易損件在連續跌落沖擊載荷作用下的動力學響應

伍 瑾, 盧富德, 王 彪, 滑廣軍, 高 德

(1. 湖南工業大學 包裝與材料工程學院,湖南 株洲 412007; 2. 浙江大學 寧波理工學院,浙江 寧波 315100)

聚合物泡沫材料被廣泛用作能量吸收材料[1-3],其中發泡聚乙烯(expanded polyethylene,EPE)由于質輕及良好的緩沖效果,被廣泛應用于緩沖包裝。針對聚合物泡沫的緩沖性能,目前已有許多研究[4-5],研究者們常利用材料的緩沖曲線進行研究。傳統的緩沖曲線測定方法耗時耗力[6],研究者們則嘗試建立模型實現緩沖曲線的預測[7-8]或借助有限元軟件的模型進行模擬[9-10],兩者多用于研究材料在單次沖擊下的特性。但實際情況下,產品在運輸過程中會經歷多次跌落沖擊,緩沖材料在多次沖擊下表現出的性能往往與僅考慮單次沖擊的情況有較大不同。目前的緩沖設計多基于緩沖曲線,但緩沖曲線不能描述材料在加載-卸載循環下的變形行為,也不能反映實際情況下沖擊響應對產品內部的易損件的影響。Mills等[12]利用有限元模擬預測了低密度閉孔EPE的壓縮沖擊響應,考慮了EPE在載荷加載再卸載過程下的響應情況。Ozturk等[13]利用有限元模擬對聚苯乙烯泡沫(expanded polystyrene,EPS)在靜態壓縮加載-卸載循環下的變形行為進行了研究,但他們沒有考慮聚合物泡沫在動態壓縮下的變形行為。Lu等[14]引入了特殊函數來描述EPE在加載-卸載循環條件下的力學響應,并建立了考慮應變率及殘余應變的本構模型,該模型可以描述EPE在多次動態沖擊下的變形行為。有文獻[15-16]建立了易損件與產品主體耦合的常見模型,但目前還未見具有易損件產品受到連續跌落載荷下EPE緩沖性能分析與設計。

在實際情況中,包含易損件的產品在多次沖擊下能否保持完好,需要定量分析產品模型與緩沖材料之間的相互作用。本文根據EPE在加載-卸載循環條件下的一維本構關系,建立易損件-產品-泡沫緩沖系統動力學方程,分析多次跌落對EPE緩沖性能及含易損件產品的影響。

1 聚乙烯泡沫本構模型

基于實際結構變形的微觀力學模型復雜且成本高。因此,在現象學層面建立本構模型時,沒有考慮材料實際的內部結構和變形行為。假定泡沫體是連續體,可以用數學公式描述其力學響應。根據Lu等的研究,選取密度是34 kg/m3的EPE(比常見的密度為28 kg/m3的EPE偏硬,應力-應變曲線多了一個應力平臺),EPE在加載-卸載循環條件下的典型響應如圖1所示,卸載過程從Q點開始,在R點結束,接著從R點開始下一個循環。

圖1 聚乙烯泡沫在加載-卸載循環條件下的典型響應示意圖

以此建立的EPE的一維宏觀關系如式(1)～式(3)所示。式(1)為加載階段,式(2)為卸載階段,式(3)為再加載階段

(1)

εre=g1εme+g2

(4)

(5)

(6)

(7)

c2(εre)=J1εre+J2

(8)

因此,在式(1)～式(3)所建的本構關系里,有σY,E,k,a1,a2,a3,a4,g1,g2,k1,k2,k3,k4,J1,J2等15個待識別參數來表征EPE加載-卸載階段以及再次加載的復雜力學行為,具體參數如表1所示。

表1 EPE一維本構方程參數值

2 易損件-產品-泡沫緩沖系統動力學模型

對于具有易損件的產品,產品可以離散為產品主體與易損件,根據產品的加速度響應可以計算出易損件的加速度-時間曲線[17]。由于易損件的質量遠小于產品質量,所以不必考慮易損件動力學響應對產品主體的影響規律。由易損件、產品與泡沫組成的緩沖系統示意圖如圖2所示,分別取產品、易損件的中心位置為坐標x,y原點,規定向下為正方向。

圖2 易損件-產品-泡沫緩沖系統動力學模型

對于理想的彈塑性材料,應力、真實接觸面積和負荷的關系可用式(9)表達

F=Aσ

(9)

當產品跌落后,EPE發生變形,產品主體產生位移x,易損件產生位移y,此時EPE的應變和應變率為

(10)

則產品主體的運動方程為

(11)

易損件進行近似完整的正弦波沖擊過程,則其運動方程式為

(12)

根據式(11)及式(12),可得出系統的動力學振動方程為

2.1 多次沖擊系統加速度響應

為研究易損件-產品-泡沫緩沖系統在多次沖擊下的加速度響應,基于式(13),采用參數m=10 kg,fs=60 Hz,A=0.02 m2,h=0.045 m,v0=3.43 m/s。可得到系統進行連續三次沖擊下的產品主體加速度響應與易損件加速度響應,如圖3所示。

圖3 產品和易損件加速度響應

圖3(a)中產品在第一次沖擊下加速度先進行線性增加,再進行非線性增加至及速度峰值,之后逐漸降低,最后恒定為零,但第二、第三次沖擊下未出現此行為,并且在第二、第三次沖下加速度峰值明顯增大,說明EPE襯墊在經過第一次沖擊后發生軟化,導致緩沖性能有所下降;加速度峰值左移說明產品加速度更快達到峰值,緩沖時間減短,對產品的緩沖保護作用減小。圖3(b)中易損件在完成一個近似完整的正弦波沖擊過程后,開始進行簡諧振動,后兩次沖擊下的加速度峰值是第一次沖擊下加速度峰值的兩倍。不管是產品還是易損件,它們在第二次沖擊和第三次沖擊下的加速度-時間曲線幾乎重合,說明EPE襯墊在經歷第一次沖擊后緩沖性能已經大幅降低。

對第一次沖擊下產品和易損件的加速度響應進行比較,如圖4所示。易損件和產品幾乎同時到達加速度峰值,易損件的加速度峰值要高于產品的加速度峰值,若易損件的固有頻率選擇較小,其峰值將右移。且在產品加速度恒為0后,易損件依舊進行簡諧振動,說明沖擊對易損件造成的影響持續時間較長。

圖4 第一次沖擊下產品和易損件加速度響應

2.2 不同頻率系統沖擊譜響應

為研究易損件-產品-泡沫緩沖系統在不同頻率下的沖擊譜響應,基于式(13),采用參數m=10 kg,A=0.02 m2,h=0.045 m,v0=3.43 m/s,給定頻率f的區間10～80 Hz,得出易損件最大加速度G1m隨頻率f的變化關系,如圖5所示。根據圖5所示,G1m隨著f的增大先升高后降低,這是因為系統在特定頻率下發生共振,在共振頻率下,很小的周期振動便可產生很大的振動,這是由于系統儲存了動能。共振使G1m增大,且隨著沖擊次數的增多,共振時的頻率右移,在進行緩沖設計時需要避免易損件-產品-泡沫緩沖系統發生共振。

圖5 不同頻率下系統沖擊譜

3 數值設計算例

基于減量化原則來進行緩沖包裝設計時,常需要通過多次試驗來確定最合適的緩沖襯墊橫截面積及厚度。進行曲線預測可以達到減少試驗周期和試驗成本的目的。

給定易損件固有頻率以及極限加速度信息,即可通過求解振動方程式(13),得到合適的EPE緩沖襯墊尺寸。給定參數質量m=10 kg,頻率fs=60 Hz,沖擊初速度v0=3.43 m/s,極限加速度aj=120 m/s2,厚度h分別為0.035 m,0.04 m,0.045 m的三種EPE緩沖襯墊。基于式(1)～式(3)及式(13),利用數值計算軟件可畫出EPE緩沖曲線圖如圖6所示,連續跌落兩次下易損件的最大加速度-襯墊面積圖如圖7所示。

圖6 緩沖曲線

圖7 易損件加速度-襯墊面積關系

基于減量化設計原則,緩沖襯墊在達到要求緩沖作用的前提下應盡量選擇較小的尺寸。根據圖6所示:當h=0.035 m時,EPE緩沖襯墊面積為0.041 m2,體積為0.001 435 m3;當h=0.04 m時,EPE緩沖襯墊面積為0.022 m2,體積為0.000 88 m3;當h=0.045 m時,EPE緩沖襯墊面積為0.017 m2,體積為0.000 765 m3。根據減量化原則,應選擇體積更小的EPE緩沖襯墊,即h=0.045 m,A=0.017 m2。

考慮易損件在多次跌落沖擊下的影響,根據圖7(b)所示,當緩沖襯墊厚度h=0.035 m時,易損件第二次跌落時加速度超過極限加速度aj,因此不能選擇h=0.035 m的EPE緩沖襯墊。暫擬定EPE緩沖襯墊厚度為0.04 m或0.045 m。取圖7(b)中h=0.04 m和h=0.045 m兩條曲線與G1=aj=120 m/s2的交點A,B。近似地取點A的橫坐標為0.012,即橫截面積為0.012 m2,此時EPE緩沖襯墊體積為0.000 54 m3;點B的橫坐標為0.016,即橫截面積為0.016 m2,此時EPE緩沖襯墊體積為0.000 64 m3。根據減量化原則,應選擇體積更小的EPE緩沖襯墊,即選擇h=0.045 m,A=0.012 m2為最終設計尺寸。根據易損件加速度-襯墊面積關系所求出來的襯墊尺寸小于緩沖曲線求出的襯墊尺寸,可以避免產品過度包裝。

4 結 論

(1)第一次跌落沖擊下,產品的加速度響應既有線性階段又有非線性階段,而第二、第三次跌落沖擊下,產品未呈現此現象且加速度峰值明顯增大,說明多次沖擊下EPE緩沖性能降低,保護作用減小。

(2)系統在特定頻率下會發生共振,導致易損件響應增大,且該特定頻率會隨著跌落次數的增多而增大。

(3)緩沖曲線沒有描述沖擊對易損件造成的影響,建立易損件-產品-泡沫緩沖系統動力學模型,利用本構關系可以算出連續多次載荷下的緩沖設計。

(4)在進行緩沖設計時,結合不同厚度的易損件加速度-襯墊面積關系曲線,與緩沖曲線進行對比,能夠避免過度包裝。