SV波入射下相鄰半圓凸起地形地震響應分析

丁海平,張如艷,于彥彥

(蘇州科技大學 江蘇省結構工程重點實驗室,江蘇 蘇州 215011)

0 引言

地震波在不規則地形中傳播時由于波的聚焦、衍射、散射和波型轉變等因素,與平坦地面條件相比,不規則地形對地震動的幅值、頻率和持續時間等地震動特性均有很大影響。根據震后的調查結果,山體上、下的建(構)筑物的震害有顯著的差異。在國內的一些重要的地震中,如1966年云南東川地震、1970年云南通海地震和1988年云南瀾滄-耿馬地震,均發現山包上房屋的破壞程度普遍比周圍平地的嚴重[1-3]。在國外的地震中也發現類似的現象,如1985年智利地震[4]、1995 年希臘 Egion 地震[5]、1999年希臘雅典地震[6]、2009年意大利地震中均發現山脊/山丘上的建筑物嚴重受損[7]。另外,強震記錄也反映了山頂峰值加速度的明顯偏大的現象,在1971年圣費爾南多6.4級地震[8]中,記錄到的靠近 Pacoima 大壩的山脊頂部的峰值加速度為1.25g;而在1994年的北嶺地震[9]的 Tarzana 山地上更是記錄到了1.78g的峰值加速度。我國曾在自貢西山公園從山腳到山頂安裝了7個基巖場地強震臺陣,在2008年的四川汶川特大地震中記錄到的峰值加速度呈現出從山腳到山頂逐漸增大的趨勢[10]。除此之外,大量研究人員還采用物理模型大量計算分析了山脊地形的地震動特性,研究了各種因素對加速度、反應譜和譜比等參數的放大影響[11-17],如入射波波型、入射波角度、地震波波長、地形傾斜角等。在上述采用數值模擬方法的研究中,主要考慮的是單個凸起山脊模型,而對于多個凸起地形的場地效應,研究相對較少[18-20]。

本文將采用有限元數值方法,同時選取多次透射公式(multi-transmitting formula,MTF)[21]作為人工邊界,計算分析SV波入射下單個半圓形凸起地形和2個相鄰半圓形凸起地形的地震響應。根據已有研究成果可以發現,當采用不同的地震波入射進行時程分析時,地表地震動峰值的分布將出現很大差異[22-24],很難得到一般規律,因此本文主要對頻域結果——凸起地形地表譜放大系數β進行分析,比較了不同入射波頻率、不同入射角度和相鄰2個半圓凸起間距的影響,同時還討論了相鄰2個半圓形凸起地形對地震響應的相互影響。

1 計算方法

圖1為由復雜場地和人工邊界構成的有限元分析系統,其運動方程可表示為:

圖1 復雜場地示意圖

(1)

式中:M質量矩陣;C為阻尼矩陣;K為剛度矩陣;P為外力矢量。

圖2 一維波動模型的人工邊界附近節點編號

(2)

(3)

由于MTF模擬的是外行波,其表達式為:

us=u-ur

(4)

式中:us為散射波位移;u為全波場位移;ur為參考波場的位移(一般地,底邊界的參考波場采用輸入場,而左右側邊界的參考波場取自由場)。

令多次透射式(2)中u0=us,0,將us=u-ur代入式(2)中,則

(5)

2 方法精度驗證

文獻[13]曾給出了凸起地形的邊界元/有限元混合解答,本文取相同的計算模型(圖3)用于驗證本文計算方法的正確性。該計算模型的大小為400 m×200 m,半圓形凸起地形的半徑a=50 m,介質密度ρ=1500 kg/m3,剪切波速Cs=500 m/s,泊松比μ=1/3。

圖3 方法驗證模型

在半圓凸起的兩側地表各選取25個觀測點,凸起表面取23個觀測點。在脈沖波(見文獻[13])作用下,可得到這些觀測點的位移時程響應,對這些時程進行傅里葉變換得到傅里葉幅值譜,并計算與入射波脈沖波的傅里葉幅值譜的比值,就可得到地表各點的頻域響應結果-譜放大系數β。圖4給出了水平和豎直方向本文的計算結果與文獻[13]結果(入射角θ=0°,無量綱頻率η=1)的比較,二者吻合很好,本文的計算方法可行。

圖4 本文方法的計算結果與文獻[13]的比較

3 輸入波

模型底部入射脈沖波采用如式(6)δ函數形式[25]:

(6)

圖5 輸入脈沖波及其傅里葉振幅譜

(7)

式中:λ為計算考慮的入射波最短波長;Cs為土介質的剪切波速;fcut為入射波的截止頻率。

復雜場地地震響應的運動解析解一般用無量綱頻率的譜比(或稱譜放大系數)表示,而無量綱頻率可定義為:

(8)

式中:a為凸起地形的圓弧半寬;cs為土層剪切波速。當入射波為諧波時,f為入射波頻率,當入射波為時程時,f由時程傅里葉變換獲得。

由于根據傅里葉譜得到的是對應于實際頻率f的譜放大系數,需要轉換為無量綱頻率下的結果。根據本文計算模型中圓弧凸起半寬a與剪切波速cs,無量綱頻率η與實際頻率f對應關系由式(8)可得,如表1所示。

表1 本文模型的無量綱頻率與實際頻率的對應關系

4 計算模型與分析

本文假定的計算模型由一均勻彈性且各向同性半空間及相鄰2個半圓凸起組成,如圖6所示,模型尺寸為600 m×200 m,其中半圓凸起的半寬a=50 m,取網格大小為1.25 m。模型A的坐標原點設在左側半圓的圓心,該模型用于分析右側半圓凸起對左側半圓凸起的影響;模型B的坐標原點設在右側半圓的圓心,用于分析左側凸起圓弧對右側凸起圓弧的影響。模型A和模型B均假定了3種不同的凸起間距,分別為L=a、2a和3a。當模型A中去掉右邊凸起,或模型B中去掉左邊凸起,則退化為單個凸起模型,如圖3所示。2個模型的土層剪切波速cs=500 m/s、密度ρ=1500 kg/m3,泊松比μ=1/3。

圖6 計算模型

根據模型A和模型B的計算結果,討論分析不同入射角度θ,不同入射波頻率η,以及不同半圓凸起間距L等因素對相鄰凸起SV波放大特征的影響。

4.1 右側半圓凸起對左側半圓凸起的影響

假定SV波分別以不同入射角度θ=0°、15°、30°輸入模型A,可以得到模型A地表各個點的時程曲線。圖7～圖9給出了圖6模型A中點1～點4對應3種不同凸起間距L的時程,反映了右側凸起對左側凸起表面和鄰近點的影響。從圖中可以發現,凸起間距L越小,右側凸起的影響越大,且隨著角度的增大而增大。

圖7 θ=0°時模型A左側凸起地表觀測點時程

圖8 θ=15°時模型A左側凸起地表觀測點時程

圖9 θ=30°模型A左側凸起地表觀測點時程

由于輸入的是時程較短的脈沖波,當左側凸起的點1～點4出現波動峰值時,右側凸起產生的反射波還沒有到達,這4個點的峰值并沒有變化,但波形變復雜。對模型A左側凸起表面、鄰近點的位移時程和入射脈沖波分別進行傅里葉變換,在頻域內進行進一步比較。圖10～圖12給出了無量綱頻率分別為η=0.25、0.5、0.75、1、2、4的譜放大系數β。從圖10～圖12中的譜放大系數β值可以看出,右側凸起對左側凸起的影響很大,特別是在|x/a|≤1.0范圍內,只有單個左側凸起模型的譜放大系數β與相鄰2個凸起模型的左側凸起的譜放大系數β差別很大,該差異顯然是由右側凸起造成。不同的無量綱頻率η、不同的入射角度θ和不同的凸起間距L,對譜放大系數β的影響也不相同。例如,當取η=0.75,θ=0°,x/a=-0.8時,單個凸起的β=1.31,而對應的凸起間距L=a時的β=1.86,由于右邊凸起的存在,譜放大系數β值增大了0.41倍;當η=0.25,θ=30°,x/a=0時,單個凸起的β=7.65,而對應的凸起間距L=2a時的β=9.04,譜放大系數β值增大了0.18倍;當η=0.5,θ=0°,x/a=-0.9時,單個凸起的β=1.17,而對應的凸起間距L=3a時的β=2.26,譜放大系數β值增大了0.93倍。

圖10 θ=0°時模型A左側凸起地表位移譜放大系數

圖11 θ=15°時模型A左側凸起地表位移譜放大系數

同時,也有很多情況,由于右邊凸起的存在,|x/a|≤1.0范圍內的譜放大系數β值變小了。例如,當η=0.25,θ=0°,x/a=0時,單個凸起的β=4.50,而對應的凸起間距L=a時的β=3.57,由于右邊凸起的存在,譜放大系數β值減小了0.21倍; 當η=0.5,θ=0°,x/a=0時,單個凸起的β=2.24,而對應的凸起間距L=2a時的β=1.62,譜放大系數β值減小了0.28倍; 當η=0.5,θ=30°,x/a=0時,單個凸起的β=2.41,而對應的凸起間距L=3a時的β=1.62,譜放大系數β值減小了0.33倍。

根據圖10～圖12的譜放大系數β值,很難得到不同入射角度θ,不同入射波頻率η,以及不同半圓凸起間距L等因素對左側凸起表面各點的頻譜放大的影響規律,但有一個現象比較明顯:當η>1.0時,對于相同的入射角度θ和入射波頻率η,不同的凸起間距L的譜放大系數β的差別很小,且隨著η的增大,不同的凸起間距對譜放大系數β的影響越小,當η=4.0時,凸起間距L對譜放大系數β幾乎沒有影響。根據凸起地形半寬a,土層介質剪切波波長λs,土層剪切波速cs和無量綱頻率η的關系,對這一現象進行進一步分析可以發現:無量綱頻率η=1.0時,對應的波長為100 m,正好等于凸起地形的寬度(半寬a=50 m),而η越大,則對應的λs越小。因此,當輸入波波長大于凸起地形的寬度時,右側凸起對左側凸起的影響幾乎可以忽略。

4.2 左側半圓凸起對右側半圓凸起的影響

本節主要討論分析SV波入射情形下相鄰2個山脊(圖6模型B)的左側凸起對右側凸起表面和鄰近點的地震響應影響,圖13～圖15給出了點5～點8對應3種不同的凸起間距L的時程曲線。從圖中可以發現,凸起間距L越小,對右側凸起的影響越大,且隨著角度的增大而增大。另外,由于右側凸起在波傳播的前進方向,左側凸起對右側凸起的影響與右側凸起對左側凸起的影響有很大區別,即點5～點8這4個點的峰值變小了。隨著入射角度的增大,凸起間距L越小,峰值變小的程度越大。進一步在頻域內進行比較,下面同樣給出了無量綱頻率分別為η=0.25、0.5、0.75、1、2、4的結果。

圖13 θ=0°時模型B右側凸起地表觀測點時程

圖14 θ=15°時模型B右側凸起地表觀測點時程

圖15 θ=30°時模型B右側凸起地表觀測點時程

從圖16～圖18中的譜放大系數β值可以看出,左側凸起對右側凸起的影響很大,不同的入射角度θ,不同的無量綱頻率η和不同的凸起間距L,對譜放大系數β的影響也不相同。例如,當η=0.5,θ=15°,x/a=0時,單個凸起的β=2.30,而對應的凸起間距L=a時的β=2.97,因為左側凸起的存在,譜放大系數β值增大了0.29倍;當η=0.5,θ=30°,x/a=0時,單個凸起的β=2.41,而對應的凸起間距L=2a時的β=3.63,譜放大系數β值增大了0.62倍;當η=0.75,θ=15°,x/a=0時,單個凸起的β=1.22,而對應的凸起間距L=3a時的β=1.88,譜放大系數β值增大了0.54倍。

圖16 θ=0°時模型B右側凸起地表位移譜放大系數

圖17 θ=15°時模型B右側凸起地表位移譜放大系數

圖18 θ=30°時模型B右側凸起地表位移譜放大系數

同樣,根據圖中的譜放大系數β值,很難得到不同入射角度θ,不同入射波頻率η,以及不同半圓凸起間距L等因素對右側凸起表面各點的頻譜放大的影響規律,但與右側凸起對左側凸起表面的地震響應影響的特點相似,當輸入波波長小于凸起地形的寬度時,其對右側凸起|x/a|≤1.0范圍內且η>1.0的譜放大系數β的影響不大。二者也有不同的地方,左側凸起對右側凸起影響的頻帶范圍要寬一些,以η=2.0,θ=30°為例,根據圖12,在|x/a|≤1.0范圍內,凸起間距L對左側凸起的影響已經很小了,但圖18中反映出的凸起間距L對右側凸起的影響明顯要大一些。此外,左側凸起對右側凸起左腳點附近-2.0≤x/a≤-1.0范圍內的影響也較明顯。

4.3 Kobe波和脈沖波入射下的地表響應比較

由于不同地震波入射下得到的地表加速度峰值等地震動響應的分布規律存在差異,但得到的頻域譜放大系數規律是一致的,所以常常可以采用脈沖波輸入的形式進行復雜場地地表放大系數的研究。本節選擇了圖6中模型A在脈沖波和Kobe波(見圖19)垂直(θ=0°)入射下的地表響應的部分計算結果,比較不同輸入波的地表放大效應。

圖19 Kobe波加速度和位移時程

圖20給出了Kobe波垂直入射下點1～點4對應3種不同的凸起間距L的時程,反映了右側凸起對左側凸起表面和鄰近點的影響。從圖中可以發現,相對地,凸起間距L越小,右側凸起的影響越大(特別是4號點),與輸入脈沖波的情形類似。進一步在頻域內進行比較:圖21是模型A(L=2a)左側凸起地表位移譜放大系數,實線為脈沖波輸入下的放大系數,即圖10中藍色點線,點線為Kobe波輸入下的左側凸起地表位移譜放大系數。從圖中可以發現,不同的輸入波,得到的譜放大系數是一致的。

圖20 Kobe波入射下不同凸起間距左側凸起地表觀測點時程(模型A,θ=0°)

圖21 脈沖波和Kobe波入射下模型A(L=2a)左側凸起地表位移譜放大系數比較(θ=0°)

5 結論

本文采用有限元數值方法計算了SV波入射下相鄰半圓形凸起地形的放大效應。討論分析了不同入射角度θ,不同入射波頻率η,以及不同半圓凸起間距L等因素對相鄰2個半圓凸起相互間的不同影響,得到如下結論:

1)與單個半圓凸起模型的地表時程相比,右側凸起對左側凸起表面各點的時程峰值的影響不大,這與本文輸入時程較短有關,同時也與右側凸起左腳點的反射波不強有關,但波形變化明顯;而左側凸起對波動前進方向的右側凸起的影響較大。

2)對于不同的入射角度θ和不同的入射波頻率η情形,不同的凸起間距L對相鄰半圓凸起的譜放大系數β的主要影響范圍出現在η≤1.0內,但規律性似乎不明顯。當η>1.0時,對于相同的入射波頻率和入射角度,不同的凸起間距的譜放大系數β的差別很小,且隨著η的增大,不同的凸起間距L對譜放大系數β的影響減小。這一臨界頻率ηcr=1.0與土層剪切波速cs和凸起地形的寬度2a相關。當輸入波波長大于凸起地形的寬度(即輸入波頻率大于臨界頻率)時,相鄰凸起的地形影響可以不予考慮。

3)左側凸起對波動前進方向的右側凸起表面各點的譜放大系數β的影響,比右側凸起對左側凸起表面各點的影響大,同時影響的頻段范圍也稍大。