具有遺忘個體的社會網絡多維觀點動力學分析與應用

劉青松 李明鵬 柴 利

近年來,社會網絡分析成為網絡科學研究的熱點之一,吸引了來自控制科學、社會心理學和經濟學等多個領域研究者的廣泛關注[1-3].隨著對多智能體系統[4-6]和復雜網絡[7-10]研究的深入,觀點動力學中觀點的形成和演化引起了學者們極大的關注,產生了許多重要的結果,促進了觀點動力學相關方向的發展[11-12].觀點動力學的研究,不僅僅關注觀點的一致現象[1],而且還關注觀點的極化現象[13]和觀點的分簇現象[14].例如,采用仿真分析方法,Zhang 等[15]研究了連續時間有界置信模型的觀點演化問題;通過引入個人決策樹和社會網絡,Friedkin 等[12]分析了耦合矩陣對信念系統動力學的影響;Parsegov 等[16]在靜態社會網絡中,提出了一個新的觀點動力學模型,并分析了觀點的穩定性和收斂性.此外,Li 等[17]提出了一種新的快速、準確檢測集群結構的動態方法,并且研究了電子商務系統中的動態聚類問題.

一直以來,學者們希望提出的觀點動力學模型既簡單又便于嚴格的數學分析,與此同時,又可以捕捉到豐富的社會性質.故研究者從建立優異的數學模型模擬現實世界中個體的觀點演變這一根本問題出發,提出了許多經典的觀點動力學模型.例如,1974 年DeGroot[1]提出了基于智能體的觀點演化模型(DeGroot 模型).在DeGroot 模型中,個體通過吸收上一時刻鄰居的觀點形成當前時刻的觀點,使得社會群體觀點達成一致.然而,DeGroot 模型無法解釋在良好的通訊條件下,個體觀點極化的現象.為此,Friedkin 等[2]通過引入持續的外部輸入(外部環境因素),提出了Friedkin-Johnsen 模型.考慮個體間相互信任的情況,Hegselmann 和Krause提出一個新的具有有界置信區間的觀點動力學模型(Hegselmann-Krause (H-K)模型)[14],仿真結果表明在不同的置信區間內,觀點產生一致、極化和分簇的現象[14].后來,學者們對DeGroot 模型和HK 模型等進行改進并做了較為深入的研究[18-19].

從社會心理學的角度完善觀點動力學模型,以增強模型的泛化能力和應用范圍,是一個值得研究的問題.1951 年Asch[20]做了一個關于因從眾壓力而產生觀點扭曲的著名實驗.基于Asch 的實驗,許多學者建立了相關的觀點動力學模型,并給出了嚴格的數學分析.例如,Javarone[21]在全連通的網絡條件下,分析了從眾壓力對觀點演化的影響,Cheng等[22]考慮了同時具有有界置信和個體壓力的觀點動力學模型.最近,Shang[23]研究了表達觀點和私人觀點的一致性問題;Ye 等[24]在社交網絡是強連通的條件下,提出了具有表達觀點和私人觀點的社會網絡模型,并分析了其收斂性.基于合作與競爭的社交網絡,Lin 等[25]分析了觀點的傳播現象.Su 等[26]研究了噪聲導致H-K 觀點動力學模型擬一致性問題.

受Ye 等[24]研究強連通社會網絡中觀點演化問題的啟發,本文研究具有遺忘個體的擬強連通社會網絡中觀點演化問題,并分析了觀點動力學的收斂性和表達觀點與私人觀點之間的差異.本文主要貢獻如下:

1)提出了新的具有遺忘個體的多維觀點動力學模型,刻畫出了不同話題之間表達/私人觀點的相互影響 (詳見第3 節);

2)不同于Ye 等[24]所研究的社會網絡是強連通的和非周期的,且不含有遺忘個體,本文研究的社會網絡是擬強連通的且含有遺忘個體;

3)應用本文提出的多維觀點動力學模型,復現了“多元無知”這一經典的社會現象;

4)給出了從眾壓力的恢復力越小,表達觀點與私人觀點的差異越大這一重要結論,并且分析了邏輯矩陣對表達觀點和私人觀點演化的影響.

1 問題描述

本節首先介紹圖論中的一些基本概念[27].設G=(V,ε,W)是一個具有加權鄰接矩陣的有向圖,其中,V={1,2,···,n}和ε ?V×V分別表示節點的集合和邊的集合,非負矩陣W=[wij]∈Rn×n為加權鄰接矩陣.如果存在從節點j到節點i的邊,則wij＞0.如果節點i能夠到達任意剩下的節點,則節點i稱為根節點.如果所有節點都是根節點,則圖G(W)是強連通的.如果至少存在一個根節點,則圖G(W)是擬強連通的.Ni表示所有能夠影響個體i的個體集合.如果則稱矩陣W是行隨機的(行次隨機的).

定義 1[16]. 如果λi＜1,則稱個體i是固執的.如果個體既不是固執的也不受任何固執個體的影響,則稱為遺忘個體.

定義 2[16]. 對于矩陣A∈Rn×n,如果極限A*=limk→∞Ak存在,則稱矩陣A是正則的.如果A*=1nvT,v∈Rn,則正則行隨機矩陣A稱為完全正則的.

本文將研究具有遺忘個體的擬強連通社會網絡G(W)上觀點演化問題,具體的觀點動力學模型描述如下:

其中,yi(k)∈R和分別表示個體i在k時刻的私人觀點和表達觀點,i∈I[1,n]={1,2,···,n}.注意到,在Ye 等[24]的工作中,社會網絡G(W)是強連通的和非周期的,且不含有遺忘個體.與Friedkin-Johnsen 模型[16]的本質區別是在觀點動力學模型(1)中,每個個體都包含私人觀點和表達觀點.

在觀點動力學模型(1)中,λi∈[0,1]表示個體i的私人觀點受人際關系影響的敏感程度,?i∈[0,1]表示個體i對于從眾壓力的恢復程度.?i的值越大,則個體i所承受到的從眾壓力就越小,意味著個體i的表達觀點和私人觀點之間的差異越小.實際上,私人觀點是個體的主觀觀點,個體根據上一時刻私人觀點和上一時刻鄰居的表達觀點來更新當前時刻的私人觀點.然而,表達觀點會進行修正以符合鄰居表達觀點的加權平均.表示個體i分配給個體j的表達觀點權重且?i,wii≥0表示個體i對自身私人觀點的自信程度.設λi∈[0,1]表示個體i對人際交互影響(鄰居的表達觀點)的敏感程度,1-λi則反映對于本身初始觀點yi(0)的固執程度.類似于Friedkin-Johnsen 模型的“耦合關系”,令λi=1-wii.模型(1)第2 個子式的右側表示個體i對于“本地輿論”的從眾壓力.假設φij≥0,且.矩陣Ψ=[φij]∈Rn×n是行隨機的,“本地輿論”對于個體的影響可以通過圖G(Ψ)的連通性來描述.

從眾壓力的形成過程并非恒定不變的,根據通訊方式的不同,個體承受從眾壓力的情況就會不同.例如,在較小的會議室中,無論是否存在私下交流,個體都可了解其余所有個體的表達觀點.在這種情況下,所有個體的表達觀點所分配的影響權重是相同的,即

然而,如果個體很多,通訊條件實際上會影響個體i對“本地輿論”的認知.例如,個體在大規模的網絡空間里通過網絡交流時,由于距離和通訊方式的限制,個體實際上也許無法獲知部分個體的表達觀點.在這種情況下,個體只能通過給定的通訊方式獲取外部信息.換言之,個體通過人際影響網絡認知“本地輿論”,即

注意到模型(1)的第1 個子式可寫成

根據式(1)和式(2),可得

其中,矩陣Λ=diag{λ1,λ2,···,λn}和Φ=diag{?1,?2,···,?n}分別表示個體的固執程度和對從眾壓力的彈性恢復能力,人際網絡影響矩陣,為初始的表達觀點和私人觀點,y(1)=(ΛW+In-Λ)y(0).

本文將研究具有遺忘個體的擬強連通社會網絡G(W)中表達觀點和私人觀點的收斂問題 (詳見第2 節).另一方面,為了描述多個相互依賴話題上表達觀點和私人觀點演化問題,建立了多維的觀點動力學模型(詳見第3 節).本文主要的研究框架如圖1所示.

圖1 本文研究框架Fig.1 The research framework of this paper

2 收斂性分析

本節將分析擬強連通社會網絡G(W)中觀點動力學模型(1)的收斂性.為了便于分析,將固執個體和受固執個體影響的個體編號為1 到n1(n1≤n),遺忘個體的編號則為n1+1 到n.根據定義1,易知所有遺忘個體只受鄰居觀點的影響(λi=1,?i∈I[n1+1,n]).故可分解為

其中,m=n-n1為遺忘個體量,y(1)(k)∈Rn1和分別表示固執個體的私人觀點和表達觀點,分別表示遺忘個體的私人觀點和表達觀點.

不同于Ye 等[24]所提出的觀點動力學模型,本文推廣的觀點動力學模型包含遺忘個體.顯然,式(3)可改寫為

顯然,如果n1=n,則式(5)退化成Ye 等[24]所建立的觀點動力學模型.此外,如果Ψ=W,則基于遺忘個體私人觀點的觀點動力學模型類似于De-Groot 動力學模型[1].

假設 1.矩陣Ψ和W是行隨機的,網絡G(W11)是強連通且非周期的.此外,?i∈(0,1),?i∈I[1,n]和λi∈(0,1),?i∈I[1,n1].

引理 1[24]. 對于矩陣A∈Rn×n,如果A是行次隨機且不可約的,則譜半徑ρ(A)＜1.

引理 2.在假設1 滿足的條件下,如果社會網絡G(W)中不含有遺忘個體(即n1=n),則觀點動力學模型(1)是收斂的.

證明.根據Ye 等[24]的證明易知,如果社會網絡G(W)中不含有遺忘個體,則易得私人觀點yi(k)和表達觀點都是收斂的.

定理 1.在假設1 滿足的條件下,如果矩陣W22是正則的,則具有遺忘個體的社會網絡G(W)中表達觀點和私人觀點是收斂的.

證明.首先證明具有遺忘個體且Ψ=W的觀點動力學模型(1)的收斂性.

易知式(5)可寫成

注意到遺忘個體的觀點演化不受初始的表達觀點和私人觀點的影響,其演化過程類似于DeGroot 模型,即

注意到式(8)可寫成

根據式(9)和式(10),可得

另一方面,由Ψ=W,可得,Ψ22=W22=.進一步地,由式(11)可得

將式(12)代入式(8)中,可得

故遺忘個體的私人觀點y(2)(k)和表達觀點都收斂到.注意到

由式(14)和式(15)可知,如果ρ(B)＜1,則式(16)是收斂的.

下面只需證明ρ(B)＜1.設標記從1 到n1的節點屬于集合V1,剩下的節點都屬于集合V2.根據網絡G(W11)的連通性可知,網絡G(B11)和G(B22)都是強連通的.進一步地,由于矩陣B21和B12都存在大于0 的元素,故在節點集合V1和節點集合V2中,節點之間存在雙向路徑.因此,網絡G(B)是強連通的.

根據矩陣Λ11,,Φ11,(In1-Φ11),Ψ11都是非負矩陣,可得B≥0.由于W11和Ψ11都是行次隨機矩陣,故

是行次隨機矩陣,1n=[1,1,···,1]T.

根據引理1 可知,ρ(B)＜1.因此,

由Ravazzi 等[28]的命題1 可得

其中,Ω1=(I2n-P)-1.故具有遺忘個體且Ψ=的社會網絡中觀點是收斂的.

將定理1 與Ye 等[24]的結論比較,本文研究的社會網絡G(W)是擬強連通的且含有遺忘個體,意味著觀點動力學模型(1)更加符合現實情況且不需嚴格的通訊方式.

3 多維觀點動力學分析

為了描述具有遺忘個體的社會網絡中不同話題之間表達觀點和私人觀點的相互影響,建立如下多維觀點動力學模型:

其中,yi(k)∈Rd,,i∈I[1,n],邏輯矩陣C∈Rd用于描述不同話題之間表達觀點和私人觀點的相互關系.yip(k)＞0.5 表示個體i的私人觀點是支持話題p,yip(k)＜0.5 表示個體i的私人觀點是反對話題p,yip(k)=0.5 表示個體i的私人觀點是中立的,表示個體i的表達觀點是支持話題p,表示個體i的表達觀點是反對話題p,表示個體i的表達觀點是中立的.

注意到將觀點動力學模型(17)的第2 個子式代入其第1 個子式可得

類似于單維情形下的式(3),由式(18)和式(17)的第2 個子式可得

定理 2.在假設1 滿足的條件下,如果邏輯矩陣C是行隨機的,則不含有遺忘個體的社會網絡G(W)上觀點動力學模型(17)是收斂的,且收斂值為

證明.注意到

其中,?表示Kronecker 積.由C是行隨機矩陣可得,ρ(C)=1.根據定理1 易知,當時,不含遺忘個體的觀點動力學模型(17)是收斂的.設y*=limk→∞y(k)且由式(19)易知

由上式可得觀點的收斂值.

當擬強連通社會網絡G(W)含有遺忘個體時,在單維觀點情形時,式(5)可寫成式(7).類似地,在多維觀點情形下有

定理 3.在假設1 滿足的條件下,如果矩陣W22和C都是正則的,則具有遺忘個體的社會網絡G(W)上觀點動力學模型(17)是收斂的.

證明.類似于定理1 的證明,根據矩陣Ψ的結構將證明過程分為兩個部分.

1)當Ψ=W時.注意到

意味著遺忘個體的私人觀點和表達觀點不受其余固執個體的影響.因此,由式(20)可得

由于矩陣W22和C都是正則的,可得遺忘個體的觀點是收斂的,即

類似于定理1 的證明,由Ravazzi 等[28]的命題1 可知,和y(1)(k)是收斂的,故觀點動力學模型(17)是收斂的.

易知,

根據Ravazzi 等[28]的命題1 可知,觀點動力學模型(17)是收斂的,即由式(20)可知

其中,Ω3=(I2dn-P ?C)-1.

綜上所述,具有遺忘個體的社會網絡G(W)觀點動力學模型(17)是收斂的.

本節在擬強連通社會網絡中,提出新的具有遺忘個體的多維(表達和私人)觀點動力學模型,刻畫出不同話題之間表達/私人觀點的相互影響;另一方面,本文僅需社會網絡是擬強連通,意味著個體之間無需嚴格的通訊方式,更加符合現實社會的情景,故應用范疇取得突破.

4 仿真實驗

4.1 應用于多元無知個體

應用本文所提出的多維觀點動力學模型重現“多元無知”這一經典的社會現象[29].“多元無知”是指在一個個體中,只要反對意見不以明確、強烈的形式表現出來,一般成員就會產生一種錯覺,以為大家的意見都是一致的.在現實中,不充分的信息交流(網絡是擬強連通的)是導致“多元無知”社會現象的主要原因之一,與本文社會網絡是擬強連通的條件相吻合.考慮由7 個個體組成的社會群體,其中,含有3 個遺忘個體(藍色).網絡結構如圖2所示(未畫出自環),其所對應的網絡影響矩陣為

圖2 具有遺忘個體的社會網絡Fig.2 Social networks with oblivion individuals

以及敏感度矩陣為Λ=In-diag{wii}.設個體的初始觀點為

個體恢復力參數矩陣為

易知,個體2,4 和6 是不受外界因素影響的遺忘個體,且持反對觀點.根據圖3 可得,個體1,3,5 和7 的表達觀點從開始持支持態度演化到持反對態度,其私人觀念和表達觀念產生顯著的差異.這是因為從眾壓力的影響,個體1,3,5 和7 不斷修改已形成的表達觀點來適應持反對態度的“本地輿論”.圖3中,不同顏色的線型表示不同個體的表達/私人觀點.

圖3 多元無知Fig.3 Pluralistic ignorance

4.2 仿真分析

本節將分析邏輯矩陣C和恢復力參數?i對個體私人觀點與表達觀點之間(差異)的影響.考慮由7 個個體組成的一個網絡G(W),其中,含有3 個遺忘個體(藍色).人際影響網絡結構如圖4 所示(未畫出自環),所對應的網絡影響矩陣為

圖4 具有遺忘個體的社會網絡Fig.4 Social networks with oblivion individuals

以及敏感度矩陣為Λ=In-diag{wii}.根據個體數量,設定“本地輿論”包含所有個體的表達觀點,即,,且

設?i=0.1,分別設邏輯矩陣C為

由圖5～11 可知,當不同話題的觀點互不影響(C=C1)時,社會網絡G(W)中所有個體的私人觀點和表達觀點都是支持話題1,反對話題2.當C=C2時,所有個體的私人觀點和表達觀點都還支持話題1,但支持的態度有所減弱.所有個體的表達觀點卻由之前都是反對話題2 變成了支持話題2,個體1～4 的私人觀點仍然反對話題2,但反對的態度有所減弱,遺忘個體5～7 的私人觀點由之前都是反對話題2 演化成了支持話題2.

圖5 個體1 的觀點Fig.5 Opinions of individual 1

圖6 個體2 的觀點Fig.6 Opinions of individual 2

圖7 個體3 的觀點Fig.7 Opinions of individual 3

圖8 個體4 的觀點Fig.8 Opinions of individual 4

進一步地,由圖9～11 可知,當C=C1時,遺忘個體5～7 分別對于話題1 和話題2 的私人觀點與表達觀點非常相近,相對于話題1 和話題2,產生觀點兩極分化的現象.當C=C2時,針對話題1 和話題2,遺忘個體5～7 的私人觀點與表達觀點都非常相近,產生觀點一致的現象.

圖9 個體5 的觀點Fig.9 Opinions of individual 5

圖10 個體6 的觀點Fig.10 Opinions of individual 6

圖11 個體7 的觀點Fig.11 Opinions of individual 7

為了分析從眾壓力對于個體表達觀點和私人觀點差異的影響,設?i=0.1,?i=0.3,?i=0.6,?i=0.9 和C=C1.由圖12 可知,恢復力參數?i越大,個體的私人觀點與表達觀點越接近.換言之,從眾壓力越大,個體私人觀點與表達觀點的差異越大.這與現實世界的經驗一致,即個體會因外部環境的影響而適當地改變自己的主觀觀點.圖12 中,不同顏色的線型表示不同個體的表達/私人觀點.

圖12 觀點動力學模型(17):C=C1Fig.12 Opinion dynamics model (17)withC=C1

5 結束語

本文提出了一個新的具有遺忘個體的多維觀點動力學模型,刻畫出了不同話題之間表達/私人觀點的互相影響.在社會網絡是擬強連通的條件下,根據邏輯矩陣和網絡影響子矩陣的正則性,給出了表達觀點和私人觀點收斂的充分條件.應用本文所提出的觀點動力學模型,復現了“多元無知”的社會現象.仿真分析表明從眾壓力的恢復力越小,表達觀點與私人觀點的差異越大.另外,進一步討論了邏輯矩陣對表達觀點和私人觀點演化的影響.

在現實社會中,個體的表達觀點在傳播和演變過程中,觀點傳播的速度可能受個體自由意志或者社交媒體的影響.因此,針對觀點傳播速度的研究是一個值得考慮的問題.這是本文的不足之處.在未來的工作中,一方面,在考慮時間復雜度的基礎上,建立連續型的觀點動力學社會模型,深入研究觀點傳播或者演化的速度;另一方面,借鑒探究Bass模型在新領域擴展應用的思想[30]和利用DEA 模型評價優勢的思想[31],從一個全新的角度拓展社會網絡的應用及說明觀點動力學模型具有的優勢.