雙頻激勵下微彎液壓管道的非線性振動研究

范 鑫, 舒 送, 張俊寧, 肖 璐, 毛曉曄, 丁 虎

(1. 中國人民解放軍第5720工廠,安徽 蕪湖 241007; 2. 中國科學(xué)技術(shù)大學(xué) 精密機械與精密儀器系,合肥 230026; 3. 上海大學(xué) 力學(xué)與工程科學(xué)學(xué)院 上海市應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)研究所,上海 200444)

液壓系統(tǒng)是機器、發(fā)動機、飛機和許多工程機械的重要組成部分[1-3]。它通常包含許多用于輸送液體和提供壓力的管道。由于其結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性、激勵的多源性以及耦合的關(guān)聯(lián)性,使得其在工作過程中極易出現(xiàn)管道系統(tǒng)共振。由于涉及輸流管道的機械系統(tǒng)都輔有多個動力設(shè)備,多個設(shè)備配合運轉(zhuǎn)成為管路系統(tǒng)的主要振動源,多個振動源工作用加快了管道的疲勞故障進程。因此,探究雙頻激勵下管道非線性動力學(xué)行為,科學(xué)維系管道系統(tǒng)安全可靠運行,保障輸流管在雙頻強激勵環(huán)境下正常工作成為目前研究日益突出且至關(guān)重要的問題。

要深入研究管道非線性振動行為,需要考慮其自身的結(jié)構(gòu)形狀和材料性質(zhì)。由于工作環(huán)境及其自身重力的影響,管道的結(jié)構(gòu)參數(shù)將不可避免地發(fā)生變化。為了得到更準確的非線性振動響應(yīng)結(jié)果,有必要考慮管道的初始形狀。學(xué)者們研究了微彎管道的各種振動問題[4-6]。李寶輝等[7]采用波動法獲得振動波的傳播和反射矩陣,提出了曲管平面內(nèi)振動固有頻率的計算方法。謝孝文[8]采用分塊矩陣法討論了不同邊界條件下曲管的振動特性。2021年,Oyelade等[9-10]考慮微彎黏彈性管道,研究了橫向振動下輸送加壓流體非局部應(yīng)變梯度的非線性力學(xué)行為。Li等[11]分析了具有不同類型初始構(gòu)型的彎曲管道輸送流體的平面運動。Zhou等[12-13]分析了具有微小幾何缺陷的流體輸送支承管的穩(wěn)定性和動力學(xué)。袁嘉瑞等[14]首次建立了基于Timoshenko理論的微彎管模型。Zhai等[15]研究了彎曲梁結(jié)構(gòu)在軸向載荷作用下的非線性振動。曹建華等[16]基于樣條小波有限元法建立了沿軸線可伸長的非線性輸流曲管。最近,微彎管道模型已發(fā)展到非平面型[17]以及超臨界區(qū)域[18-19]。以上的研究均是對單源激勵下微彎管道的振動研究。雖然基于單頻激勵的管道動力學(xué)研究能夠更加容易的實現(xiàn)特定的研究目的,但未針對多頻振動激勵源之間的耦合作用進行研究,而這種多頻激勵在工程中是非常常見的。

隨著系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和工作環(huán)境的越來越復(fù)雜,多頻多源激勵引起的振動問題日益突顯,并在多個領(lǐng)域備受關(guān)注。道路交通領(lǐng)域,Zhang等[20]在針對車-路相互作用關(guān)系研究中發(fā)現(xiàn),路面的破壞部分因素是由于車輛作用于路面的載荷激勵和路面的自身振動共同作用引起的。軌道交通領(lǐng)域,Wu等[21]在針對高速列車牽引傳動系統(tǒng)某結(jié)構(gòu)長期使用出現(xiàn)的疲勞問題研究中發(fā)現(xiàn)它是由多個寬頻帶激勵之間的耦合導(dǎo)致。航空運輸領(lǐng)域,航空發(fā)動機壓氣機轉(zhuǎn)子葉片故障主要由機械激勵和氣動激勵共同引起的[22]。然而,針對如此復(fù)雜的振動環(huán)境,為方便研究,多數(shù)學(xué)者將多頻激勵振動假定為多個單頻激勵的線性疊加,如Tan等[23-25],而忽略了多個激勵間的振動耦合關(guān)系。但是僅依靠單頻激勵振動是不能解釋管道的所有振動問題的。2021年,Gao等指出飛機液壓系統(tǒng)發(fā)生的振動故障主要是由于流體的波動和機身惡劣的振動環(huán)境構(gòu)成的多激勵引起的。同年,汪博等[26]針對管道系統(tǒng)所表現(xiàn)的動力學(xué)特性及管道系統(tǒng)動力學(xué)優(yōu)化的研究現(xiàn)狀進行了總結(jié),強調(diào)管道系統(tǒng)不僅承受著復(fù)雜的多激勵問題,在多載荷激勵下極易發(fā)生振動超限,誘發(fā)管道及卡箍產(chǎn)生裂紋等故障。從以上的研究工作來看,目前針對管道的多頻激勵振動問題研究相對較少。另外,由于管道的構(gòu)形是復(fù)雜多樣的,考慮管道微曲,受傳遞路徑和介質(zhì)的影響,即便是同一激勵到達管道不同位置產(chǎn)生的振動也會有所不同。以多頻激勵研究管道的振動問題不僅是緊跟當前管道系統(tǒng)發(fā)展的趨勢,而且還是保障發(fā)動機乃至航空航天結(jié)構(gòu)安全可靠運行的必然要求。本文從簡單的雙頻激勵出發(fā),研究雙頻激勵發(fā)生時管道的非線性振動特性。

本文針對固支液壓管道考慮管道的微彎曲建立了雙頻激勵下的力學(xué)模型,運用Galerkin法(Galerkin method ,GM)將偏微分方程離散為一組非線性耦合常微分方程,并采用龍格庫塔法對方程組進行數(shù)值求解,分析系統(tǒng)在雙頻激振耦合作用下液壓管道的振動響應(yīng)。

1 動力學(xué)建模

如圖1所示,一段微曲的液壓管道兩端固支,支撐之間的距離為Lp,管道的外徑和內(nèi)徑分別為D和d,管道的密度為ρp,楊氏模量為E,截面慣性矩為Ip,外激勵考慮為沿管道軸向均勻分布周期激勵,其表達式為F(t)=F0[cos(Ω1t)+ηcos(Ω1t)],其中η為激勵分配系數(shù)。管道中充滿了航空液壓油,為簡化理論模型,將液壓油視為無黏度的不可壓縮牛頓流體。根據(jù)這一假設(shè),管道中各處的油壓都是相同的,因此液壓油的壓力影響可以忽略不計。液壓油的密度為ρf,液壓油流速為 Г。表1給出了這些參數(shù)的值。

在理想條件下,管道在使用壽命期間將是直線形狀的,但是考慮到制造缺陷和蠕變變形,管道可能會有初始的彎曲幅值。初始曲線的存在對于系統(tǒng)的動態(tài)特性影響很大,這里記初始彎曲曲線為Y(x)。忽略外阻尼以及重力效應(yīng),因為軸向運動很小,只考慮橫向運動,使用廣義哈密頓原理建立管道的控制方程。

設(shè)管道的彎曲變形為u(x,t),因此管道動能為

(1)

式中,Ap為管道的橫截面面積。液壓油沿管道流動的動能為

(2)

式中:Af為流體的橫截面面積;x或t前的逗號為x或t的偏導(dǎo)數(shù)。基于哈密頓原理,考慮管道的勢能為

δUp=?VEεxδεxdV

(3)

式中:V為管道體積;εx為一個微元體在x方向上的應(yīng)變,應(yīng)變-位移關(guān)系為

(4)

考慮沿管道均布諧波力的虛功,管道控制方程經(jīng)變分計算后如下

(5)

兩端固定邊界條件為

u(0,t)=0,u(Lp,t)=0,u,x(0,t)=0,u,x(Lp,t)=0

(6)

式中:F0為激勵幅值;η為無量綱參數(shù);Ω1和Ω2分別為兩個不同的激勵頻率。

管道黏彈性用Kelvin物質(zhì)導(dǎo)數(shù)描述,將以下本構(gòu)關(guān)系[27]代入式(5)中

(7)

式中,μ為管道材料的黏彈性系數(shù)。代入后,液壓管道控制方程為

(ρpAp+ρfAf)u,tt+2ρfAfΓu,xt+ρfAfΓ2u,xx+EIpu,xxxx+

F0[cos(Ω1t)+ηcos(Ω2t)]=0

(8)

其中,

(9)

考慮到邊界條件為兩端固定,可以使用以下函數(shù)來描述初始彎曲曲線

(10)

式中,A0為管道的初始彎曲幅值。

忽略外部激勵、阻尼和控制方程中的非線性項,可以得到線性派生系統(tǒng)

(11)

假設(shè)對應(yīng)直梁的模態(tài)函數(shù)[28]為

φi(x)=C1icosβix+C2isinβix+C3icoshβix+C4isinhβix

(12)

將式(12)代入式(11)中可得

(13)

同樣的,為保證式(13)有非零解,其系數(shù)矩陣行列式必須為 0,于是可以得到多個不同的特征值,即微曲液壓管道的固有頻率。對應(yīng)于不同固有頻率,從式(13)可以求得微曲液壓管道近似模態(tài)。

根據(jù)Galerkin截斷思想,將式(11)離散為具有N個廣義坐標的常微分方程組。設(shè)解的形式如下

(14)

式中:φi(x)為從式(13)求得的模態(tài)函數(shù);q=[q1,q2,q3,…,qn]T;φ=[φ1,φ2,φ3,…,φn]。

將式(14)代入控制方程式(8),在方程兩邊都乘以試函數(shù)φk(x),并且從0～Lp積分,可以得到N個常微分方程

fk[cos(Ω1t)+ηcos(Ω2t)]

(15)

為了便于研究受迫激勵發(fā)生拍振時系統(tǒng)的振動響應(yīng),兩個激振頻率可以寫成如式(16)所示的形式

Ω1=Ω+δΩ,Ω2=Ω-δΩ

(16)

2 模型收斂性分析及驗證

以流速121.5 m/s為例,圖2 給出了不同Galerkin截斷階數(shù)下拱高變化時管道前兩階固有頻率以及時域下管道中點位置橫向運動的收斂性,其中外激勵幅值和激勵分配系數(shù)分別為F0=1 N/s,η=1。可以看出,四階截斷是收斂的,因此在后面的討論中選擇N=4。

圖2 連續(xù)模型Galerkin離散收斂性分析

另外,為了收斂離散模型的正確性,將GM與直接數(shù)值方法-微分求積單元法(differential quadrature element method,DQEM)進行了對比。對比結(jié)果如圖3所示,兩種方法的幅頻仿真結(jié)果幾乎完全重合,證實了四階Galerkin截斷系統(tǒng)可以在前兩階頻率范圍內(nèi)精確表達原連續(xù)系統(tǒng)動力學(xué)特性。由此可見GM法作為一種模態(tài)離散方法,在關(guān)注模態(tài)頻率范圍內(nèi),有限自由度的截斷便可以得到足夠精確的動力學(xué)結(jié)果,且解在空間和時間上是連續(xù)的,因此廣泛用于連續(xù)體動力學(xué)分析。而DQEM是一種空間離散方法,為得到收斂的高精度結(jié)果,需要對連續(xù)體進行多節(jié)點插值離散,計算方程較多,且僅在時間上連續(xù)。因此本工作中僅作為GM法的驗證手段,而非主要研究手段。

圖3 四階離散模型與連續(xù)模型精度對比

3 算例分析

圖4分析了微彎液壓管道在受迫雙激勵作用下頻率離散系數(shù)取不同值時的幅頻響應(yīng)。由于頻率離散系數(shù)n決定了激勵頻率差大小,n取值越大,頻率差越小。由圖4可見,隨著頻率差的減小,共振峰逐漸由兩個峰合并成為了一個峰。不過,在此過程中,管道中點響應(yīng)并非一直是周期響應(yīng)。

圖4 雙共振峰隨激勵頻率差減小的合并演化過程

圖5給出了當頻率離散系數(shù)n=20時不同平均激勵頻率下管道中點位置的時域響應(yīng)。易看出在雙頻激勵作用下發(fā)生拍振現(xiàn)象。從周期性來看,圖5(b)很難發(fā)現(xiàn)周期規(guī)律,而圖5(a)和圖5(c)是有一定的周期性的。

圖5 Ω取不同值時管道中點位置的時域響應(yīng)

圖6 給出了頻率離散系數(shù)n=20 時管道中點位置隨激勵平均頻率Ω變化的分岔圖,以及相對應(yīng)的最大李亞普諾夫穩(wěn)定性判定圖,最大李亞普諾夫判定具體方法參考文獻[29]。充分證實了Ω在 [178 181.7]存在混沌現(xiàn)象。

圖6 n=20時管道最大李亞普諾夫穩(wěn)定性判定

為了進一步說明系統(tǒng)振動隨激勵頻率變化時存在非周期振動,圖7給出了頻率離散系數(shù)n分別為5,15,20,30,40和50時以Ω為分岔控制參數(shù)的分叉圖。圖中豎線區(qū)域內(nèi)為會發(fā)生非周期振動的區(qū)間,從圖的分析結(jié)果可以當n=5時,未出現(xiàn)混沌現(xiàn)象,如圖7(a)所示;當n的取值分別為15,20,30,40時有明顯混沌現(xiàn)象發(fā)生,且混沌發(fā)生區(qū)域呈先增大后減小的趨勢,如圖7(b)～ 圖7(e)所示;當n=50時,發(fā)生混沌的區(qū)域變小,且混沌現(xiàn)象變?nèi)?如圖7(f)所示。

圖7 以平均頻率Ω為分岔控制參數(shù)的橫向位移分叉圖

結(jié)合圖4和圖7分析發(fā)現(xiàn),由于n越大兩個激勵頻率就會越相近,當兩個頻率差較大時(n較小時)不會發(fā)生混沌現(xiàn)象,隨著兩個頻率的不斷靠近(n不斷增大)拍振現(xiàn)象出現(xiàn),在共振頻率附近出現(xiàn)混沌現(xiàn)象,且混沌區(qū)域也隨之增大;當兩個頻率靠的越來越近時,混沌區(qū)域增大一定程度隨之減小,混沌現(xiàn)象也變?nèi)?從機理上分析,當兩個頻率差趨近于0時(n→∞),兩個頻率重合為單頻激勵。

4 結(jié) 論

本文討論了雙頻激勵耦合作用下微曲液壓管道的非線性受迫振動問題,提出了以兩個外激勵頻率平均值為研究對象進行微曲管道振動分析的分析方式,分析了兩個激勵頻率差值對管道振動響應(yīng)的影響,發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)的分岔和混沌現(xiàn)象,得出如下結(jié)論:

(1) 微曲管道在周期雙頻受迫激勵作用下,激振頻率接近共振頻率時,會發(fā)生強非周期振動。

(2) 隨著兩個激勵頻率差值的減小,共振峰由兩個峰逐漸合成為一個峰。

(3) 兩個激勵頻率相差較小時在共振附近會出現(xiàn)混沌現(xiàn)象,隨著頻率差值的減小,管道的混沌區(qū)域先增大后減小,混沌現(xiàn)象隨之先增強后減弱。