由一道雙曲線問題引發的思考

韓萍

雙曲線是三大圓錐曲線之一.雙曲線問題側重于考查雙曲線的定義、幾何性質、方程.這類問題對同學們的分析和運算能力有較高的要求.下面就一道雙曲線問題，探討一下求解此類問題的常用方法.

例題：已知雙曲線[x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）]的左右焦點分別為[F1，F2]，如圖所示.過[F1]的直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于[A，B]兩點.若[F1A=AB]，[F1B?F2B=0]，則雙曲線的離心率為______.

一、參數法

參數法是解答圓錐曲線問題的常用方法，即引入參數，將問題中的直線、點、曲線等用參數表示出來，根據題意建立關系式，通過消參求得問題的答案.在解答雙曲線問題時，要根據題意引入合適的參數，可將點的坐標，直線的傾斜角、截距，雙曲線的半焦距、虛軸、實軸等設為參數，并將其代入題設中進行求解.

解法1.因為[F1A=AB]，所以[A是F1B]的中點，

所以[OA]為[ΔF1F2B]的中位線，

由[F1B?F2B=0]可得[F1B⊥F2B]，[OA⊥F1A]，

所以在[ΔF1BF2]中，[OA]垂直平分[F1B]，

則[OB=OF1=OF2=c]，

設直線OB的傾斜角為[θ]，點[B（ccosθ，csinθ）]，

則[A（ccosθ-c2，csinθ2）]，

將其代入到雙曲線的一條漸近線方程[y=-bax]中，

得[csinθ2=-ba?ccosθ-c2]，[sinθ=ba?（1-cosθ）]，

所以[sinθ=tanθ（1-cosθ）]，

即[cosθ=1-cosθ]，解得[cosθ=12，θ=π3].

則[ba=3]，即[e=ca=1+（ba）2=2]，

即雙曲線的離心率為2.

我們引入參數[θ]，將其看作直線OB的傾斜角，并用其表示A、B兩點的坐標，即可根據題意建立關于[θ]的方程，通過解方程求得[θ]的值，從而求得a、b、c之間的關系，進而求得雙曲線的離心率.

解法2.設點[A]的坐標為[（x0，y0）]，因為[F1A=AB]，

則點[B]的坐標為[（2x0+c，2y0）].

因為[F1B?F2B=0]，所以[（2x0+c，2y0）?（2x0，2y0）=0]，

即[x02+cx0+y02=0]①.

因為[A，B]兩點分別在兩條漸近線上，

所以[y0=-bax0]②，[2y0=ba（2x0+c）]③，

聯立①②③三式，消去[x0，y0]可得[c=2a]，

所以雙曲線的離心率為[e=ca=2].

這里引入參數[x0、y0]，設出A、B的坐標，并將其代入題設中，建立方程①②③，通過恒等變換進行消元，即可求得雙曲線的離心率.運用參數法解題的關鍵在于根據解題需求選取合適的量設參，該設哪個點，如何設點，需慎重考慮.

二、幾何性質法

雙曲線的幾何性質較多，若雙曲線的方程為[x2a2-y2b2]＝1（a＞0，b＞0），則其范圍為x≥a或x≤-a，y∈R；對稱軸為坐標軸，對稱中心為（0，0）；兩支無限趨近于漸近線y＝±x.在解答雙曲線問題時，可先根據題意和雙曲線的方程畫出圖形；然后將題目中的代數條件轉化為幾何條件，添加合適的輔助線，構造三角形、梯形、矩形等，以利用平面幾何圖形的性質解題.

解法3.因為[F1A=AB]，所以[A是F1B的中點]，

所以[OA]為[ΔF1F2B]的中位線，

由[F1B?F2B=0]可得[F1B⊥F2B]，[OA⊥F1A]，

所以在[ΔF1OB]中，[OA]垂直平分[F1B]，

所以[OB=OF1=OF2]，可知[∠AOB=∠AOF1].

由漸近線的性質可知[∠BOF2=∠AOF1]，

所以[∠BOF2=60°]，可得[ba=3]，

即[b=3a，c=2a]，所以[e=ca=2].

該解法主要運用了雙曲線的漸近線的性質、三角形中位線的性質以及線段的垂直平分線的性質，從而建立了幾何關系，據此建立a、b之間的關系式，求得雙曲線的離心率.

解法4.因為[F1A=AB]，所以[A是F1B的中點]，

所以[OA]為[ΔF1F2B]的中位線，所以[OA//12BF2]，

由[F1B?F2B=0]可得[F1B⊥F2B]，[OA⊥F1A]，

設點[A]的坐標為[（-a2c，abc）]，

因為[A]為[F1B]的中點，

所以點[B]的坐標為[（c-2a2c，2abc）]，

由直線的斜率公式可得[kOB=2abcc-2a2c]，

而OB為雙曲線的漸近線，所以[kOB=ba]，

則[kOB=2abcc-2a2c=ba]，可得[e=ca=2].

該解法主要運用了雙曲線的漸近線的性質、三角形中位線的性質以及直線的斜率公式，并根據圖形建立幾何關系，據此建立a、b之間的關系式，求得雙曲線的離心率.

可見，解答雙曲線問題需從雙曲線的方程和幾何性質入手，通過引入參數來建立代數關系，或者利用平面幾何圖形的性質來建立幾何關系，從而求得問題的答案.