稀疏度自適應(yīng)匹配追蹤的欠采樣BTT信號重構(gòu)方法

張繼旺, 唐 雨, 丁克勤, 張 旭, 陳 光

(1.中國特種設(shè)備檢測研究院,北京 100013; 2.中國石油西南油氣田分公司 安全環(huán)保與技術(shù)監(jiān)督研究院,成都 610000)

高速旋轉(zhuǎn)葉片是航空、電力、石化等行業(yè)關(guān)鍵動(dòng)力設(shè)備的核心部件,一旦發(fā)生失效斷裂將導(dǎo)致災(zāi)難性后果,因此對其運(yùn)行狀態(tài)進(jìn)行監(jiān)測與分析具有重要意義[1]。傳統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)葉片檢測監(jiān)測方法主要通過在葉片表面粘貼應(yīng)變片法來測量其變形及振動(dòng)狀態(tài),但該方法存在安裝復(fù)雜、在線測試難、壽命短的不足[2]。近年來葉尖定時(shí)技術(shù)的提出和發(fā)展為解決高速葉片的在線監(jiān)測提供了一條可行的方法,已成為領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)[3]。該技術(shù)是利用安裝在旋轉(zhuǎn)葉片端部設(shè)備機(jī)殼上的傳感器來記錄葉片到來時(shí)刻,并通過對這一系列的到達(dá)時(shí)刻進(jìn)行分析處理來間接獲取葉片振動(dòng)狀態(tài)的方法[4-5],由其測量原理可知,每個(gè)葉片在旋轉(zhuǎn)一周內(nèi)單個(gè)傳感器僅能測的一個(gè)振動(dòng)值,葉片振動(dòng)頻率又遠(yuǎn)大于設(shè)備轉(zhuǎn)頻,這就導(dǎo)致所測取的數(shù)據(jù)屬于嚴(yán)重的欠采樣信號,成為限制了該技術(shù)應(yīng)用的關(guān)鍵因素之一。

目前針對葉尖定時(shí)信號的處理方法有速矢端跡法、多傳感器均布法、差頻法、“5+2”分布法等[6-7],其中,矢端跡法要求不斷改變轉(zhuǎn)速進(jìn)行采樣,因此無法適用于實(shí)際測量中;多傳感器均布法、差頻法和“5+2”需要安裝的傳感器數(shù)量較多,且這些方法均需借助先驗(yàn)知識才能最終確定葉片振動(dòng)頻率大小,從而限制了應(yīng)用范圍。上述研究均為對葉片振動(dòng)頻率參數(shù)進(jìn)行辨識的方法,而目前對葉尖定時(shí)時(shí)域信號開展的研究較少,公開文獻(xiàn)僅調(diào)研到天津大學(xué)提出了采用B樣條插值法的葉片振動(dòng)信號恢復(fù)算法,但由于核函數(shù)的選取及相關(guān)系數(shù)如何準(zhǔn)確確定依然是一個(gè)難題,同時(shí)該方法恢復(fù)結(jié)果有一定不可忽略的誤差,難以滿足葉片振動(dòng)狀態(tài)參數(shù)準(zhǔn)確辨識的需求[8]。

針對傳統(tǒng)葉尖定時(shí)信號處理方法中存在的不足,近年來稀疏重構(gòu)理論為其提供了新思路,擬通過該理論利用所采集的欠采樣信號恢復(fù)出滿足采樣定理的時(shí)域信號,解決因信號欠采樣帶來的信號分析難題。同時(shí)論文針對實(shí)際測量中稀疏度不確定性問題提出了稀疏度自適應(yīng)的匹配追蹤(sparsity adaptive matching pursuit, SAMP)算法對傳統(tǒng)的稀疏重構(gòu)算法進(jìn)行改進(jìn),提高重構(gòu)的效果。

1 基于葉尖定時(shí)的欠采樣信號分析

1.1 葉尖定時(shí)測量法的基本原理

葉尖定時(shí)法是一種非接觸式的葉片振動(dòng)測量方法,其本質(zhì)是通過記錄旋轉(zhuǎn)葉片通過靜止安裝在機(jī)殼上傳感器的時(shí)間間隔,并將其轉(zhuǎn)化為葉尖振動(dòng)位移來實(shí)現(xiàn)對葉片振動(dòng)量的測量[9]。基于葉尖定時(shí)的葉片振動(dòng)測量系統(tǒng)示意圖,如圖1所示。

圖1 葉尖定時(shí)技術(shù)原理示意圖

將若干個(gè)定時(shí)探頭(如圖1中的S1,S2和S3)安裝在葉尖外圍的機(jī)殼上,通過記錄葉片端部通過時(shí)的時(shí)間信息(如圖1中測量信號的脈沖信號序列),如圖1中的脈沖信號,當(dāng)葉片一旦發(fā)生振動(dòng),則旋轉(zhuǎn)葉片每圈通過這些傳感器所需的時(shí)間將會產(chǎn)生變化,從而產(chǎn)生一系列的時(shí)間差值序列{Δt1,Δt2,Δt3,…},通過對這些時(shí)間差序列進(jìn)行處理,即可得到對應(yīng)葉片的振動(dòng)信息。圖1中的SZ是轉(zhuǎn)速同步傳感器。設(shè)葉片的到達(dá)時(shí)刻與無振動(dòng)時(shí)葉片的到達(dá)時(shí)刻的差值為Δt,轉(zhuǎn)速為Ω,則可得葉片的振動(dòng)位移y為

y=Ω·Δt

(1)

由葉尖定時(shí)技術(shù)的測振原理可知,單個(gè)葉尖定時(shí)傳感器的系統(tǒng)采樣頻率即為葉片的轉(zhuǎn)頻,由于此類設(shè)備結(jié)構(gòu)的限制,旋轉(zhuǎn)葉片外圍機(jī)殼一般無法安裝過多傳感器,但葉片振動(dòng)頻率又遠(yuǎn)高于其轉(zhuǎn)頻,所測得的葉尖定時(shí)信號的采樣頻率遠(yuǎn)小于葉片的振動(dòng)頻率,無法奈奎斯特采樣定理要求,所獲取的信號屬于嚴(yán)重的欠采樣信號。如果直接對這些欠采樣信號進(jìn)行時(shí)頻變換,所得到信息僅為葉片真實(shí)振動(dòng)頻率的差頻信號,難以得到葉片的真實(shí)振動(dòng)信息。如果能利用這些少量的欠采樣信號在時(shí)域進(jìn)行重構(gòu),還原出滿足采樣定理要求的葉片振動(dòng)信號,再進(jìn)行相關(guān)分析處理,將能夠準(zhǔn)確獲取葉片振動(dòng)信息,從而實(shí)現(xiàn)葉片振動(dòng)狀態(tài)的判別。

1.2 基于葉尖定時(shí)的欠采樣模型

為了更直觀表示葉尖定時(shí)技術(shù)的采樣原理,用數(shù)學(xué)模型對采樣過程進(jìn)行描述,旋轉(zhuǎn)葉片的振動(dòng)模型的可視為多個(gè)單自由度簡諧振動(dòng)的組合[10],用余弦函數(shù)表示為

(2)

式中:A,f,φ和C分別為振幅、頻率、初始相位和系統(tǒng)偏移常數(shù);Q為振動(dòng)的總階次;fi為第i階次葉片振動(dòng)的頻率。

由葉尖定時(shí)采樣原理可知,系統(tǒng)在單位時(shí)間內(nèi)可采集到每個(gè)葉片的振動(dòng)位移點(diǎn)與所布設(shè)的傳感器數(shù)量成正比。以葉片一階振動(dòng)為例,結(jié)合工程實(shí)際假定旋轉(zhuǎn)葉片轉(zhuǎn)速為6 000 r/min,振動(dòng)頻率為800 Hz,振幅為1 mm,初始相位為0。那么葉片完整的振動(dòng)波形,單傳感器、2均布傳感器和3均布傳感器采樣點(diǎn)如圖2所示,因同步振動(dòng)會導(dǎo)致所采樣的信號點(diǎn)重復(fù),不在本文討論范圍內(nèi)。

圖2 葉尖定時(shí)采樣原理示意圖

由圖2也可以看出,當(dāng)葉片完成若干振動(dòng)周期時(shí)葉尖定時(shí)傳感器才能采集到一個(gè)葉片振動(dòng)值,且采集點(diǎn)數(shù)隨傳感器數(shù)量增加而成倍增加,因此尖定時(shí)信號是屬于嚴(yán)重的欠采樣性。且采樣頻率由葉片旋轉(zhuǎn)速度和傳感器數(shù)量共同決定,難以滿足采樣定理的要求。

2 基于稀疏重構(gòu)的葉尖定時(shí)信號處理方法

2.1 稀疏重構(gòu)基本理論

與傳統(tǒng)的Nyquist采樣定理要求不同,稀疏重構(gòu)的核心思想是直接采集信號的有效信息y(設(shè)數(shù)據(jù)長度為M),而不是必須滿足采樣定理得到的完整信號s(設(shè)數(shù)據(jù)長度為N),這樣就可降低采樣率,且打破了采樣定理的要求,即M?N。由于一維信號的實(shí)質(zhì)就是一組一維向量,由線性代數(shù)可知,可以將其表示為一個(gè)特征向量和一個(gè)矩陣的乘積,這個(gè)過程可以用圖3來表示[11]。圖3中:Φ稱為測量矩陣,大小為M×N;Ψ為稀疏基矩陣,如果信號本身是稀疏的,則不需要進(jìn)行稀疏變換,這時(shí)Ψ=1,即Θ與Φ相同。

圖3 一維數(shù)據(jù)稀疏表示示意圖

上述過程數(shù)學(xué)表達(dá)方程如式(3)所示

y=Φ·Ψ·s=Θ·s

(3)

對于上述過程中,假設(shè)我們已知所測量的數(shù)據(jù)y,再構(gòu)造合適的測量矩陣Θ,就可重構(gòu)出原始的信號s,這一過程就稱之為信號的稀疏重構(gòu),其核心就是在已知測量值和測量矩陣的基礎(chǔ)上,反向求解欠定方程式(3)。由于Θ不是一個(gè)方陣(M

(4)

由于式(4)的求解是個(gè)NP難問題(在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)難以求解,甚至無法驗(yàn)證解的可靠性)。由于L1最小范數(shù)下在一定條件下和L0最小范數(shù)具有等價(jià)性,可得到相同的解。那么式(4)轉(zhuǎn)化為L1最小范數(shù)下的最優(yōu)化問題,如式(5)所示

(5)

當(dāng)前對于該問題的求解有貪婪迭代算法、凸優(yōu)化算法等[14]已被證明,在此不再贅述。

2.2 稀疏度自適應(yīng)的匹配追蹤算法

傳統(tǒng)的稀疏重構(gòu)算法需要已知信號的稀疏度K,而實(shí)際中稀疏度很難預(yù)先確定[15],而對于葉尖定時(shí)這種嚴(yán)重欠采樣信號稀疏度的確定更加困難。針對這一問題,論文提出了采用稀疏度自適應(yīng)匹配追蹤算法進(jìn)行葉尖定時(shí)信號的重構(gòu)。該算法可以在未知稀疏度條件下實(shí)現(xiàn)對所有滿足有限等距性質(zhì)(restricted isometry property, RIP)條件的稀疏信號進(jìn)行快速重構(gòu),SAMP算法核心是利用分步長step逐步實(shí)現(xiàn)對稀疏度K的逼近,從而實(shí)現(xiàn)稀疏度未知的條件下的信號重構(gòu)。

SAMP算法的主要過程包括:

輸入:M維測量向量y,M×N測量矩陣Φ(詳見后續(xù)構(gòu)建過程),階段步長step ≠ 0;

輸出:信號x的K稀疏近似

具體流程如下:

步驟1初始化r0=y,∧0≠?,L=S,t=1;

步驟2計(jì)算u=abs[ATrt-1](即計(jì)算,1≤j≤N),選擇u中L個(gè)最大值,將這些值對應(yīng)A的序列號j構(gòu)成集合Sk(列序號集合);

步驟3令Ck=∧t-1∪Sk,Ay={aj} (for allj∈Ck);

步驟4求y=Atθt的最小二乘解

符號說明:rt為殘差;t為迭代次數(shù);?為空集;∧t為t次迭代的索引集合;aj為矩陣A的第j列;Ay={aj} (for allj∈Ck)為按索引集合Ck選出的矩陣A的列集合,為Lt×1的列向量;符號為集合并運(yùn)算,為求向量內(nèi)積,abs[?]為求模值。

上述步驟中,輸入?yún)?shù)包括測量向量y和測量矩陣Φ,其中y即為所測取的定時(shí)信號,是已知的,那么Φ的構(gòu)造成為重構(gòu)信號準(zhǔn)確性的關(guān)鍵,參考文獻(xiàn)[16]所提出的測量矩陣構(gòu)造方法,旋轉(zhuǎn)葉片的低階振動(dòng)表達(dá)方程見式(2),由于相位不影響頻率和幅值,為了簡化推導(dǎo)過程,此處將相位設(shè)為0,則式(2)能簡化成式(6)

s(t)=A·cos(2π·f·t)+C1

(6)

式中, C1為系統(tǒng)偏移的一個(gè)常量。

假設(shè)采樣了n個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn),這些采樣點(diǎn)按照采樣的先后順序記為y=[y1,y2,…,yn]T,則式(6)振動(dòng)方程的系數(shù)表達(dá)式記為x=[A,C1]T, 則式(2)可以被表達(dá)為

y=H·x

(7)

式中,H為反應(yīng)振動(dòng)特性和采樣點(diǎn)數(shù)的矩陣,簡稱構(gòu)造矩陣,它只與旋轉(zhuǎn)葉片的振動(dòng)頻率及傳感器的數(shù)量相關(guān),它的表達(dá)式可表示為

(8)

那么式(5)振動(dòng)方程的系數(shù)表達(dá)式可以表示為構(gòu)造矩陣的H的偽逆與采樣點(diǎn)數(shù)據(jù)的乘積

x=H?y

(9)

由式(9)可知,未知參數(shù)僅有頻率,這可以通過提前標(biāo)定測試或數(shù)值仿真來獲取。這樣我們就構(gòu)造出稀疏重構(gòu)過程中的測量矩陣H?。

上述為葉片一階振動(dòng)的測量方程構(gòu)造過程,對于多維振動(dòng),振動(dòng)方程可以表示為

(10)

式中:Q為振動(dòng)的階次;fi為第i階次葉片振動(dòng)的頻率,那么構(gòu)造矩陣H可以表示為式(11)

(11)

式中,t1,t2,…,tN為葉片到達(dá)傳感器的時(shí)間序列。

與式(9)相似,求解式(11)矩陣的H的偽逆就可以構(gòu)造了合理的測量矩陣,其維度與所測數(shù)據(jù)點(diǎn)相同。

3 所提方法可行性與有效性驗(yàn)證

3.1 數(shù)值建模信號重構(gòu)分析

由葉尖定時(shí)采樣原理可知,假定葉片旋轉(zhuǎn)頻率為Fr,布設(shè)了n個(gè)傳感器,則系統(tǒng)的采樣頻率為n*Fr, 由于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的限制,這些傳感器無法均勻布置,假定以第1個(gè)傳感器為基準(zhǔn)點(diǎn),第2個(gè)～第n個(gè)傳感器分別以ω1,ω2,…,ωn-1,的角間隔布設(shè),如圖4所示。

圖4 多傳感器布設(shè)示意圖

假定葉到達(dá)第1個(gè)傳感器的時(shí)刻記為0時(shí)刻, 則第j個(gè)傳感器對某個(gè)葉片所采樣的振動(dòng)數(shù)據(jù)表達(dá)方程如式 (12)所示

(12)

再將這些傳感器的采樣時(shí)刻進(jìn)行插值處理就可得到葉這一組傳感器的采樣序列,但考慮系統(tǒng)的測量誤差,我們可以在測量結(jié)果中加入一定能量的白噪聲如式(13)所示

uj′=awgn(uj′,d)

(13)

那么所測得的采樣信號如式(14)所示

yj′=A*sin(2π·f·uj′)

(14)

假定在機(jī)殼外圍半周內(nèi)均布了6個(gè)傳感器,如圖5所示。

圖5 傳感器布設(shè)示意圖

參考試驗(yàn)臺的參數(shù),將葉片的轉(zhuǎn)速設(shè)為3 000 r/min,振動(dòng)幅值設(shè)為0.014 mm,葉片的低階振動(dòng)頻率設(shè)為137.2 Hz(仿真建模所得),每個(gè)傳感器采集25個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn),按照式(14)獲取理想狀態(tài)的采樣結(jié)果,如圖6所示,對應(yīng)的頻域波形如圖7所示。

圖6 數(shù)值建模采樣信號

圖7 頻域波形

由圖6和圖7可以看出,所采集的信號時(shí)域波形不完整,頻域波形成分與實(shí)際不相符。然后基于所提出的方法進(jìn)行信號重構(gòu),重構(gòu)信號時(shí)域波形如圖8所示,對應(yīng)的頻域波形如圖9所示。

圖8 重構(gòu)信號時(shí)域波形圖

圖9 重構(gòu)信號頻域波形圖

由圖8圖9可以看出,重構(gòu)所得的完整信號時(shí)域波形與所假定的葉片完整振動(dòng)波形一致,振動(dòng)幅值為0.014 mm, 振動(dòng)頻率成分與設(shè)定數(shù)據(jù)接近,峰值頻率為137.4 Hz(與理想值相差0.2 Hz,誤差0.14%),表明所提方法對理想采樣數(shù)據(jù)具有良好的重構(gòu)效果。

考慮實(shí)際采樣中有一定的測量誤差,按式(14)在測量數(shù)據(jù)中分別加入信噪比為10 dB,20 dB,30 dB和40 dB的高斯白噪聲,然后進(jìn)行重構(gòu),重構(gòu)所得到的時(shí)域采樣結(jié)果如圖10所示,相對應(yīng)的頻域波形如圖11所示。

圖10 重構(gòu)信號時(shí)域波形圖

圖11 重構(gòu)信號頻域波形圖

由圖10可以看出,在考慮一定測量誤差的情況下,所重構(gòu)出的時(shí)域波形振幅與理想波形振幅存在一定的的誤差,特別是信噪比小于20 dB時(shí),誤差較大,達(dá)到0.005 mm這一量級,但當(dāng)信噪比大于20 dB時(shí),誤差減小至0.002 mm。由圖11可以看出,測量誤差對頻域波形影響較小,均為137.4 Hz,說明所提方法具有一定的的扛干擾性,但測量誤差較大時(shí),會影響時(shí)域波形的重構(gòu)效果,在工程應(yīng)用中應(yīng)保證測量精度。

3.2 試驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證方法的可靠性,又利用試驗(yàn)臺對所提方法進(jìn)行了測試驗(yàn)證,試驗(yàn)臺如圖12所示,該試驗(yàn)臺由包括電機(jī)、聯(lián)軸器、齒輪箱、傳感器、葉片墊板、底座和外徑為300 mm的葉片,共有32個(gè)葉片,試驗(yàn)中在該試驗(yàn)臺均勻布置了6個(gè)定時(shí)傳感器(本特利330903型電渦流傳感器),采集卡選用美國MCC公司的DT9857E,采樣頻率設(shè)為20 kHz,對任一葉片振動(dòng)位移采集50個(gè),實(shí)測的采樣信號如圖13所示。

圖12 測試試驗(yàn)臺

圖13 實(shí)測采樣信號

同時(shí)為了驗(yàn)證重構(gòu)結(jié)果的準(zhǔn)確性,采用動(dòng)力學(xué)仿真軟件ADAMS模擬了該葉片振動(dòng)頻率,為137.2 Hz,模擬效果示意圖如圖14所示。

圖14 旋轉(zhuǎn)葉片動(dòng)力學(xué)仿真

然后基于所提的重構(gòu)方法利用實(shí)測的數(shù)據(jù)進(jìn)行重構(gòu),重構(gòu)結(jié)果如圖15所示,對應(yīng)的頻域波形如圖16所示。

圖15 實(shí)測信號重構(gòu)結(jié)果

圖16 實(shí)測重構(gòu)信號頻域波形圖

由圖15和圖16可以看出,基于所提算法實(shí)現(xiàn)了實(shí)測葉尖定時(shí)信號的重構(gòu),時(shí)域波形最大幅值為0.142 mm,重構(gòu)信號頻率為137.3 Hz,與有限元模擬結(jié)果分別相差0.002 mm和0.1 Hz,誤差率僅為1.4%和0.07%,這個(gè)誤差量級在實(shí)際測試中處于可接受水準(zhǔn),表明為該方法對欠采樣信號重構(gòu)具有良好的效果。

4 結(jié) 論

論文主要針對葉尖定時(shí)技術(shù)因欠采樣導(dǎo)致分析難的問題進(jìn)行了研究,所取得的主要結(jié)論如下:

(1)提出了基于稀疏重構(gòu)理論的葉尖定時(shí)信號重構(gòu)方法,構(gòu)建了適用于稀疏重構(gòu)的測量矩陣,并對傳統(tǒng)稀疏重構(gòu)方法中因稀疏度進(jìn)行了改進(jìn),實(shí)現(xiàn)了稀疏度未知條件下信號的準(zhǔn)確重構(gòu)。

(2)建立完善了葉尖定時(shí)技術(shù)采樣過程的數(shù)值模型,推導(dǎo)了任意數(shù)量傳感器及分布狀態(tài)下的葉尖定時(shí)信號數(shù)值采樣表達(dá)式。

(3)最后,采用數(shù)值建模信號和實(shí)測信號對所提出重構(gòu)分析方法進(jìn)行了可行性和有效性驗(yàn)證,結(jié)果顯示所提方法所重構(gòu)的信號與仿真建模結(jié)果時(shí)域波形誤差1.4%,頻率成分誤差小于0.1%,處于可接受誤差范圍內(nèi),表明該方法具有良好的重構(gòu)效果。