指向核心素養發展的初中數學結構化教學

唐俊 劉成龍

【摘 要】《義務教育數學課程標準（2022版）》首次提出了課程內容結構化，并進一步指出內容的結構化整合是探索發展學生核心素養的路徑。基于新課標要求，文章在給出結構化教學的概念和揭示指向核心素養發展的結構化教學內涵的基礎上，構建了指向核心素養發展的初中數學結構化教學的“四化”基本框架——知識結構化、方法結構化、能力結構化、經驗結構化。“四化”的邏輯路線為“知識線→方法環→能力群→經驗域”，最終指向核心素養發展。

【關鍵詞】核心素養；初中數學；結構化教學

一、引言

《義務教育數學課程標準（2022版）》（下文簡稱《標準2022》）首次提出了課程內容結構化，并進一步指出“對內容進行結構化整合，探索發展學生核心素養的路徑”［1］。同時，結構化成為《標準2022》的高頻詞匯，體現了新課標對結構化教學的新要求，也表明了結構化的重要性。學術界對結構化教學的研究也取得了一些成果：李文革強調數學知識與核心素養的整體性、一致性和階段性，教學應整體設計，分步實施［2］；卜以樓基于“生長數學”研究了結構化教學，他認為在教學中只有創設凸顯結構的思維情境，才能放大數學結構的功能［3］；李庾南等基于“學材再建構”研究了結構化教學，即進行知識重組，實施單元教學，把知識點放在結構中去教學［4］；等等。這些研究多聚焦于結構化教學的理論指導和實踐策略，幾乎沒有涉及基于核心素養發展的結構化教學研究。因此，本文聚焦數學學科，探索指向核心素養發展的初中數學結構化教學，旨在揭示指向核心素養發展的初中數學結構化教學的內涵和框架。

二、結構化教學概念

關于結構化教學的概念，目前學術界尚未有統一定論。祁寧寧等［5］認為，結構化教學指教師通過整合豐富的教學資源，選擇合適的教學方法，組織多元的學習活動，促使學生形成知識結構，并逐漸形成某一學科領域的基本觀念，包括學科基本思想和方法等，進而發展學生學科核心素養的教學。吳玉國［6］指出，結構化教學是指學生在已有認知結構的基礎上，以學科知識學習為載體，自主經歷個性化認知過程并自覺建構整體關聯的一種學習方式與方法。許金莉［7］則認為，結構化教學是指教師要著眼于數學知識的整體性，關注數學的本質，基于關聯對教學內容進行重組與優化，并將優化后的數學知識作為一個相對獨立完整的結構進行整體設計與分步實施，共同達成本部分內容的教學要求，實現學生思維的高度提升，進而建構適合自身發展的結構。王力爭等［8］認為，結構化教學就是依賴結構化意識、思路和方法，促使學生思維結構層次不斷提升，思維能力有效發展的教學。

可以看出，不同研究對結構化的概念界定的側重有所不同，有的強調知識結構及基本觀念的形成，有的關注個性化認知過程的經歷及整體關聯的建構，有的落腳點為思維能力提升和自身發展結構的形成。正如鄭毓信所言，人們對結構化教學這一概念的解釋各不相同，甚至有點混亂［9］。但大部分研究對結構化教學概念的界定都表達了其基本的要素——結構、整體和關聯。基于此，本文將結構化教學的概念界定為：結構化教學是指立足學生認知基礎，以大單元教學設計為載體，實現知識、能力、方法、經驗結構化發展的教學過程。

三、指向核心素養發展的初中數學結構化教學內涵

揭示結構化教學的內涵是研究結構化教學無法回避的焦點。鄭毓信認為，結構化教學應關注的核心是“分清層次，居高臨下，走向深刻”［9］。根據鄭毓信的觀點，結構化教學具有層次性、整體性、統攝性、目標性等特征。馬云鵬指出，課程內容結構化以主題形式呈現，體現學習內容的整體性、一致性和階段性［10］，內容結構化的關鍵是聚焦核心概念，指向核心素養。吳剛平在2022年版義務教育課程方案和課程標準國家級示范培訓中指出，課程內容結構化滿足三個基本要素，即為什么學（核心素養）、學什么（重要觀念、主題內容和基礎知識）、怎么學（學科知識學習、學科實踐活動、跨學科主題學習）。根據已有研究可以看出，研究者對結構化內涵的解讀不盡相同，但能形成共識的是：結構化是結構化教學的核心和手段，也應是結構化教學的出發點和落腳點。具體來講，結構化的思想統領整個教學過程，成為教學活動的頂層設計理論；結構化的內容成為整個教學活動的載體，成為培育核心素養的現實“土壤”；結構化的活動統攝整個教學活動，成為了教學活動推進的指路明燈；結構化的目標是檢驗結構化教學水平的重要指標，成為評價教學活動成敗的試金石。在知識本位走向素養本位的背景下，發展學生的數學核心素養成為教學活動的主旋律，因此核心素養的發展成為了初中數學結構化教學的歸宿，而結構化教學反過來是數學核心素養發展的重要路徑和抓手。

四、指向核心素養發展的初中數學結構化教學基本框架

《標準2022》指出，課程內容的設計要體現結構化特征，重點是對內容進行結構化整合，探索發展學生核心素養的路徑。［1］因此，基于結構化教學的概念及內涵，本文提出了指向核心素養發展的初中數學結構化教學基本框架（如圖1）：知識結構化、方法結構化、能力結構化、經驗結構化（下文簡稱“四化”）。

數學知識、數學方法、數學能力和數學經驗的獲得與發展是數學學習活動的主要內容和關鍵任務，是數學核心素養發展的前提。同時，知識、方法、能力、經驗的獲得是一個逐級上升的漸進過程。基于此，本文提出了上述進階層級結構。特別指出，圖1結構中的“四化”有明確的含義：眾多知識點形成“知識線”的過程為知識結構化，不同方法形成“方法環”的過程為方法結構化，各種能力形成“能力群”的過程為能力結構化，已有經驗形成“經驗域”的過程為經驗結構化，“四化”的邏輯路線為“知識線→方法環→能力群→經驗域”，最終指向核心素養發展。

1.知識結構化

所謂“知識線”，即聯結相關知識的線路。知識結構化的關鍵是將知識點聯結形成“知識線”。研究表明，知識結構化的過程有利于建立知識間的聯系，形成知識網絡，整合認知內容，豐富知識結構，優化知識儲存形式，減少知識碎片化、零散化狀態，從而降低大腦認知負荷，便于學習者快速啟動、激活、提取、應用知識。那么，如何建構“知識線”和有效地實現知識結構化呢？經過實踐，本文凝練了四層次化的單元教學模式（如圖2），即知識問題化、問題情境化、情境模型化、模型經驗化。

通過將知識融入問題，對問題賦予情境，利用情境抽象模型，運用模型獲取經驗，最終實現知識的結構化。具體來說，將知識融入問題，即以問題為主線來統攝知識，回避知識的簡單羅列與零散呈現；對問題賦予生活情境、數學情境或科學情境，即通過情境感受知識的來龍去脈，為知識納入認知系統做準備；利用情境抽象模型，即通過數學化將問題抽象成基本的數學模型（或結構或關系），在對模型深層解構的過程中強化對知識的融合和運用，進而在知識的深度理解中促進知識的整體化和結構化；運用模型獲取經驗，即將模型建立、模型解構、模型應用等過程進行梳理，形成可持續、可操作的程序，進而上升為基本活動經驗，并對模型背后涉及的主體知識、知識間的關聯及融合、知識的走向等加以反思，為實現知識的結構化積累經驗。不難看出，問題在知識結構化過程中扮演了重要角色，表現在統攝知識、鏈接情境、建構模型和獲得經驗。可見，在知識結構化過程中，問題是串聯知識的主線，因此教學中需要設置恰當的問題來促進教學活動的開展。

【案例1】探究三個“一次”的關系

在探究一次函數、一元一次方程、一元一次不等式三者關系時，筆者鏈接生活情境，利用問題統攝三個“一次”，建構起函數、方程、不等式的模型，從而幫助學生獲得學習經驗。

爺爺和小強經常一起晨練爬山。有一天，小強讓爺爺先上山，然后追趕爺爺。圖3中的兩條線段分別表示小強和爺爺離開山腳的距離y（米）與爬山所用時間x（分）之間的函數關系（從小強開始爬山時計時）。（1）分別求出兩條線段所在直線的解析式；（2）求小強出發多少分鐘后追上爺爺；（3）寫出哪個時間段爺爺在小強前面，哪個時間段爺爺在小強后面。

本案例首先從生活情境出發，將一次函數、一元一次方程、一元一次不等式融入三個問題中，以此為主線來統攝三個“一次”。接著，基于情境將問題數學化，抽象并建構三個“一次”的模型，即一元一次方程模型（kx+b=0）、一元一次不等式模型［kx+b＞0（kx+b＜0）］和一次函數模型（y=kx+b），在知識深度理解的基礎上促進學生對三個“一次”的整體化和結構化認知。最后，進行模型梳理，即一次函數的圖象是融合三個“一次”的紐帶：圖象在點（8，240）處建構方程模型，在點（8，240）左側或右側建構不等式模型。筆者通過解構、重整知識，引導學生形成三個模型并推進模型的應用，進而形成基本活動經驗。可以看出，在這一過程中，三個“一次”模型背后的知識關聯性強、融合度高、結構性凸顯。

2.方法結構化

所謂“方法環”，即由能解決某一個或某一類問題的具有關聯性、指向性的多種方法構成的共同體。方法環的實質就是方法的共同體，而方法共同體構建的核心和關鍵是形成方法結構。數學知識學習不僅要形成數學知識結構，更要在形成過程中逐步形成數學的方法結構［11］，即方法結構化。實踐表明，方法結構化的過程有利于建立方法間的聯系，形成方法體系，便于學生快速識別、提取問題解決方法，減少方法碎片化、零散化狀態帶來的問題解決乏力、延時。方法結構化的過程可以從三個維度開展：（1）在宏觀上把握問題解決的一般步驟，比如解題活動的一般步驟是弄清題意、擬定計劃、執行計劃、回顧反思；（2）在中觀上識別問題解決的基本程序，比如“猜想—證明”型問題解決的基本程序為先猜后證、特值引路；（3）在微觀上厘清問題解決的具體操作，比如猜想的具體操作有結構猜想、經驗猜想、歸納猜想、特值猜想等，處理線段和差問題的具體操作有截長法、補短法。因此，方法結構化即在宏觀方法的統攝下，由中觀方法引領具體操作，構建“三位一體”的方法共同體。

【案例2】等腰三角形存在性問題和菱形存在性問題

在解決等腰三角形存在性問題和菱形存在性問題時，考慮到這兩類問題的解決方法具有關聯性，因此可建構體系化方法，即通過“三位一體”視角來透析此類問題解決的方法共同體。

已知在平面直角坐標系中，如圖4所示，A（-2，0），B（0，2），點C為坐標軸上一點，點D為平面上一點。（1）若△ABC為等腰三角形，求點C的坐標；（2）若四邊形ABCD為菱形，求點D的坐標。

宏觀上看，問題（1）和問題（2）可整合處理。兩個問題均是幾何類存在性問題，且具備一定關聯性，這是因為菱形可由等腰三角形通過幾何變換所得三角形與原三角形組合而成。一般步驟為先利用尺規作圖找等腰三角形，再利用代數推理和畫圖找四邊形。中觀上看，解決問題（1）是解決問題（2）的充分條件，即明確點C坐標為求點D坐標提供數據支撐。基本程序為先解決等腰三角形存在性問題，根據尺規作圖求點C坐標，再利用點A、B、C三點坐標求點D坐標。微觀上看，問題（1）可利用“確定頂角”法或“兩圓一線”法解決，問題（2）可利用“兩圓一線”法和“盲解盲算”法解決，綜合題目條件考慮采用“兩圓一線”法。具體操作為首先分別以點A和點B為圓心，以AB的長度為直徑畫圓，然后再連結兩圓交點得直線MN，兩圓與坐標軸的交點以及直線MN與坐標軸的交點即為所求點C坐標，順勢由“盲解盲算”法求出點D坐標（如圖5）。

經過實踐，本文提煉了由方法構建方法環的三個步驟：（1）前提，即掌握通性通法，也就是掌握基礎知識及其蘊含的數學思想方法［12］；（2）過程，即聚焦將碎片化方法，通過梳理、整合、建構形成體系化方法（即上述“三位一體”）；（3）實踐，即將形成的體系化方法遷移至真實陌生的情境中并成功解決問題。

3.能力結構化

所謂“能力群”，指由多種能力構成的能力系統。能力系統中的各種能力相互依賴、彼此關聯，是一個具有特定功能的有機整體。能力系統構建的核心和關鍵是構建能力結構，即能力結構化。首先，能力結構化的首要任務是明晰關鍵能力是什么。《中國高考評價體系》（以下簡稱《評價體系》）指出，支撐和體現學科素養的能力表征是關鍵能力，即認識、分析和解決問題的能力。《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》、《標準2022》和《評價體系》均指出要培養和發展學生的“四能”，即發現、提出、分析、解決問題的能力。其次，能力結構化的另一個關鍵是厘清能力間的關系。《評價體系》指出，關鍵能力以能力群的形式呈現（如圖6），可分為知識獲取能力群、實踐操作能力群和思維認知操作群。每一個能力群由若干種同類能力構成，各種能力是能力群的基本單元，一方面單元間彼此關聯、相互作用，形成了一個特定的能力系統；另一方面能力群間相對獨立，各有側重，能力間的關系脈絡清晰、結構明了。最后，能力結構化要建構基本模式。什么樣的模式有利于能力結構化呢？答案是問題解決。《評價體系》指出，關鍵能力以能力群樣式呈現，它在生活實踐和實際問題情境的解決中體現。因此，能力結構化需要在問題解決中實現，這是因為問題是撬動知識、方法、能力的杠桿，問題解決是匯聚、甄別、建構各種能力的過程，問題解決最終實現能力結構不斷優化。

【案例3】一道半開放性試題的習題課片段

現有含糖15%（質量分數，下同）的糖水20克，含糖40%的糖水15克，另有足夠多白砂糖和水，要配制成含糖20%的糖水30克。

（1）試設計多種配制方案；

（2）如果要求盡可能多地使用現有糖水，應怎樣設計配制方案？

【師生活動】

師：題干中有哪些關鍵信息？

生1：關鍵信息有五個，即①含糖15%的糖水，②含糖40%的糖水，③白砂糖，④純水，⑤含糖20%的糖水。

師：很好！如何通過這些關鍵信息去解決問題呢？

生1：認真審題會發現，可以通過前四個關鍵信息去推導第五個關鍵信息。

師：請問（1）問中可以選擇的配制方案有哪些？

生2：如果選用兩種材料配制⑤，可選用①和②、①和③、②和④、③和④。

師：如果選用三種材料配制⑤呢？

生2：可選用①②和③、①②和④、②③和④。

師：不錯！可以選用四種材料配制⑤嗎？

生3：如果選用四種材料配制⑤，可選用①②③④。

師：非常好！同學們對此思路都很清晰，這就是經典的“糖水”問題。

……

本片段所選試題覆蓋了關鍵能力的三個維度：知識獲取能力群聚焦閱讀理解、信息搜索、整理歸納以及激活提取知識，實踐操作能力群聚焦設計配制方案和分析處理數據，思維認知能力群聚焦抽象轉化有利條件，演繹推理得對應結論，批判性思考并歸納概括。具體來說，知識獲取能力群著力于通過閱讀理解獲取問題，經歷信息搜索、整理歸納獲取五個關鍵信息（包含四種原材料和一種目標產品）；實踐操作能力群著力于經歷實驗設計擬定配制方案，通過數據處理獲取材料比例，利用語言表達傳遞可行方案；思維認知能力群著力于利用抽象思維分析原材料和目標產品，經歷演繹推理得出配置方案，借助批判性思維驗證方案以及利用歸納概括列舉可行方案。可見，學習者在參與互動和問題解決過程中經歷了發現問題、提出方案、分析佐證、解決問題的過程，并通過問題撬動知識學習，進而遷移方法，建構和優化能力結構，達到發展核心素養的目的。

4.經驗結構化

所謂“經驗域”，指由多種經驗交匯融合而成的場域。場域中的經驗具有高度的交匯性和融合性。經驗的交匯性、融合性需要對零散、無序的經驗進行加工、整合、優化，形成具有協調性、統一性和一致性的經驗系統，即經驗結構化。杜威指出，教育即經驗的不斷改造與重組。實際上，經驗的不斷改造與重組的最終目的是獲取結構更好的經驗。具體到數學學科，數學活動是數學教育的主要形式，因此數學教育就是數學活動經驗的不斷改造與重組，即數學活動經驗的結構化。數學活動經驗結構化需要回答三個問題：（1）什么是數學活動經驗？數學活動經驗是指個體在數學活動中經過心智操作和心力操作過程后儲存于長時記憶系統中具有意義和價值的數學信息［13］。可以看出，數學活動經驗的形成要經歷復雜的心理過程，并非簡單地記憶。（2）數學活動經驗結構化的形成條件是什么？《標準2022》指出，獲得數學活動經驗的前提是學生理解和掌握數學的基礎知識和基本技能并能體會和運用數學的思想方法［1］。因此，數學活動經驗結構化應以知識結構化、方法結構化、能力結構化為前提，即只有實現知識、方法、能力結構化才能實現數學活動經驗結構化的跨越。（3）數學活動經驗結構化的形成路徑是什么？第一，夯實基礎知識、基本技能和基本思想，有序實現知識結構化、方法結構化和能力結構化；第二，開展以學生為主體的數學活動，讓學生在切身體驗中獲取數學活動經驗；第三，厘清數學活動經驗間的關系，將零散的經驗整合到經驗“團隊”，再將經驗“團隊”納入已有結構，從而進一步重組、改造已有結構，以實現數學活動經驗結構化。

【案例4】初中階段函數學習路徑的經驗結構

初中階段涉及的函數內容，以一次函數、反比例函數、二次函數為主。學習一次函數和反比例函數時，依次研究了概念、解析式、圖象、性質和應用。實際上，二次函數的學習路徑可效仿并加以適當重組和改造一次函數（或反比例函數）的經驗結構，進而形成二次函數學習的基本數學活動經驗。具體來說，學習一次函數（或反比例函數）時，首先研究實際問題，分析一些運動現象，在運動現象中找出刻畫運動變化的變量并用符號表示，將其提煉為數學問題；其次分析運動現象中的數量關系，列出函數關系式；再次分析所列函數關系式的特點，抽象出一次函數（或反比例函數）的概念；從次用描點法畫出函數圖象并觀察，概括一次函數（或反比例函數）的性質；最后應用性質解決問題。（如圖7）

圖7所示數學活動形成了一次函數（或反比例函數）的知識、方法、能力結構，并進一步形成經驗結構。在一次函數和反比例函數學習經驗基礎上，以學生為主體開展二次函數學習活動，以此獲取基礎知識、基本技能和基本思想。由于二次函數的特殊性，學習二次函數時需要在函數性質研究處作重組與改造（以華東師大版教材為例）：（1）經驗的重組。一次函數學習相對比較簡單，即先研究一般形式y=kx+b，再研究特殊形式y=kx，接著研究y=kx的圖象和性質并類比y=kx+b；二次函數的學習則是基于二次函數的特殊性，將一次函數學習經驗進行擴充重組，依次研究y=ax2、y=ax2+m、y=a（x-h）2、y=a（x-h）2+m和y=ax2+bx+c，再研究后四者的圖象和性質并類比y=ax2的圖象和性質。（2）經驗的改造。一是解析式的類型發生變化，一次函數主要研究一般式，而二次函數除了一般式以外，還增加了頂點式、交點式；二是圖形的形狀發生變化，一次函數圖象是一條直線，而二次函數圖象是一條曲線；三是圖形的性質發生變化，從左往右看，一次函數的增減性始終一致，而二次函數在對稱軸左右兩邊增減性相反。

通過數學活動夯實函數相關基礎知識、基本技能和基本思想，將學習經驗“團隊”融合已有結構并重組改造，能實現數學活動經驗結構化，如函數學習路徑經驗為“概念→解析式→圖象→性質→應用”，研究思路經驗為從具象到抽象、從單一到復雜、從特殊到一般等。

五、結語

本文從結構化教學概念入手，在知識、方法、能力、經驗結構化四方面構建了發展核心素養的框架，旨在促進一線教學形成結構化的觀念和意識，最終指向學生核心素養發展。筆者相信明確的指向核心素養發展的初中數學結構化教學內涵和框架將為教學實踐帶來理論支撐，大量的教學實踐將進一步豐富這一教學理論體系。本文未討論指向核心素養發展的初中數學結構化教學評價指標體系，這將是接下來重點探討的課題。

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（責任編輯：潘安）

【作者簡介】唐俊，二級教師，主要從事初中數學教學與研究工作；劉成龍（通訊作者），副教授，博士在讀，研究方向為數學課程與教學論。

【基金項目】四川省首批卓越教師教育培養計劃改革試點項目“西部卓越中學數學教師協同培養計劃”（ZY16001）