衛星變軌問題中的4種常見疑難雜癥

董廷燦 孫守闖

(1.安徽省明光中學 2.內蒙古扎魯特旗職業教育中心)

本文通過一道典型例題,結合機械能守恒定律、開普勒行星運動定律和橢圓軌道方程,對癥下藥,化解有關衛星在以地心為焦點或圓心的若干軌道上變軌過程中遇到的4種疑難雜癥.

1 原題呈現

例作為一種新型的多功能航天飛行器,航天飛機集火箭、衛星和飛機的技術特點于一身.假設一航天飛機在完成某次維修任務后,在P點從圓形軌道2進入橢圓軌道1,如圖1所示,已知P點距地面的高度為2R(R為地球半徑),Q點為軌道1上的近地點,地球表面重力加速度為g,地球質量為M,又知若物體在離星球無窮遠處時其引力勢能為零,則當物體與星球球心距離為r時,其引力勢能Ep＝(式中m為物體的質量,M為星球質量,G為引力常量),不計空氣阻力.則下列說法中正確的是( ).

圖1

A.航天飛機在軌道1和軌道2上運動時的機械能相等

B.航天飛機運行至Q點的速度小于在軌道2上運行至P點的速度

C.航天飛機運行至Q點的速度不會超過第一宇宙速度

D.航天飛機在軌道1上運行經過P點的加速度等于在軌道2上運行經過P點的加速度

2 問題解析

航天器從軌道2變軌到軌道1時必須在P點點火減速,航天器需要克服反沖力做功,故航天器在軌道1運行時的機械能小于在軌道2上運行時的機械能,選項A 錯誤;要比較Q點的速度與圓軌道2上P點速度的大小關系,需要作出與Q點相切的近地軌道如圖2中虛線所示.

圖2

3 疑難雜癥

3.1 對癥下藥,化解對第一宇宙速度是航天器最大運行速度的理解誤區

“環繞”釋義:沿由路程、行進和旅行所形成的圓圈運動.由此得出環繞速度即衛星圍繞地球做勻速圓周運動的速度;物理學家也用環繞速度特指第一宇宙速度,其值為v1＝7.9km·s—1.而運行速度是指衛星繞地球運動的速度,軌道半徑不同速度就不同,它可以是一組速度值,環繞速度隸屬于運行速度.運行速度一般小于等于最大環繞速度,當衛星沿著橢圓軌道運行時,運行速度可以超過第一宇宙速度,筆者將在3.2中作進一步的定量分析.

3.2 對癥下藥,化解對切點處加速度的理解誤區

由解析可知:衛星在圓軌道和橢圓軌道切點處運行時的引力加速度相等.既然衛星在P點所受萬有引力相等,那為什么衛星在軌道2上做勻速圓周運動,在軌道1上卻做近心運動? 是不是衛星經過兩個不同的軌道到達P點的向心加速度不同呢?

上面的問題涉及衛星的軌道半徑和曲率半徑的關系.對于軌道2(圓軌道),曲率半徑就是圓的半徑;設衛星經過P點時的向心加速度為a2n,由,得

對于一般曲線,在不同點的曲率半徑一般是不相同的,它表示曲線在該點的彎曲程度.對于橢圓軌道來說,設橢圓的半長軸為a,半短軸為b,橢圓的兩焦點F1、F2之間的距離為2c(a＞c),地球位于焦點F1處,如圖3所示.

圖3

綜上可知,橢圓軌道和圓軌道在切點P處的向心加速度也相等,并且等于衛星在該點的引力加速度,即a1＝a2＝a1n＝a2n.

圓軌道中引力加速度等于向心加速度不難理解,橢圓軌道在P點的引力加速度也等于向心加速度難道是數據的巧合嗎? 對此,筆者作進一步證明.

設在橢圓運動中,衛星在Q點(近地點)的軌道半徑為rQ、運行速度為vQ1;在P點(遠地點)的軌道半徑為rP、運行速度為vP1.由圖3 結合橢圓知識可得rP＝a＋c,rQ＝a—c;同理從P點到Q點,對衛星由機械能守恒定律和角動量守恒定律得

所以衛星在軌道1上P點處的向心加速度為

同時,衛星在軌道2上做勻速圓周運動時,在P點根據萬有引力定律提供向心力可得

由式⑥和式⑦可得:在切點P處衛星減速之前的向心加速度a2n和減速之后的向心加速度a1n是相等的,且都等于衛星在P點高度處的引力加速度(在Q點亦如此).

3.3 對癥下藥,化解對衛星做勻速圓周運動條件的理解誤區

橢圓軌道上的近(遠)地點的向心加速度與引力加速度相等,為什么衛星會做離心運動或近心運動呢? 如何理解衛星做勻速圓周運動的條件是萬有引力等于向心力呢?

關于衛星在橢圓軌道的近地點其萬有引力等于向心力,此后為什么會做離心運動,其他文獻已做詳細介紹,這里不再重復;下面僅就衛星在橢圓軌道的遠地點為什么會做近心運動來加以探究.

衛星在P點減速前后,圓周運動中心發生了變化;減速之后,根據式⑥可以發現軌道半徑由rP變為ρ.由于rP＞rQ,可得,即衛星在軌道2上的P點減速后,其旋轉中心由地球球心變為半徑更小的橢圓軌道在P點的曲率圓的圓心,如圖4中虛線所示.

圖4

我們可以設想衛星由P點沿曲率圓運動一小段圓弧到達A點,由于衛星所受的萬有引力仍指向地心,而地心和曲率圓圓心并不重合,萬有引力不再完全充當向心力,另一切向分力將使衛星加速,從而使其做近心運動,即橢圓運動.

綜上所述,衛星在橢圓軌道運行時,在近(遠)地點處萬有引力等于向心力、引力加速度等于向心加速度,離開近(遠)地點后,萬有引力便不再等于向心力,衛星將做離(近)心運動.這是因為質點做勻速圓周運動的條件是十分苛刻的:質點所受合力方向指向圓心,大小等于質點做圓周運動所需的向心力,并且這個供需關系要始終維持.反之,這種供需平衡一旦被打破,質點將做離(近)心運動.

3.4 對癥下藥,化解對衛星變軌到達預定點條件的理解誤區

欲使衛星從軌道2變軌后能夠運行到Q點,難道只能在P點啟動發動機提供阻力突然減速,保持速度方向不變使航天器沿著橢圓軌道1運行到Q點? 當然不是.除此之外,還可以通過保持速率不變改變速度方向,或者速度大小方向均改變的方式,筆者將作進一步討論.

衛星在橢圓軌道運行至短軸端點時,若保持速率不變而改變運行方向,可以使衛星變軌后做勻速圓周運動,且圓周半徑恰好等于橢圓的半長軸.由此,我們可以進一步得出若保持速率不變,衛星變軌后能夠運行到Q點,必須在軌道2上運行至與橢圓軌道3(橢圓軌道3的半長軸恰好等于圓軌道2的半徑)的交點A(B)時改變方向(如圖5),且該點為橢圓軌道3的短軸端點.假設衛星在軌道2上逆時針運行,設在B(A)點的速度方向逆時針轉過θ,仍以原題為例則a′＝BF1＝3R,c′＝OF1＝2R,由幾何關系可知sinθ＝.運行至Q點時的速度大小

圖5

與沿橢圓軌道1運行至Q點時的速度

相比變大了.假如錯過了A(B)點,衛星仍可以在任意點C(D或E)點通過同時改變速度大小和方向的方式進行變軌,然后沿橢圓軌道4(拋物線軌道5或雙曲線軌道6)運行至Q點;運行至Q點時的速度大小滿足

(完)