非匹配不確定MIMO 系統的分數階終端滑模控制

周銘浩 魏可蒙 馮 勇 穆朝絮 蘇鴻宇

滑?？刂?Sliding-mode control,SMC)憑借其結構簡單、對系統的外部擾動和參數攝動具有強魯棒性等優勢,被廣泛應用于電氣、機械、航空和航天等領域[1].非匹配擾動及參數攝動存在于系統的非控制通道中,傳統的線性滑模和終端滑模[2-4]控制輸入不能直接對其補償,只能迫使非匹配不確定多輸入多輸出(Multi-input multi-output,MIMO)系統的輸出在有限時間內收斂到零附近的鄰域[5-7].非匹配擾動及參數攝動廣泛存在于實際系統中,如電機驅動控制系統中的負載轉矩擾動、新能源發電并網系統中網側逆變器的負載電流突變等[8].因此,研究針對非匹配不確定MIMO 系統的強魯棒、高動態性能的控制方法具有重要的理論意義和應用價值.

非匹配不確定MIMO 系統的控制通常采用虛擬控制策略,須滿足虛擬控制增益矩陣的右偽逆矩陣存在.實際控制系統中的控制量維數m與系統階數n普遍存在兩種關系:1)m≥n/2;2)m＜n/2.在m≥n/2 型系統中,虛擬控制增益矩陣的右偽逆矩陣存在,此時虛擬控制信號的維數m大于或等于非匹配不確定性矢量的維數n-m,系統擁有較多的控制輸入量且控制律設計相對容易.然而,m＜n/2 的情況在實際應用系統中也很常見,由于控制輸入量維數m＜n-m,此時虛擬控制增益的右偽逆矩陣不存在,大大增加了虛擬控制律的設計難度,以致虛擬控制量無法直接對非匹配不確定性進行補償[9-10].目前大多數文獻所提出的控制策略通常建立在虛擬控制增益矩陣的右偽逆存在這一嚴格的前提下,鮮有涉及m＜n/2 的情況[11-13].因此,實現控制量維度全類型的非匹配不確定MIMO 系統的高性能控制,依然存在較大挑戰.

現存文獻中所提出的方法通常將非匹配擾動及參數攝動的函數類型局限于H2范數有界型和時不變/慢時變型,不能有效補償函數模型更為普遍的或快速變化的非匹配擾動[14-16].文獻[17]針對不匹配不確定性系統提出了魯棒開關積分滑?？刂品椒?使得各子系統對不確定性擾動魯棒穩定;文獻[18-20]均利用基于擾動觀測器的滑模控制(Disturbance observer based sliding mode,DOBSM),實現了對非匹配不確定性的補償.但是以上兩類方法均依賴于非匹配不確定性滿足時不變或慢時變的假設,對于函數模型更一般的不確定性,則無法控制系統的輸出嚴格地收斂到零,只能收斂到零附近的鄰域.不同于傳統的二階滑模和高階滑?？刂品椒?文獻[21]將非匹配不確定系統中的非匹配不確定性上界函數類型由常數型推廣為更加一般的正函數型,并基于該種類型的擾動邊界來設計相應的二階滑模(Second-order sliding mode,SOSM)控制律,但不能很好地抑制抖振現象;文獻[22]雖然將非匹配不確定性上界函數類型推廣為更為普遍的類型,但也沒能抑制控制信號中的高頻抖振.另外,文獻[21]和[22]雖然考慮了實際應用中更為普遍的擾動函數型,但皆為時間和輸出變量的函數,并未考慮當增益矩陣存在參數攝動時,擾動輸入函數模型中含有控制信號的情況,而是僅把不確定性視作集總擾動來處理,將導致控制系統出現代數環問題[23-25].代數環問題廣泛存在于不確定系統之中,例如機器人系統中含有關節加速度信號的不確定性、電機控制系統中轉動慣量、電阻和電感等參數不確定性、新能源并網逆變器中濾波電感和電容的不確定性,都將引入代數環動態干擾問題,然而,目前鮮有控制策略能夠抑制其帶來的影響.

在設計非匹配不確定系統的控制律時,實際控制信號往往含有虛擬控制信號的一階導數,這將導致控制信號出現奇異和抖振問題[26].文獻[27]提出了全階滑模(Full-order sliding-mode,FSM)和反步法相結合的方式來設計虛擬控制律,避免了虛擬控制信號中的抖振問題,但是實際控制律中仍存在高頻切換項,不能徹底消除抖振,僅能通過犧牲控制精度的邊界層法來彌補.而分數階滑模[28]將分數階微積分理論與滑?？刂评碚摻Y合以降低滑模切換頻率,可以提高控制行為連續性,其收斂特性如圖1所示[29-30].文獻[31]提出基于分數階滑?？刂频拇瓮秸袷幰种品椒?利用分數階微積分算子增加系統自由度實現對振蕩的快速抑制,但抖振問題并未解決;為削弱抖振現象,文獻[32]提出一種基于非線性干擾觀測器的自適應分數階滑?？刂品椒?然而,以上兩種分數階滑模控制方法只適用于一類滿足匹配條件的不確定系統.文獻[33]針對單輸入非匹配不確定系統提出了一種基于觀測器的分數階滑模控制策略;文獻[34]設計了自適應律來估計不匹配非線性項的上界,然而,這兩種方法并不能有效抑制抖振.目前大多數文獻提出的基于分數階滑模的控制方法通常僅適應于滿足匹配條件的系統,鮮有分數階滑?？刂品椒軌蛟诖_保抖振有效抑制的前提下克服非匹配不確定性.因此,本文針對非匹配不確定MIMO 系統提出一種新的分數階終端滑模(Fractional-order terminal sliding-mode,FOTSM)控制策略,突破了上述嚴苛的限制條件并優化了系統的控制速度和精度,主要貢獻包含以下三個方面:

圖1 分數階與整數階滑模收斂特性比較Fig.1 Comparison of fractional-and integral-order sliding-mode

1)結合非奇異狀態變換和反步法實現了m＜n/2型非匹配不確定MIMO 系統的控制,突破了傳統反步法控制律設計中虛擬控制增益矩陣的右偽逆必須存在的嚴苛限制;

2)提出的切換增益自適應的分數階終端滑?？刂撇呗?解決了由非匹配擾動輸入含有控制增益矩陣攝動而引起的代數環干擾問題;

3)所設計的虛擬控制律和實際控制律均為連續信號,且有效抑制了抖振,系統輸出能夠快速收斂到零而非其鄰域.

1 問題描述

考慮如下n維非匹配不確定MIMO 系統[35]:

采用如下坐標變換可將非匹配不確定MIMO系統(1)轉換為匹配和非匹配子系統的形式[36]:

式中,In-m為單位矩陣.經過坐標變換后,系統(1)可以轉化為如下分別含有匹配和非匹配不確定擾動的MIMO 系統:

式中,ku≥0,Fu≥0 和0≤km＜1 為已知常數,Fm(·)≥0 為已知函數;du≥0,Du≥0 和0≤dm＜1 為已知常數,Dm(·)≥0 為已知函數.

針對系統(1),控制目標為設計虛擬控制律和實際控制律均為連續信號的控制策略,不局限于虛擬控制增益A12的右偽逆存在這一嚴格假設,且能夠補償由于含有虛擬/實際控制增益矩陣攝動的非匹配不確定性,使得系統輸出收斂到零而非其鄰域.

1.1 線性滑?？刂?/h3>

針對非匹配MIMO 系統(3)～(5),設計滑模面和對應的控制律如下[1]:

式中,正定參數矩陣C滿足eig(A11-A12C)＜0,則系統的運動軌跡將在有限時間內到達理想滑動模態s=x2+Cx1=0:

由于非匹配不確定性fu(t,x)的存在,式(10)中的狀態變量不能收斂到平衡點.

1.2 積分滑?？刂?/h3>

積分滑模相比于線性滑模具有更高的穩態精度,積分滑模面及相應的控制律可設計如下[1]:

式中,正定參數矩陣C1滿足eig(A11-A12C1)＜0,C2滿足eig(A12C2)＞0,可知系統的運動軌跡將在有限時間內到達理想滑動模態s=0:

1.3 全階終端滑模控制

全階終端滑模法結合反步法控制思想,設計全階滑模面s11和s12以及虛擬控制律x2ref和實際控制律u,迫使系統非輸出狀態變量x2在有限時間內跟蹤虛擬控制量x2ref,從而使得系統輸出狀態變量x1在有限時間內收斂到零[3].滑模面及控制律設計如下:

式中,誤差矢量e1=x2-x2ref,參數矩陣C11和C12均為正定對角陣,p和q為正奇數且滿足0＜p/q＜1.

然而,實際控制律(16)中存在虛擬控制律的一階導數,仍包含高頻切換函數項,因而未能徹底抑制抖振.同時,控制律設計依賴于虛擬控制增益A12的右偽逆矩陣存在,限制了控制系統類型.因此,本文主要考慮控制律設計更為困難的m＜n/2 型非匹配不確定MIMO 系統.首先,給出本文理論分析和推導所需的基本定義和引理.

定義1[38]. 階次不同的分數階微積分運算滿足如下復合運算規則:

式中,α＞0,β＞0,l為常數.

為證明分數階微分系統穩定,現給出引理1 如下,作為設計分數階滑模面的理論依據.

引理1[39]. 考慮如下分數階微分系統:

式中,0＜v＜2,x∈Rm,A∈Rm×m,若矩陣A滿足|arg(eig(A))|＞vπ/2,則系統的解是漸近穩定的.

為證明有限時間收斂性,現給出引理2 如下,作為論證滑模面有限時間收斂性的基礎理論依據.

引理2[40]. 考慮非Lipschitz 自治系統,x∈Rn,滿足f(0)=0,若存在正定連續函數V(x):U→R,以及某平衡點附近的鄰域U0?U滿足cV α(x)≤0,x∈U0{0},其中,c＞0 且0＜α＜1,則函數V(x)將在有限時間tr內收斂到平衡點,收斂時間tr ≤V1-α(x(0))/(c(1-α)).

2 非匹配不確定MIMO 系統的分數階終端滑?？刂?/h2>

假設非匹配不確定子系統(3)中的fu(t,x)滿足如下匹配條件:

當虛擬控制增益矩陣A12不存在右偽逆矩陣時,即,為實現m＜n/2 型非匹配不確定MIMO 系統的控制,首先對非匹配不確定子系統(3)進行兩步非奇異狀態變換.

對子系統(3)進行非奇異狀態變換x′=F1x1,F1為狀態變換常數矩陣[41],結合式(19)可得如下塊能控標準型:

式中,分塊矩陣的維數di為:

對式(21)進行第二步非奇異狀態變換x′=F2z[11],消除塊能控標準型中的狀態耦合,可得如下解耦塊能控標準型系統:

解耦塊能控標準型系統(22)可進一步簡寫為如下形式:

針對解耦塊能控標準型系統設計Ni=-λiIni,i=2,···,r,其中,-λ2＜···＜-λr＜0,ni為狀態矢量zi的維數,Ini為單位矩陣.當狀態矢量zi-1依次收斂到零后,狀態矢量zi也將收斂到零.

針對解耦塊能控標準型(23)、(24)系統,設計如下分數階終端滑模面:

式中,2-α為分數階微分的階次,0＜α＜1,滑模參數矩陣C21為正定對角陣,p和q為正奇數且滿足0＜p/q＜1.

推論 1.考慮分數階終端滑動面,當系統到達理想滑動模態s21=0 時,則系統狀態z1可收斂到平衡點附近的鄰域.

證明.由定義1 可知,1-α階積分型終端滑模面可表示為:

式中,l為常值矩陣,則進一步可得:

且‖?‖≤ζ.將系統的滑動模態解耦成j個子系統:

根據積分型分數階滑模面的特性,當c21j-時,系統(28)是穩定的[42],則z1j=0 是s21=0 的解;當時,需要分兩種情況進行討論:

命題 1.若選取如式(25)所示的分數階終端滑模面s21,設計如下無抖振分數階積分型滑模虛擬控制律x2ref,并定義跟蹤誤差矢量e2=x2-x2ref,當且僅當跟蹤誤差e2收斂至零,即非輸出狀態變量x2精確跟蹤虛擬控制量x2ref之后,非匹配不確定MIMO 系統(3)～(5)的輸出變量y將收斂到零:

式中,k21(x)=‖B1,0‖(pu‖x‖+Pu)+η21為時變切換增益,pu和Pu由式(20)定義,η21為很小的正數.

證明.將e2=x2-x2ref代入式(24)得:

誤差矢量e2將在實際控制律作用下由任意初始狀態在有限時間內收斂到零,結合分數階終端滑模面(25)以及無抖振滑?？刂坡?29)和(30)可得:

考慮切換控制律(31)有:

結合非匹配不確定性的邊界條件(20),則有:

將時變切換增益k21(x)代入上式,則當Lyapunov 函數V1≠0 時,滑模到達條件成立:

根據引理2 可知,在無抖振分數階積分型滑?？刂坡傻淖饔孟?子系統(24)將由任意初始狀態s21(0)≠0,在有限時間t1r內到達分數階終端滑模面s21=0,t1r ≤‖s21(0)‖/η21,并在滑模面上維持理想滑動模態s21=0.可知,狀態變量z1將在有限時間內收斂到零,則系統(23)、(24)的全部狀態變量z將漸近收斂至零.因此,非匹配不確定系統中的輸出變量y也將收斂到零.

為實現系統相對階r=0 的全階滑動模態,設計全階終端滑模面s22∈Rm如下:

式中,誤差矢量e2=x2-x2ref,矩陣C22=diag{c221,···,c22m},,q和p為正奇數,且滿足0＜q/p＜1.

定理 1.若選取全階終端滑模函數(32)以及無抖振分數階積分型滑模虛擬控制律x2ref,并設計如下實際無抖振分數階控制律u,則誤差系統的狀態軌跡將從任意初始狀態s22(0)≠0 在有限時間t2r內到達全階終端滑模面s22=0,t2r ≤‖s22(0)‖/η22,并在該滑模面上維持滑動模態,跟蹤誤差矢量e2也將在有限時間內收斂至零,則非匹配不確定MIMO系統(3)～(5)的輸出變量y能夠收斂到零:

時變切換滑?？刂圃鲆婧瘮祂22(x)如下所示:

其中,dm,Dm(·),分別由式(7)和式(20)定義,η22為很小的正數.

證明.將式(4)和式(29)代入全階終端滑模函數(32)中可得:

結合無抖振滑模控制律(33)和(34)有:

將無抖振切換控制律(35)代入上式得:

考慮匹配不確定性邊界條件式(7)和(20)有:

當V2≠0 時,代入時變切換增益函數k22(x)有:

根據引理2 可知,跟蹤誤差系統的狀態軌跡將從任意初始狀態s22(0)≠0 出發,在有限時間t2r內到達全階終端滑模面s22=0,t2r ≤‖s22(0)‖/η22,并在滑模面上保持滑動模態運動,誤差矢量e2將在有限時間內收斂到零點.

本文的控制目的是設計實際控制律u迫使系統的非輸出狀態變量x2在有限時間內跟蹤虛擬控制量x2ref,進而虛擬控制律x2ref使得系統輸出變量x1收斂到零.本文結合分數階滑模和虛擬控制技術的特點和優勢,創新性地利用2-α階積分器處理虛擬控制律x2ref中的高頻切換函數項,即,獲得了連續的虛擬控制信號;在設計實際控制律時,即使需要對虛擬控制律求一階導數的情況下,仍然可以保留1-α階積分器對實際控制律中的高頻切換函數項的處理效果,即,獲得連續的實際控制信號,如式(34)所示.由于新的分數階滑模面及其控制律的設計,高頻切換函數項分別利用分數階和整數階積分器處理之后輸出,即因此,抖振被充分抑制,虛擬和實際控制信號為連續信號.

分數階滑模控制算法框圖如圖2 所示.首先對非匹配不確定MIMO 系統進行坐標變換得到新的狀態變量z,并設計虛擬控制律使得非匹配不確定性得到補償,再由實際控制律u使得跟蹤誤差在有限時間收斂到零,即非輸出狀態變量x2精準跟蹤虛擬控制量x2ref,從而使系統輸出y能收斂到零而非其鄰域.

圖2 分數階滑?？刂扑惴驁DFig.2 Block diagram of the fractional-order sliding-mode control method

3 仿真結果及分析

作為控制理論分析中常見非匹配不確定系統,L-1 011 固定翼巡航飛機側軸模型為一個滿足m＜n/2 維度關系(m=2 且n=5)的5 階MIMO 系統[43]:

式中,x∈R5為傾斜角、偏航角速度、滾轉角速度、側滑角速度、過濾狀態組成的狀態矢量;u∈R2為舵偏轉和側翼偏轉組成的控制列向量;fu=[fu1,0,0,fu4,fu5]T為該系統的非匹配不確定性:

同時在控制信道和非控制信道中引入了白噪聲干擾.

首先,進行式(2)所示的狀態變換可得:

式中,x1=[x11,x12,x13]T,x2=[x21,x22]T.

經過狀態變換后,系統(37)可以改寫為如下匹配/非匹配子系統的形式:

根據式(21)和式(22)進行兩步非奇異狀態變換有:

子系統(39)可進一步轉換為如下解耦塊能控標準型系統:

選取分數階終端滑模面(25)和全階終端滑模面(32),其中,滑模面參數矩陣C21=diag{60,60},C22=diag{150,170}.控制器參數設計為:η21=0.01,pu=0,Pu=20,dm=0.005,

根據命題1,設計無抖振分數階終端滑模虛擬控制律如下:

根據定理1,設計無抖振實際控制律如下:

針對非匹配不確定系統(39)、(40),本文將所提出的分數階終端滑模(FOTSM)與四種適用于非匹配不確定系統的控制方法做對比分析:基于擾動觀測器的滑?？刂?DOBSM)[18]、二階滑?？刂?SOSM)[21]、全階滑模控制(FSM)以及基于飽和函數的全階滑?？刂?Saturation-based full-order sliding-mode,FSM-Sat)[27],其控制器主要設計參數如表1 所示.

表1 控制器主要設計參數Table 1 The design parameters of the controllers

在五種不同的控制方法對匹配和非匹配不確定性的補償下,不確定MIMO 系統輸出變量均能夠收斂至零,如圖3 所示.在圖4 中,由于DOBSM通常只可補償時不變/慢時變型不確定性,故系統輸出的收斂精度不高;SOSM 方法下的系統輸出變量x11存在高頻振動且收斂精度數量級僅為10-2;通過對比FSM 和FSM-Sat 可知,系統輸出變量x11在FSM 下收斂精度10-4明顯高于FSM-Sat,也說明了FSM-Sat 在實現控制信號連續性的同時犧牲的是收斂精度;而在FOTSM 控制下系統狀態變量x11的收斂精度較高,說明本文所提的方法在保證控制信號連續的同時能夠獲得良好的控制精度.相似的結論也可以在圖5 所示輸出變量x12、圖6 所示輸出變量x13以及圖7 所示輸出變量的2-范數‖x1‖的仿真結果中得出.綜上,在非匹配不確定系統輸出變量x11、x12和x13的收斂精度方面,DOBSM、SOSM 和FSM-Sat 的收斂精度不高,而FSM 和FOTSM 具有相對較高的收斂精度.

圖3 五種不同控制方法的系統輸出相量x1Fig.3 System outputx1under the five control methods

圖4 五種不同控制方法的系統輸出相量x11Fig.4 System outputx11under the five control methods

圖5 五種不同控制方法的系統輸出相量x12Fig.5 System outputx12under the five control methods

圖6 五種不同控制方法的系統輸出相量x13Fig.6 System outputx13under the five control methods

圖7 五種不同控制方法的系統輸出的2 范數‖x1‖Fig.7 2-norm of system output‖x1‖under five methods

FOTSM 方法下的系統非輸出狀態變量x2收斂狀態以及系統虛擬控制信號x2ref的波形如圖8所示,系統非輸出狀態變量x2實現了對虛擬控制信號x2ref的精確跟蹤.本文結合反步法的控制思想,將可測非輸出狀態變量x2看作為子系統的虛擬控制量x2ref,迫使系統的輸出變量x1對子系統中的非匹配不確定性fu(·)具有不變性,進而x1嚴格收斂到零;再設計實際控制量u迫使虛擬控制量x2ref跟蹤狀態變量x2.因此,系統輸出x1可以收斂到零,而追蹤x2的虛擬控制量x2ref需要補償非匹配不確定性fu(·)≠0,因而狀態變量x2為非零信號.由于非匹配不確定性的存在,狀態變量x21和x22僅能在有限時間內收斂到零附近的鄰域.

圖8 分數階終端滑?？刂葡聽顟Bx2和虛擬控制信號x2refFig.8 Statesx2and virtual controlx2ref under FOTSM

五種不同控制算法的控制信號如圖9 所示,可見只有FSM-Sat 和FOTSM 的控制信號是連續的,其他控制信號均呈現出高頻的抖振.飽和函數的加入雖然能夠令FSM 控制信號連續,但卻犧牲了一定的控制精度.而本文所提方法引入2-α階分數階積分,使得虛擬控制信號x2ref為連續平滑的信號,同時,含有虛擬控制信號一階導數的實際控制信號u中存在切換控制項的1-α階分數階積分,使得u仍為連續信號.五種控制方法的性能對比如表2 所示.因此,本文對抖振的分析與仿真結果是相符合的.在上述方法中,只有所提出的FOTSM能夠在確保高控制精度的同時有效抑制抖振,獲得連續的控制信號.

表2 不同控制方法性能對比Table 2 Performance comparison of the five methods

圖9 五種不同控制方法的實際控制信號u Fig.9 Actual controluunder the five control methods

4 結論

本文所設計的分數階終端滑模控制方法通過設計虛擬控制量以補償非控制信道中的非匹配不確定擾動,再利用實際控制信號迫使非輸出狀態變量精確逼近無抖振平滑的虛擬控制量,從而使得系統輸出能夠收斂到零,實現了對m＜n/2 型非匹配不確定MIMO 控制系統的高精度和強魯棒控制.所提出的控制策略解除了虛擬控制增益矩陣的右偽逆須存在的限制條件,設計的自適應分數階滑模切換律解決了由控制增益矩陣攝動引起的代數環問題,在降低切換增益幅值的同時也獲得了平滑的虛擬控制和實際控制信號.最后,仿真研究驗證了本文所提出的控制方法的正確性和優越性.