關于天體橢圓運動的規律及其應用

鄭 金

(遼寧省凌源市職教中心)

在近年高考物理試卷中,多次出現有關天體運動的橢圓軌道問題.解答這類問題所應用的物理規律主要是開普勒定律.此外,若在題中給出引力勢能公式,則需綜合應用開普勒定律和機械能守恒定律.下面對開普勒定律和有關天體運動的機械能的某些特點進行深入分析.

1 有關天體橢圓運動的規律解讀

1.1 開普勒運動定律特點

開普勒第一定律也叫軌道定律,反映了行星運動軌道的形狀以及中心天體的位置.太陽位于橢圓軌跡的一個焦點,而不是橢圓的中心.

開普勒第二定律也叫面積定律,反映了行星運動速率與焦半徑的關系.由此可知,行星在近日點速度最大,在遠日點速度最小;在橢圓軌道上關于長軸的對稱點處的速率相等;從長軸的一個端點運動到另一個端點經歷的時間為半個周期,但從短軸的一個端點運動到另一個端點經歷的時間不是半個周期.

由橢圓的對稱性可知,在橢圓的兩個對稱頂點處的曲率半徑相同,設為ρ,在兩個頂點處分別應用牛頓第二定律有,聯立方程可得v1r1＝v2r2.

這表明,行星經過橢圓軌道兩個對稱頂點時的速率跟焦半徑成反比.從推導過程可知,速率關系方程只適用于橢圓的兩個頂點.

開普勒第三定律也叫周期定律,反映了橢圓運動周期跟半長軸的關系.表達式中a表示軌道的半長軸,k只與中心天體的質量有關,對于不同的中心天體,k的數值是不同的.當應用開普勒第三定律表達式時,在常數k未知的情況下,無論求a或T,都需選擇兩個環繞天體,以便列出兩個方程.

另一方面,由開普勒第三定律可知,對于同一中心天體,行星環繞運動的周期只與軌道的半長軸有關,而與離心率無關,即與橢圓的“胖瘦”無關,因此,橢圓運動的周期等于以橢圓半長軸為半徑的圓周運動的周期,由此可根據萬有引力提供向心力列方程.具體而言,對于質量為m的天體繞質量為M的天體做橢圓運動,半長軸為a,若求橢圓運動的周期,則可對以a為半徑的圓周運動由牛頓第二定律列方程為,可得.由此可知與中心天體的質量成正比.這是把中心天體作為慣性系的條件下得到的結果.如果以中心天體與環繞天體的質心為參考系,可得.這表明,k的數值不僅與中心天體的質量有關,還與環繞天體的質量有關,只有在M?m的條件下,才有

1.2 天體系統的機械能特點

天體在引力場中具有引力勢能.當兩個天體之間的距離為無窮遠時,相互作用力幾乎為零,因此選擇無窮遠處為引力勢能的零點,則引力勢能表達式為.引力勢能之所以為負值,是因為當一個質點從無窮遠處向固定質點移動時,萬有引力做正功,使得引力勢能逐漸減少,必然小于零.

2 有關天體橢圓運動的規律應用

例1(2017年新課標Ⅱ卷)如圖1所示,海王星繞太陽沿橢圓軌道運動,P為近日點,Q為遠日點,M、N為軌道短軸的兩個端點,運行的周期為T0.若只考慮海王星和太陽之間的相互作用,則海王星在從P經過M、Q到N的運動過程中( ).

圖1

A.從P到M所用的時間等于

B.從Q到N階段,機械能逐漸變大

C.從P到Q階段,速率逐漸變小

D.從M到N階段,萬有引力先做負功后做正功

海王星在運動過程中只受太陽引力的作用,則機械能守恒,選項B錯誤.

根據開普勒第二定律可知,從P到Q階段,運動速率逐漸變小,選項C正確.

從M到N階段,受到的萬有引力先為阻力后為動力,則對它先做負功后做正功,選項D 正確.

例2質量為m的行星繞質量為M的太陽做橢圓運動,橢圓的半長軸為a,離心率為e,求行星從近日點開始運動四分之一橢圓經歷的時間.

畫出橢圓軌道如圖2所示,利用幾何關系可知行星從近日點開始運動四分之一橢圓的過程中焦半徑掃過的面積等于四分之一橢圓面積與直角三角形面積之差,即

圖2

根據開普勒第三定律可知,行星做橢圓運動的周期等于以半長軸為半徑做圓周運動的周期,則由牛頓第二定律和向心力公式有,可得橢圓運動的周期為,故所求運動時間為

例3(2021年全國乙卷)科學家對銀河系中心附近的恒星S2進行了多年的實際觀測,給出1994 年到2002年間S2的位置如圖3所示.科學家認為S2的運動軌跡是半長軸為1000 AU(太陽到地球的距離為1AU)的橢圓,銀河系中心可能存在超大質量黑洞.這項研究工作獲得了2020 年諾貝爾物理學獎.若認為S2所受的作用力主要為該大質量黑洞的引力,設太陽的質量為M,可以推斷出該黑洞質量約為( ).

圖3

A.4×104MB.4×106M

C.4×108MD.4×1010M

例4(2021年全國甲卷)2021年2月,執行我國火星探測任務的“天問一號”探測器在成功實施三次近火制動后,進入運行周期約為1.8×105s的橢圓形停泊軌道,軌道與火星表面的最近距離約為2.8×105m.已知火星半徑約為3.4×106m,火星表面處自由落體的加速度約為3.7m·s—2,則“天問一號”的停泊軌道與火星表面的最遠距離約為( ).

A.6×105m B.6×106m

C.6×107m D.6×108m

圖4

橢圓周期為T2＝1.8×105s,根據開普勒第三定律可知,可得

軌道與火星表面的最遠距離為d2＝2a—d1—2R.代入數據得d2≈6×107m,選項C正確.

方法2根據開普勒第三定律可知,環繞周期與離心率無關,只與半長軸有關,設“天問一號”的質量為m′,則環繞火星做橢圓運動的周期等于以半長軸為半徑做圓周運動的周期,萬有引力提供向心力,即,聯立這兩個方程可得.后續解法同方法1.

例5天體在引力場中具有的能叫作引力勢能,物理學中經常把無窮遠處定為引力勢能的零勢能點,引力勢能表達式為,其中G為引力常量,M為產生引力場物體(中心天體)的質量,m為研究對象的質量,r為兩者質心之間的距離.已知海王星繞太陽做橢圓運動,遠日點和近日點的距離分別為r1和r2.地球繞太陽做圓周運動,軌道半徑為R.如果知道引力常量G和地球公轉周期T,則下列各選項中的兩個物理量均可以推算出的是( ).

A.海王星質量和地球質量

B.太陽質量和海王星質量

C.地球質量和海王星近日點速度大小

D.太陽質量和海王星遠日點速度大小

設太陽質量為M,海王星質量為m,由機械能守恒定律有

設地球質量為m′,太陽引力提供向心力,即

對于天體的質量,由后面兩個方程可見,環繞天體的質量都約掉了,無法求出,排除選項A、B、C;由三個方程可求出太陽的質量、海王星位于遠日點和近日點的速度大小,只有選項D 正確.

例6如圖5所示,兩顆人造衛星A、B分別沿圓軌道和橢圓軌道繞地球運動.已知地球質量為M,兩顆衛星的質量都為m.衛星A的圓軌道半徑為R,在圓軌道上的速度大小為v0,加速度為a0,機械能總量為EA;衛星B的近地點與遠地點到地球中心的距離分別為r1和r2,在近地點與遠地點的速度大小分別為v1和v2,在近地點的加速度為a1,在橢圓軌道上運動的機械能總量為EB,則( ).

圖5

A.v1一定大于v2B.v0一定大于v2

C.a1一定大于a0D.EA一定大于EB

若以地心為圓心、以r2為半徑作圓,相切于橢圓的遠地點,則由變軌知識可知在圓軌道上運動的速度v3一定大于在橢圓軌道遠地點的速度v2;對于同心圓軌道,由于半徑R＜r2,則由“衛星越高運動越慢”可知v0一定大于v3,所以v0一定大于v2,故選項B正確.

對于衛星A,受到的萬有引力為;對于衛星B,在軌道近地點處受到的萬有引力為F1＝.已知R＜r1,則F0＞F1,由牛頓第二定律可知a0＞a1,選項C錯誤.

圓周運動軌道直徑為2R,橢圓運動軌道長軸為r1＋r2,由于r1＋r2＞2R,可知橢圓軌道對應系統的機械能大于圓周軌道對應系統的機械能,即EB＞EA,選項D 錯誤.

綜上所述,在解答有關天體做橢圓運動的問題時,應用的主要規律是開普勒定律以及萬有引力定律、牛頓第二定律、圓周運動知識、機械能守恒定律和與橢圓有關的數學知識.應用開普勒第一定律,要知道行星運動軌跡的形狀,知道中心天體的位置以及橢圓的焦點位于長軸上.應用開普勒第二定律,要知道面積速率是恒定的、橢圓的面積與周期之比等于面積速率以及哪半個橢圓軌道對應的時間為半個周期,還要能在具體的橢圓中畫出焦半徑掃過的區域并計算其面積,推導天體在橢圓兩個頂點處的速率與焦半徑的關系方程,知道橢圓運動速率最大值與最小值的位置在橢圓的頂點即長軸的兩端.應用開普勒第三定律,要能夠寫出表達式,知道開普勒常數跟中心天體的質量成正比,理解周期與離心率無關,有時只需寫出一般的表達式,有時則需根據表達式列出具體的方程,或者把橢圓運動轉化為圓周運動列出動力學方程.由開普勒第三定律可知,對于同一中心天體,橢圓運動的周期只與半長軸有關,若半長軸相同,則周期相同;若半長軸的長度越大,則周期越大.無論天體做勻速圓周運動還是做橢圓運動,系統的機械能都守恒,而且機械能總量只與橢圓的長軸有關,長軸的長度越大,系統的機械能就越大.

(完)