一種改進窗函數非線性組合法的旁瓣抑制性能研究

韋 旺，汪 潔，朱 琪，繆文杰，葛俊祥

（1.南京信息工程大學電子信息工程學院，江蘇南京 210044；2.南京信息工程大學雷達技術研究所，江蘇南京 210044）

0 引言

脈沖壓縮是現代雷達的一種重要體制，它既能克服雷達作用距離與分辨率的矛盾，也是雷達反隱身抗電子干擾以及對抗ARM 的有力手段［1］。脈沖壓縮是通過發射較大時寬的脈沖信號，加大發射的平均功率，從而提高雷達作用距離；在雷達接收端通過接收經過脈沖壓縮后的窄脈沖信號，從而獲得較高的雷達距離分辨率［2］。依據調制信號波形，雷達脈沖壓縮采用的信號可分為線性調頻（LFM）信號、非線性調頻信號和相位編碼信號。由于LFM 信號結構簡單，多普勒性能良好，并且不會引起信噪比損失，因此是目前應用最為廣泛的脈沖壓縮信號。該信號的缺點是在脈沖壓縮后常會產生較高的距離旁瓣，影響雷達的小目標檢測能力。

針對LFM 信號脈沖壓縮后距離旁瓣較高的問題，國內外對此已有相關研究成果。文獻［3］提出一種基于最小二乘迭代的旁瓣抑制方法，獲得了較小的主瓣展寬比和峰值旁瓣比，但缺點是迭代系數不易控制，且計算量較大；文獻［4-5］通過頻譜修正方法抑制脈壓后的旁瓣，但抑制效果不明顯，且導致主瓣展寬和信噪比損失增加；文獻［6］提出了一種窗函數雙向加權法，獲得了較低的峰值旁瓣，不過卻嚴重地展寬了主瓣；文獻［7］通過在時域中設計了一種新的窗函數，但該窗函數旁瓣抑制比不高，且帶來了信噪比損失的增加；文獻［8］應用加權網絡方法降低旁瓣，通過先計算出輸出信號的能量譜密度，然后計算脈沖壓縮的傳遞函數，該方法計算量較小但旁瓣抑制比不高；文獻［9］提出了應用人工神經網絡的方法，通過控制雷達接收波形與輸出波形之間的映射關系來抑制旁瓣，但該方法計算量較大，且魯棒性較低。就工程設計而言，窗函數加權脈沖壓縮是最容易和最常見的旁瓣抑制方法。窗函數加權技術引入具有海明窗、凱塞窗、布萊克曼窗以及泰勒窗等傳輸函數的加權網絡進行旁瓣抑制［10］。

常用脈沖壓縮的窗函數加權法分為單向加權法和雙向加權法，傳統的窗函數單向加權法通過在接收端對匹配濾波器系數時域窗函數加權來抑制旁瓣，雙向加權法是在單向加權法的基礎上，對發射信號再進行窗函數時域加權，從而進一步的抑制旁瓣［11］。不過這兩種常用的窗函數加權法都是以不同程度的主瓣展寬獲取峰值旁瓣的降低，相對單向加權法，雙向加權法脈壓后的旁瓣更低，但帶來了更嚴重的主瓣展寬增加，導致雷達距離分辨率嚴重下降［12］。

本文試圖回歸窗函數的本身研究，在LFM 信號加權窗函數脈沖壓縮的理論基礎上，通過數學方法對常用的窗函數進行分析并加以改進，尋求一種在雷達脈沖壓縮后主瓣展寬不變前提下，降低脈沖壓縮信號峰值旁瓣的新方法。

1 窗函數線性組合法的基本原理

單向窗函數加權脈壓和雙向窗函數加權脈壓的過程分別為

式中:s（t）為發射信號；h（t）為對應的匹配濾波器系數；w（t）為窗函數；y（t）為脈壓輸出；“?”表示卷積。在窗函數特性研究中［13］，發現海明窗和漢寧窗的結構相似［14］，都由一個常數和余弦函數加權組成，它們的表達式分別如下:

對這兩種窗函數的表達式分析可知，海明窗、漢寧窗可分解為矩形窗和余弦函數窗的線性組合，但這兩種組合結構相同的窗函數旁瓣抑制能力卻有較大差異，因此，基于這兩種一次余弦窗的思想，本文引出了窗函數的線性組合法，過程如下:

式中，w1和w2為窗函數線性組合法的兩種基窗函數，w3為線性組合后的窗函數，a為組合系數。為了在理論中證明窗函數線性組合法的旁瓣抑制能力，將上述組合后的窗函數w3與線性調頻信號進行加窗脈沖壓縮，設其脈壓后的信號為y(t)，由公式（1）可得窗函數線性組合法的組合窗w3加窗脈壓過程為

則脈壓輸出信號y(t)的總能量E為

將公式（5）代入可得

式中，第一項和第二項分別為基窗函數w1和w2分別做脈沖壓縮輸出的總能量，將其分別設為E1和E2，則

假設E1>E2，則

由于脈壓輸出總能量為主瓣能量與旁瓣總能量之和，若這三種窗函數w1、w2、w3脈壓后主瓣不變，由E

為了檢驗窗函數線性組合法的旁瓣抑制效果，取基窗函數w1與w2分別為三角窗與漢寧窗、變形布萊克曼窗與海明窗的兩種線性組合窗，變形布萊克曼窗表達式為

式中，w0為布萊克曼窗的表達式，窗函數組合原理如公式（5）所示。將這兩種線性組合窗分別與線性調頻信號做單向加窗脈壓與雙向加窗脈壓，該過程分別如公式（1）與公式（2）所示。為了使線性組合窗獲得理想情況下極低的旁瓣［15］，令其脈壓輸出信號y（t）主瓣不變，所有旁瓣的總能量無窮小（近似為0），由此即可推導出線性組合窗中組合系數a的值，該過程如下:

式中，t1，t2是信號y（t）的主瓣起點和終點，通過對y（t）求微分后取其零點而得。所求兩種線性組合窗的組合系數a分別為0.74 和0.7，為檢驗這兩種組合窗的加權脈壓效果，設置時寬T=20 μs，帶寬B=4 MHz，采樣頻率Fs=20 MHz，輸入信號為調頻斜率K=B/T的LFM 信號，本文所有仿真條件均與此相同。這兩種線性組合窗與其基窗函數脈沖壓縮結果對比如圖1和圖2所示。

圖1 三角窗、漢寧窗與它們的線性組合窗的脈壓對比

圖2 變形布萊克曼窗、海明窗與它們的線性組合窗的雙向脈壓結果對比

由仿真結果可知，這兩種線性組合窗分別做單向加窗脈壓與雙向加窗脈壓后，與對應的基窗函數相比，脈壓輸出的主瓣寬度基本不變、峰值旁瓣降低，三角漢寧線性組合窗相比它的基窗函數峰值旁瓣降低5 dB 以上，變形布萊克曼海明線性組合窗相比它的基窗函數峰值旁瓣降低10 dB 以上，這兩種線性組合窗遠區旁瓣較高，不過該影響相對較小。

綜上所述，窗函數線性組合法在它的基窗函數基礎上，理論上可在主瓣不變時降低脈壓信號旁瓣，并且通過仿真實驗驗證該方法在一些窗函數組合中的旁瓣抑制效果得到提高。

2 一種改進的窗函數非線性組合法

在雷達脈沖壓縮中，有些情況下需要很低的旁瓣，從而獲取更高的目標檢測率［16］。因此，本節對窗函數線性組合法改進，尋求在主瓣寬度不變下，將脈壓輸出的旁瓣進一步降低。對此，通過對窗函數線性組合法中引入一個參數r 改進該方法的組合關系，使窗函數線性組合法由傳統的線性組合關系變為非線性組合關系，改進的窗函數非線性組合法如下:

式中，w'3為非線性組合后的窗函數，w1、w2為基窗函數，a為組合系數，r為可變參數。為了證明改進的窗函數非線性組合法旁瓣抑制效果，將其與窗函數線性組合法進行脈壓結果對比，脈沖壓縮過程如公式（1）所示，設窗函數線性組合法與改進的窗函數非線性組合法脈壓輸出信號分別為y3(t)和y'3(t)，它們的脈壓輸出總能量差ΔE為

設Δw3(τ)=w3(τ)-w'3(τ)，根據公式（5）與公式（13）可得

當a趨近于1時，1-a趨近于0，此時(1-a)?w1可近似為0，則

故當0

將上式代入ΔE中可得

同理，當r>1，a→0-時，也可推得ΔE>0。故當參數r>0 時，存在組合系數a使得改進的窗函數非線性組合法脈壓輸出總能量低于窗函數線性組合法，由于脈沖壓縮輸出總能量為主瓣能量與旁瓣總量之和，若脈壓輸出信號主瓣不變，則此時改進的窗函數非線性組合法脈壓輸出旁瓣總能量低于窗函數線性組合法。因此，通過上述理論分析，證明在主瓣不變下，改進的窗函數非線性組合法相比窗函數線性組合法可取得更低的旁瓣。

為了檢驗改進的窗函數非線性組合法的旁瓣抑制效果，取與第2 節相同的基窗函數w1、w2分別為三角窗與漢寧窗、變形布萊克曼窗與海明窗的兩種非線性組合窗，并對這兩種組合窗分別進行單向加窗脈壓和雙向加窗脈壓，脈壓過程分別如公式（1）和公式（2）所示。為了便于對比，令改進的窗函數非線性組合法的參數r為自變量，組合系數a為因變量，通過對不同r值的非線性組合窗脈壓峰值旁瓣取最理想結果，求出此時組合系數a的值，該過程如公式（12）所示，參數r取不同值時兩種非線性組合窗的組合系數a的值以及加窗脈壓的峰值旁瓣比和主瓣展寬結果分別如表1、表2所示。

表1 不同參數r下的三角窗、漢寧窗及它們的組合窗單向加窗脈壓結果

表2 不同參數r下的海明窗、變形布萊克曼窗及它們的組合窗雙向加窗脈壓結果

兩種非線性組合窗的主瓣展寬、峰值旁瓣與參數r值的變化關系分別如圖3 和圖4所示。由圖3 和圖4 可知，隨著r值的增加，兩種非線性組合窗脈壓后的主瓣展寬先降低而后趨于飽和；峰值旁瓣先提高再降低又提高，最后趨于飽和，這種非線性變化的原因是當參數r靠近1 時，r與1/r都接近為1，影響較弱，所以此時組合系數a的存在產生干擾作用，主瓣展寬和峰值旁瓣趨于飽和是由于1/r隨著r的增大而趨于0，使得非線性組合窗形式趨于相同。因此，由于非線性組合窗脈壓后的峰值旁瓣隨著參數r呈非線性變化，會出現峰值旁瓣極小值點，故兩種非線性組合窗相比其對應的線性組合窗的主瓣展寬不變下可獲得更低的峰值旁瓣。

圖3 三角漢寧非線性組合窗脈沖壓縮性能和r值的關系

分別取上述表1 和表2 中相對其線性組合窗的主瓣不展寬、峰值旁瓣最低的三角漢寧非線性組合窗和變形布萊克曼海明非線性組合窗，它們的參數分別為r=2.2、a=0.96 與r=0.9、a=48，將這兩種改進非線性組合窗與其線性組合窗以及基窗函數分別進行單向加窗脈壓與雙向加窗脈壓，脈壓結果如圖5 和圖6所示。由圖5 和圖6 的脈壓結果可知，兩種非線性組合窗在主瓣寬度不變下，峰值旁瓣大幅降低，相比對應的線性組合窗峰值旁瓣分別降低7 dB 和3 dB 以上，相比對應的基窗函數峰值旁瓣分別降低12 dB和13 dB以上。

圖5 三角窗、漢寧窗及它們的非線性組合窗、線性組合窗的脈壓結果對比

圖6 變形布萊克曼窗、海明窗及它們的非線性組合窗、線性組合窗的雙向脈壓結果對比

綜上所述，在窗函數線性組合法的基礎上，改進的窗函數非線性組合法理論上可在主瓣展寬不變下，進一步降低脈壓后的旁瓣，并通過仿真實驗驗證了該方法在一些窗函數組合中的旁瓣抑制效果也進一步提高。

3 改進的窗函數非線性組合法實驗分析

3.1 改進的窗函數非線性組合法脈壓效果檢驗

為了驗證改進的窗函數非線性組合法在不同窗函數中使用效果，本節將幾種常用的窗，分別是二次冪函數窗、三角窗、漢寧窗、海明窗以及布萊克曼窗，與主瓣展寬、峰值旁瓣可調的凱塞窗用改進的窗函數非線性組合法進行組合，為了便于對比，所取凱塞窗的主瓣寬度分別與這幾種常用窗相同，對應凱塞窗階數k分別為3.3，4.9，5.7，6.6 和8.5，比較在相同主瓣展寬下，這幾種常用窗與凱塞窗以及它們的非線性組合窗的脈壓效果。改進的窗函數非線性組合法與上文相同，過程如下:

式中w'3為非線性組合后的窗函數，w1為二次冪函數窗、三角窗、漢寧窗、海明窗或布萊克曼窗，w2為與w1主瓣寬度相同的凱塞窗，a、r為使得組合窗主瓣不展寬、峰值旁瓣取最低值時的參數，該參數的求解過程與第2 節相同。二次冪函數窗的表達式如下:

與上文相同，設置時寬T=20 μs，帶寬B=4 MHz，采樣頻率Fs=20 MHz，輸入的LFM 信號調頻斜率為K=B/T。表3給出了這幾種常用窗函數與凱塞窗以及它們的非線性組合窗在相同主瓣展寬下的脈沖壓縮結果，由于LFM 信號脈壓后的旁瓣峰值會受到時寬帶寬積的限制，因此為了便于對比，該表格中的峰值旁瓣比為窗函數頻率響應的旁瓣峰值，主瓣展寬與信噪比損失為加窗脈壓后結果。

表3 相同主瓣展寬下幾種窗函數與凱塞窗以及它們的非線性組合窗的脈壓結果對比

圖7 給出了這幾種常用窗函數與凱塞窗及其非線性組合窗在相同主瓣展寬時的脈壓結果對比。

圖7 相同主瓣展寬下幾種窗函數與凱塞窗以及它們的非線性組合窗的脈沖壓縮結果對比

由表3可以看出，這幾種不同基窗函數的非線性組合窗脈壓后的主瓣展寬、峰值旁瓣比、信噪比損失等性能各不相同。由圖7（a）可知，在相同的主瓣展寬下，幾種非線性組合窗的峰值旁瓣最低，其次是凱塞窗，幾種常用窗函數的峰值旁瓣最高，幾種非線性組合窗相比凱塞窗峰值旁瓣降低4 dB以上、相比幾種常用窗函數降低7 dB 以上；由圖7（b）可知，相同的主瓣展寬下，幾種非線性組合窗信噪比損失相比其他窗函數增加了0.1～0.5 dB，該影響相對較小。

綜上所述，本文改進窗函數非線性組合法應用在多種常用的窗函數中，加窗脈壓均可達到主瓣展寬不變、峰值旁瓣降低的效果，并且在相同主瓣展寬下的旁瓣抑制能力相比凱塞窗進一步提高。

3.2 改進的窗函數非線性組合法在多目標問題的應用和分析

由于在雷達信號的多目標檢測中，若大目標的旁瓣過高則會產生虛假目標，無法準確地檢測出小信號和小目標［17］；若是脈壓后信號主瓣寬度過大，則會導致分辨率下降，無法檢測出兩個臨近的目標［18］。故本文以三目標檢測為例，檢驗改進的窗函數非線性組合法多目標檢測能力，為了便于對比，以上文中主瓣展寬相同的三角窗、k=4.7的凱塞窗以及它們的非線性組合窗為代表，分別檢驗這三種窗面對多個目標的檢測能力，其中該非線性組合窗中的參數與上文相同。

由于以上3種窗的峰值旁瓣比不同，于是設置3 個強弱不等的目標，分別在第100、130、150個采樣點上。仿真條件設置時寬T=20 μs，帶寬B=4 MHz，采樣頻率Fs=20 MHz，發射信號為調頻斜率K=B/T的LFM 信號，仿真參數與上文一致。仿真結果如圖8所示。

圖8 三角窗、凱塞窗（k=4.7）以及它們的非線性組合窗多目標加窗脈壓輸出

由圖8（a）可知，由于三角窗峰值旁瓣過高，導致第二個目標附近有很多較高的副瓣，這些副瓣強度超過另外兩個目標，因此無法準確的區分另外兩個目標。圖8（b）是k=4.7 的凱塞窗多目標脈壓輸出，其旁瓣有所下降，使第一個目標可以被區分，但是第三個較弱的目標淹沒在與其相鄰的第二個大目標的旁瓣中。圖8（c）是以三角窗和凱塞窗（k=4.7）為基窗函數的非線性組合窗多目標脈壓輸出，有著較低的旁瓣，可以很清楚地分辨這三個目標。

通過仿真實驗，驗證了上述非線性組合窗多目標加窗脈壓具有較好的旁瓣性能，在主瓣寬度不變下，相比其基窗函數旁瓣抑制能力大大提高，適用于多目標的檢測。本節基于改進的窗函數非線性組合法的其他幾種非線性組合窗皆做過多目標檢測仿真，效果良好，不再贅述。

4 結束語

針對雷達脈沖壓縮中主瓣展寬與旁瓣抑制相矛盾的問題，本文提出了一種以常用窗函數為基窗函數的改進窗函數非線性組合法。通過對窗函數加權脈沖壓縮的理論分析，首先證明窗函數線性組合法的旁瓣抑制能力，在此基礎上，進一步證明本文所提的改進窗函數非線性組合法可以在主瓣展寬不變的前提下，將加窗脈壓的旁瓣抑制能力相比窗函數線性組合法進一步提高。在改進窗函數非線性組合法的仿真實驗中，驗證了該方法應用在多種常用窗函數時，都可以在主瓣展寬不變、信噪比損失增加低于0.5 dB 的前提下，將峰值旁瓣相比凱塞窗降低4 dB 以上、相比幾種常用窗函數降低7 dB 以上，并且在多目標檢測仿真中，改進的窗函數非線性組合法也取得了比較理想的效果。