整合教材內容,滲透基本套路
——以指數函數為例談基本初等函數教學

重慶市綦江中學 晏炳剛 重慶市綦江區南州中學 涂元梅

“發展學生的邏輯思維能力,教學生學會思考,就要讓學生掌握研究問題的‘基本套路’,使數學在培養人才,特別是創造性人才中發揮獨特作用.”[1-2]基本初等函數的研究遵循從實際背景到函數的定義與表示,再到圖象與性質,最后到函數的應用這一基本套路.學生在學習冪函數時,提煉了基本初等函數學習的基本套路,在接下來的指數函數的學習中鞏固這一基本套路,可以加深對基本初等函數基本研究套路的理解,也為后續學習對數函數、三角函數等基本初等函數的基本套路打下基礎.指數函數學習的基本套路起到承上啟下的作用,為此本文中以高中數學2019新人教版必修第一冊教科書中“指數函數”為例整合教材內容,設計教學案例來談這一基本套路.

1 內容

課時內容為指數函數的概念、圖象與性質.本節課是在學生經歷了冪函數的圖象與性質的基本研究套路之后,研究另一個基本初等函數.通過類比冪函數的研究方法,用兩個衰減模型和兩個增長模型來引出指數函數的概念,并對指數函數的圖象與性質進行研究,進一步鞏固研究函數的基本套路.

2 目標與達成

2.1 目標

(1)通過豐富的實例,了解指數函數的實際背景,能分析實例的共性并抽象出指數函數概念.

(2)能用描點法畫出具體指數函數的圖象,能探索提煉指數函數的定義域、值域、單調性、特殊點、漸近線等.

(3)結合對指數函數與冪函數的圖象特征與性質等的系統研究,進一步理解研究初等函數的基本套路,提升數學抽象、直觀想象素養.

2.2 達成

達成目標的標志:

(1)通過紙的對折、游客增長率、碳14衰減及“一尺之錘,日取其半,萬世不竭”等實例,能抽象出y=ax(a>0,且a≠1)及a的意義.

(2)通過列表、描點、連線,合理觀察圖象,分類歸納出指數函數的圖象和性質.

(3)能用性質解決簡單的大小比較問題.

(4)能體會函數研究的基本套路是從實例抽象概念—由解析式作圖識圖得性質—性質的簡單應用.

3 課時教學設計

3.1 概念獲得

問題1-1如圖1和圖2,一張A4紙,你能對折幾次?對折10次有多厚?對折40次呢?對折x次后,厚度是一張A4紙厚度的多少倍?

圖2

設計意圖：引出指數函數的增長模型,激發學生興趣,讓學生感知到數學知識來源于生活.

問題1-2(教材第112頁)B地景區人數每年增長11%,經過x年后,B地景區的游客人數是開始年的多少倍?

設計意圖：用社會經濟中的旅游經濟再次引出刻畫指數增長模型問題.體現數學的社會價值.

問題2-1當生物死亡后,它機體內原有的碳14含量會按確定的比率衰減(稱為衰減率),大約每經過5 730年衰減為原來的一半,這個時間稱為“半衰期”.按照上述變化規律,生物體內碳14含量與死亡年數之間有怎樣的關系?

設計意圖：通過考古碳14衰減的一般規律,引出刻畫指數的衰減規律問題,為抽象得到指數函數遞減模型做準備.體現數學的科學價值.

問題2-2一尺之錘,日取其半,萬世不竭,問x天后,還剩多少尺?

設計意圖：通過傳統名句引出指數衰減模型即指數函數遞減模型,滲透歷史文化,增強文化自信.

設計意圖：四個問題分別從折紙長度看地月距離感受指數爆炸式增長,景區人口增長看社會經濟現實問題,考古碳14衰減的科學問題和傳統文化名言名句的數學含義方面引出四個指數函數模型,觀察四個函數,由特殊到一般抽象出指數函數解析式特征進而得到指數函數的概念.

思考1為什么規定底數a>0且a≠1?

設計意圖：對底數進行深入思考,對指數函數概念進行辨析,從純數學角度和現實角度理解底數a的范圍.

例1下列函數中,哪些是指數函數?

(1)y=x4; (2)y=-4x;

(3)y=2-x; (4)y=2x+1;

設計意圖：對指數函數概念進行辨識,加強對指數函數解析式結構的認識.

3.2 圖象與性質

問題3學習了指數函數的概念后,根據函數研究的基本套路,接下來該研究什么?(圖象與性質,即列表、描點、連線、識圖、得性質等.)

設計意圖：回憶冪函數研究路徑與方法提出指數函數圖象與性質的研究路徑與方法.強化函數研究的一般套路,為接下來的學習建立先行組織者.

學生活動:填表1,學生用描點法畫出四個函數的圖象(見圖3),看圖象完成表2的填寫.

表1

表2

圖3

師生活動:學生參與畫圖,感受底數對圖象的影響.在教師的引導下,學生能觀察圖象的單調性、特殊點、漸近線,利用數形結合理解函數定義域、值域等,并能完成表格填寫.

設計意圖：通過大量畫圖,比較研究不同種類指數函數的圖象,歸納概括它們的主要共同性質特征,并能數形結合、直觀地分析出各類指數函數的基本性質.

思考2同一直角坐標系下第一象限內,底數不同的幾個指數函數圖象有什么特點?

思考3根據這組圖象,還能發現什么?

設計意圖：通過觀察和分析同一直角坐標系下第一象限內圖象的直觀特征,得到“底大圖高”和“底數互為倒數的兩個指數函數圖象關于y軸對稱”.形成由圖象特征到圖象結論的轉化.

例2如圖4所示,曲線C1,C2,C3,C4分別是指數函數y=ax,y=bx,y=cx,y=dx的圖象,則a,b,c,d,1的大小關系是______.

圖4

設計意圖：強化理解底數對指數函數單調性的影響,以及指數函數“底大圖高”的特征.

例3比較下列各組值的大小:

(7)0.20.3,0.30.3,0.30.2.

師生活動:教師引導學生歸類分析.比較同底數的兩個值時,直接利用指數函數的單調性來解決;同指數的兩個值可以利用一個冪函數的單調性,或者利用兩個不同指數函數的單調性進行比較;底數與指數都不同時,可利用兩個不同的指數函數來解決,或者找中間數進行比較.

設計意圖：通過數值的大小比較,進一步深入理解指數函數的單調性.通過底數不同的兩個值的大小比較,進一步鞏固“底大圖高”的結論;通過底數與指數都不同的兩個值的大小比較,加強理解指數函數過特殊點及單調性等圖形特征.

3.3 課堂小結

引導學生認真回顧、總結本課的主要內容,并回答以下三個問題:

(1)研究函數的基本套路是什么?

(2)研究函數圖象時,看什么?怎么看?

(3)從本節課來看,函數的圖象與性質有什么用途?

設計意圖：通過問題(1),建立起函數研究的基本套路,為后面對數函數、三角函數等的研究打下基礎;通過問題(2) 再次強化函數圖象的作法,以及如何觀察圖象特征得到函數的性質;通過問題(3)強化函數圖象特征,強化使用函數特征解決問題,形成函數研究的基本套路——從概念到圖象與性質,再到應用解決問題.

3.4 布置作業

根據課堂實際教學情況,從教科書習題4.2中選取第2,3,4,6題作為作業.

設計意圖：考查學生對指數函數概念、圖象與性質的理解與掌握.