡內氬氣和水蒸氣(本文假設泡內含有氬氣和水蒸氣),Nn,i為第i個氣泡內氣體分子數,NA是阿伏伽德羅常數,Mn,i為第i個氣泡內氣體摩爾質量,Tg,i為第i個氣泡內氣體溫度,ΔCn,i為第i個氣泡內氣體的定壓熱容和定容熱容之差,定壓熱容和定容熱容可用文獻[25]給出的表達式計算.bl和Bl分別為液體分子共體積和壓力常數,bg,n和Bg,n分別為氣體分子共體積和壓力常數.對于氬氣和水蒸氣,利用文獻[26,27]給出的公式,計算出不同溫度和壓力下的bg,Ar和值,并做擬合處理后得到如下表達式:

第i個空化氣泡內單位時間單位面積上的蒸發(fā)和冷凝速率,可由氣體動力學理論導出的Hertz-Knudsen 公式計算[28]:

式中,常數α=0.4,為分子平均速 度,為水蒸氣密度,飽和水蒸氣密度=0.0173 kg·m-3.因此,水蒸氣的蒸發(fā)和冷凝引起的分子數的變化可表示為

氣體從第i個氣泡內部擴散到周圍液體所引起的氣體分子數的變化,可由Epstein-Plesset 理論中所用的氣體擴散方程來表示[29]:

式中,DAr為氬氣的擴散系數,cs為氣體的平衡濃度,c∞為氣體的飽和濃度.

第i個氣泡內外的熱交換量由下式計算[28]:

式中,lth為熱邊界層厚度.χ為邊界層的熱擴散率,λ為混合氣體的熱導率.

由于氣泡的內能是溫度和體積的函數[29]

根據恒定體積下摩爾熱容的定義,下列關系成立:

對于 NASG 狀態(tài)方程來講,(14)式中的第二項變?yōu)?/p>

把方程(15)和(16)代入(14)式并進行積分,就可得到第i個氣泡內氣體溫度的計算公式:

其中,Ei為第i個氣泡內氣體內能,和CV,Ar(T)分別為水蒸氣和氬氣的定容摩爾熱容[25].因為泡內溫度的計算需要內能的表達式,根據熱力學第一定律,內能變化表示為

式中,等式右端第一項表示第i個氣泡內壓力做功所引起的能量變化;第二項表示第i個氣泡周圍液體的水分子蒸發(fā)成水蒸氣和氣泡內的水蒸氣分子凝結到液體中所攜帶的能量變化;第三項表示熱傳導引起的能量變化;第四項表示第i個氣泡內氣體分子擴散所引起的能量變化.

兩個球形空化氣泡之間的次Bjerknes 力為[8]

式中,〈·〉為時間平均值,和為氣泡1 和氣泡2的體積變化率.另外,為方便研究問題,定義了一個新的物理量,即次Bjerknes 力系數,表示為[8]

式中,fB的符號表明雙泡間是吸引還是排斥.當fB＞0 時,說明雙泡相互吸引;當fB＜0 時,說明雙泡相互排斥.

另外,為了與沒有傳質傳熱及擴散效應的雙空化氣泡間的相互作用比較,本文利用Mettin 等[8]給出的雙泡模型來計算沒有傳質傳熱及擴散效應的雙氣泡間相互作用的次Bjerknes 力.

3 數值模擬

本文選擇水為液體介質,氣泡內氣體為氬氣和水蒸氣.為了方便描述,下面用模型1 代表具有傳質傳熱及擴散效應的KM-NASG 雙泡模型,用模型2 代表Mettin 等[8]給出的沒有傳質傳熱及擴散效應的雙泡模型.主要對比分析兩種模型給出的空化氣泡的歸一化最大半徑以及氣泡間的次Bjerknes 力在一個聲周期內的變化情況.用兩種模型計算時所用的相關參數見表1 和表2,這些參數的選取可參考文獻[8,28,30].

表1 模型1 的相關物理參數Table 1.Related physical parameters of model 1.

表2 模型2 的相關物理參數Table 2.Related physical parameters of model 2.

3.1 總分子數的變化

為了解釋說明有傳質傳熱和擴散效應的雙氣泡間的相互作用與沒有傳質傳熱和擴散效應的雙氣泡間的相互作用的差別,首先需要計算氣泡內氣體總分子數NT隨氣泡半徑、驅動聲壓和驅動頻率的變化.由于空化氣泡內的氣體分子數量與蒸發(fā)和冷凝以及擴散等兩種效應有關,所以本文把兩種效應都考慮后的泡內含有的氣體分子數量稱為總分子數.另外,氣泡內氣體總分子數是隨著氣泡的膨脹、收縮崩潰與回彈階段而不斷變化[31],這里計算的是最大總分子數NT,max,即氣泡膨脹到最大半徑時氣泡內所含有的總分子數.

圖1 空化氣泡內氣體最大總分子數 的變化 (a)當 R20=5 μm,A=1.32P0,f0=20 kHz 時,NT,max 隨氣泡1 初始半徑的變化;(b)當 R10=R20=5 μm,f0=20 kHz 時, 隨驅動聲壓的變化;(c)當 R10=R20=5 μm,A=1.32P0時,隨驅動頻率的變化Fig.1.Change of the maximum total molecular number of gas in cavitation bubble: (a) changes with the initial radius of bubble 1 at R20=5 μm,A=1.32P0,f0=20 kHz ;(b) changes with driving sound pressure at R10=R20=5 μm,f0=20 kHz ;(c) NT,max changes with driving frequency at R10=R20=5 μm,A=1.32P0.

3.2 初始半徑對次Bjerknes 力的影響

圖2 是驅動聲壓幅值A=1.32P0,驅動頻率f0=20 kHz時,在氣泡2 的初始半徑恒定,氣泡1 的初始半徑變化的情況下,用兩種模型繪制的氣泡歸一化最大半徑和次Bjerknes 力系數的變化.從圖2(a)可以看出,在R20(=5 μm)恒定時,隨著R10的增大,兩種模型給出的氣泡歸一化最大半徑的變化趨勢是一致的.比較發(fā)現,模型1 給出的氣泡歸一化最大半徑始終大于模型2 給出的氣泡歸一化最大半徑.這是因為模型1 考慮了氣泡的傳質傳熱和擴散效應,所以當R10增大時,氣泡內的最大總分子數會明顯增大(圖1(a)),也就是氣泡內氣體含量增多,導致模型1 給出的氣泡歸一化最大半徑較大.從圖2(b)可以看出,隨著R10的增大,兩種模型給出的次Bjerknes 力系數逐漸增大,顯然模型1 給出的次Bjerknes 力系數大于模型2 給出的次Bjerknes 力系數,且差別逐漸增大.這主要是因為隨著R10的增大,模型1 給出的氣泡歸一化最大半徑始終大于模型2 給出的歸一化最大半徑(圖2(a)).由于Bjerknes 力特別敏感依賴于空化氣泡半徑及其變化率[8],所以模型1 給出的次Bjerknes 力系數大于模型2 給出的值.由圖2(b)插圖可以看出,在到Blake 空化閾值半徑之前fB小于0,表明氣泡間次Bjerknes 力為斥力;到Blake 空化閾值半徑之后fB迅速增大為大于0,表明氣泡間次Bjerknes 力變?yōu)橐?同時也可以看出,模型1 給出的次Bjerknes 力由斥力變?yōu)橐Φ倪M程提前了一些.

圖2 空化氣泡歸一化最大半徑和次Bjerknes 力系數隨氣泡1 初始半徑的變化 (a)歸一化最大半徑;(b)次Bjerknes 力系數Fig.2.Maximum normalized radius of cavitation the bubbles and the secondary Bjerknes force coefficient change with the initial radius of bubble 1: (a) Maximum normalized radius;(b) the secondary Bjerknes force coefficient.

3.3 驅動聲壓對次Bjerknes 力的影響

圖3 是雙泡初始半徑R10=R20=5 μm,驅動頻率f0=20 kHz 時,繪制的氣泡歸一化最大半徑和次Bjerknes 力系數隨驅動聲壓幅值的變化圖.從圖3(a)可以看出,隨著驅動聲壓幅值的增大,兩種模型給出的氣泡歸一化最大半徑呈現逐漸增大的趨勢.比較發(fā)現,模型1 給出的氣泡歸一化最大半徑大于模型2 給出的值.這是因為模型1 考慮了氣泡的傳質傳熱和擴散效應,所以當驅動聲壓幅值增大時,氣泡內的最大總分子數會增多(圖1(b)),也就是氣泡內氣體含量增多,導致模型1 給出的氣泡歸一化最大半徑較大.從圖3(b)可以看出,隨著驅動聲壓幅值的增大,兩種模型給出的次Bjerknes力系數逐漸增大,顯然模型1 給出的次Bjerknes力系數大于模型2 給出的值,且差別逐漸增大.這是因為隨著驅動聲壓幅值的增大,模型1 給出的氣泡歸一化最大半徑逐漸增大且始終大于模型2 給出的值(圖3(a)).由于Bjerknes 力特別敏感依賴于空化氣泡半徑及其變化率,所以模型1 給出的次Bjerknes 力系數大于模型2 給出的力系數.總體上,隨著驅動聲壓幅值的增大,模型1 給出的氣泡歸一化最大半徑和次Bjerknes 力系數大于模型2 給出的相應值.

圖3 空化氣泡歸一化最大半徑和次Bjerknes 力系數隨驅動聲壓的變化 (a)歸一化最大半徑;(b)次Bjerknes 力系數Fig.3.Maximum normalized radius of cavitation the bubbles and the secondary Bjerknes force coefficient change with driving sound pressure: (a) Maximum normalized radius;(b) the secondary Bjerknes force coefficient.

3.4 驅動頻率對次Bjerknes 力的影響

圖4 給出的是雙泡初始半徑為R10=R20=5 μm,驅動聲壓幅值為A=1.32P0時,用兩種模型繪制的氣泡歸一化最大半徑和次Bjerknes 力系數隨驅動頻率的變化圖.從圖4(a)可以看出,隨著驅動頻率的增大,兩種模型給出的氣泡歸一化最大半徑逐漸減小.比較可看到,模型1 給出的氣泡歸一化最大半徑大于模型2 給出的值.其原因是模型1 考慮了氣泡的傳質傳熱和擴散效應,所以當驅動頻率增大時,雖然氣泡內的氣體最大總分子數逐漸減少,但始終大于模型2 給出的值(圖1(c)),所以模型1 給出的氣泡歸一化最大半徑較大.從圖4(b)可以看出,隨著驅動頻率的增大,兩種模型給出的次Bjerknes 力系數也逐漸減小.相比可見,模型1 給出的次Bjerknes 力系數大于模型2 給出的力系數.其原因主要還是模型1 給出的氣泡最大半徑及半徑的變化率始終大于模型2 給出的相應值.總體上,隨著驅動頻率的增大,模型1 給出的次Bjerknes 力系數始終大于模型2 給出的次Bjerknes力系數.

圖4 空化氣泡歸一化最大半徑和次Bjerknes 力系數隨驅動頻率的變化 (a) 歸一化最大半徑;(b) 次Bjerknes 力系數Fig.4.Maximum normalized radius of cavitation the bubbles and the secondary Bjerknes force coefficient change with driving frequency: (a) Maximum normalized radius;(b) the secondary Bjerknes force coefficient.

4 結論

本文利用KM-NASG 模型,研究了具有傳質傳熱及擴散效應的聲空化雙泡間的相互作用,分別計算了氣泡歸一化最大半徑和氣泡間相互作用的次Bjerknes 力(系數),并與沒有傳質傳熱及擴散效應的雙泡系統中的氣泡歸一化最大半徑和次Bjerknes 力(系數)進行了比較.結果表明,相比于沒有傳質傳熱及擴散效應的雙泡系統,具有傳質傳熱及擴散效應的雙泡系統中的氣泡歸一化最大半徑和氣泡間相互作用的次Bjerknes 力都要大.隨著雙泡系統中某一氣泡的初始半徑的增大,次Bjerknes 力會增大,兩種情況下的次Bjerknes 力的差別會逐漸增大;隨著驅動聲壓的增大,次Bjerknes 力也會增大,兩種情況下的次Bjerknes力的差別也會逐漸增大;隨著驅動頻率的增大,次Bjerknes 力會減小,兩種情況下的次Bjerknes 力的差別也會逐漸減小.因此傳質傳熱和擴散效應對空化氣泡間相互作用的次Bjerknes 力有很明顯的影響,是不能忽略的重要因素.