輸入時延下約束不確定系統的有限時間控制

王芳 ，趙瑞瑩 ，周超

（1.燕山大學 理學院，河北 秦皇島 066004；2.河北農業大學 海洋學院，河北 秦皇島 066003）

與線性系統相比，非線性系統能夠更好地描述實際工程應用系統.近年來，已經有大量關于非線性系統控制的研究成果［1-6］.反步控制是常用的方法之一，但是，在反步設計過程中，虛擬控制輸入的連續求導會產生“計算爆炸”問題.針對這一問題，Zhou等［7］和Li等［8］提出了一階濾波器，但是沒有考慮濾波誤差的影響.Wang 等［9］首次針對指令濾波器進行了研究.基于Wang等的濾波器，文獻［10-12］研究了不確定非線性系統的控制.文獻［7-12］中系統獲得了良好的跟蹤效果，但并未考慮有限時間穩定.

收斂速度是衡量系統性能的一個重要指標，有限時間控制可以使系統具有更快的響應速度以及更好的抗干擾能力.Yu 等［13］針對非線性系統提出了基于反步法的有限時間控制策略.Xu 等［14］考慮帶有未建模動態的非線性系統，并設計了有限時間反步控制器.Liu 等［15］結合有限時間控制和預定性能函數，提出了自適應控制策略.Shen 等［16］考慮進場車輛的控制問題，構造基于積分終端滑模面的快速有限時間收斂控制器，并給出了收斂時間的顯式估計.

文獻［13-15］在反步控制的框架下研究了高階非線性系統的有限時間跟蹤控制.針對反步控制的“計算爆炸”問題，Cui 等［17］考慮輸入飽和下的非線性系統，采用一階濾波器處理“計算爆炸”問題，并設計了有限時間反步控制策略.有限時間濾波器在解決“計算爆炸”問題的同時，有助于閉環系統實現有限時間穩定.Wu 等［18］針對多智能體系統，提出基于有限時間濾波器的反步控制策略，實現了系統的實際有限時間穩定性.Yu 等［19］針對具有死區的非線性系統，結合指令性濾波器和事件觸發機制設計了有限時間控制策略，但是提出的有限時間濾波器只含有非線性部分，可能會導致濾波器狀態在遠離平衡點時收斂速度較慢.本文將設計新型有限時間濾波器.另外，Wu 等［18］和Yu 等［19］沒有考慮輸入時延問題.輸入時延會導致系統的響應變慢，影響系統的實時性能.而有限時間控制可以確保控制系統在規定時間內完成控制目標，從而提高效率.因此，考慮輸入時延下的有限時間控制很有意義.

系統的運行過程中，如果輸出違反約束條件，不僅會嚴重影響系統的性能，還可能造成安全事故，因此，輸出約束是設計控制系統時值得考慮的問題.障礙Lyapunov 函數［20-23］能有效解決輸出約束問題.Tee等［20］利用障礙Lyapunov函數解決了非線性系統的常數輸出約束問題.Liu 等［21］進一步研究了時變輸出約束問題.Sun等［22］使用障礙Lyapunov函數研究了高階非線性系統的輸出約束問題.Liu等［23］基于積分障礙Lyapunov 函數處理了輸出約束問題.然而，上述文獻利用障礙Lyapunov 函數解決輸出約束問題時，可能會使控制器設計更加復雜.Meng等［24］和Tran等［25］利用狀態變換方法解決了輸出約束問題，但把輸出約束問題轉化為輸出誤差約束問題時，沒有考慮輸入時延對系統的影響.

實際系統中，輸入時延不可避免，如何減弱輸入時延的影響，提高控制效果是值得討論的問題.Pade 近似法能在統一的框架下處理輸入時延，極大程度簡化了控制器的設計.Li 等［26］采用Pade 近似法處理輸入時延，通過障礙Lyapunov 函數解決輸出約束問題，并設計了模糊控制策略.隨后，Min 等［27］和Zhou 等［28］結合神經網絡和障礙Lyapunov 函數，研究了帶有輸出約束和輸入時延的非線性系統的控制問題，但考慮的是對稱的常值輸出約束，并沒有考慮系統的有限時間穩定問題.本文綜合考慮時變非對稱輸出約束和輸入時延對非線性系統的影響，在反步控制的框架下，設計有限時間控制器，以實現閉環系統的有限時間穩定性.

基于以上分析，本文針對非線性系統，考慮輸入時延和非對稱時變輸出約束的影響，設計自適應有限時間反步控制策略：1）設計新的非線性狀態變換函數，直接對系統輸出進行約束，適用于時變、對稱及非對稱的約束情形；2）設計新型有限時間濾波器解決反步控制的“計算爆炸”問題，同時通過補償機制消除濾波誤差的影響；3）利用Pade 近似法消除輸入時延對控制效果的影響；4）通過Lyapunov 穩定性理論，證明閉環系統的實際有限時間穩定性，同時輸出滿足約束條件.利用濾波器對比仿真及機械臂系統的應用仿真體現控制策略的優越性.

1 系統描述和預備知識

1.1 系統模型

考慮一類非線性系統：

控制目標：設計有限時間反步控制器，使閉環系統實際有限時間穩定，系統輸出在滿足約束條件的前提下能夠跟蹤參考指令yd.

實際有限時間穩定性的定義由如下引理給出：

引理1［12］對于系統=f(x)，若存在正定函數V(x)：D∈R，λ1，λ2，b＞0，h∈(0，1)及關于0 的開鄰域 Ξ ?D，使 得(x) ≤-λ1V(x)-λ2Vh(x) +b，x∈Ξ{0}，則平衡點x=0 是實際有限時間穩定的.此外，存在0 ＜γ＜λ1和T(γ，x0)＜+∞使得

其中，t0為系統運行的初始時刻.

1.2 假設及引理

假設1期望軌跡yd及已知且有界.

引理3?si∈R，0 ＜m≤1，則

引理4若h＞1，x＞0，y≤x，則(x-y)h≥yh-xh.若h，y＞0，x≥0，則xh(y-x)h＜

1.3 系統轉換

本節采用如下的Pade 近似法補償輸入時延，以消除輸入時延的影響：

其中，?{u(t)}是u(t)的Laplace 變換，s是Laplace 變量.定義

因此，系統（1）轉變為如下形式：

注1 系統（2）中的xn+1不是系統的真實變量，而是中間變量，不會對控制器的設計造成影響.

注2 時延應小于系統的響應時間，以免影響系統的穩定性.若輸入信號變化較快，應選擇較小的時延.

注3 由文獻［29-30］可知，采用Pade近似法處理輸入時延時，較大的時延會使系統的響應變慢以及e-τs≈[1-(τs/2)]/[1 +(τs/2)]的誤差增大，致使逼近精確度降低甚至系統不穩定.因此，Pade 近似法只適用于短時延情形，不適用于長時延情形.

1.4 非線性變換函數的構造

為了解決輸出約束問題，構造如下非線性函數：

式 中：p1(t)、p2(t)是連續的正時變函數；Ψd=coth{[p1(t) +yd] [yd-p2(t) ]}.

當x1→-p1或x1→p2時，Ψ→±∞.因此，只要保證Ψ的有界性，輸出x1一定保持在約束范圍內.

對Ψ求導，得

注4 雙曲余切函數cothx=coshx/sinhx和雙曲余割函數cschx=1/sinhx為奇函數，在(-∞，0) 和(0，+∞)內單調遞減.本文設計的狀態變換函數需要滿足：1）狀態變換函數單調遞減；2）當狀態x1分別趨于下邊界-p1和上邊界p2時，p1(t) +x1→0+，x1-p2(t) →0-，狀態變換函數Ψ→±∞.(cothx)'=-csch2x且cothx=±∞，因此將其用于狀態變換函數的設計.

注5 與障礙Lyapunov 函數［20，22-23］解決輸出約束問題相比，文獻［20，22-23］研究的是對稱輸出約束.Meng 等［24］和Tran 等［25］雖然使用轉換技術處理輸出約束問題，但均把輸出約束問題轉化為輸出誤差約束問題.本文設計的非線性變換函數把輸出約束問題轉化為新狀態的有界性問題，而且，此變換函數適用于時變、對稱或非對稱約束的情況.非線性函數式（3）可以選取為文獻［24-25］中的非線性變換函數，但是文獻［24-25］需要將輸出約束問題轉化為輸出誤差約束問題.此外，式（3）可以選取為文獻［31-32］的分式型和雙曲余切型狀態變換函數，本文的狀態變換函數進行求導時計算相對簡單，計算量小一些.

2 有限時間控制策略設計

本節將基于反步法設計控制策略，控制系統框圖如圖1所示.

圖1 控制系統框圖Fig.1 The block diagram of control system

2.1 有限時間濾波器設計

為了避免反步設計的“計算爆炸”問題，設計有限時間濾波器，首先給出如下假設：

假設3 濾波器的輸入信號的導數有界.

設計的有限時間濾波器如下：

式中：υi，ε，qi1，qi2，qi3，qi4為正常數；ξi1為濾波器的輸出；ei=ξi1-αi為濾波誤差.

定理1 在假設3 下，對于以上濾波器，存在δ=[(1-α)/α]＞0，α∈(1，min{[ρ/(ρ+2)，1/2]})，ρδ＞2，使得

式中：ο(ερδ-i+1)代表ξii-的逼近誤差.

證明：構造以下非線性系統.

其中，q1，q2，q3，q4為正常數.

選取Lyapunov函數

對V0求導，可得：

由文獻［9］可知，非線性系統（5）是有限時間穩定的.因為?ψ，φ∈R，|arctanψ-arctanφ| ≤|ψ-φ|，所以

其中，q=max{q1，q2，q3，q4}.由文獻［4］，定理1得證.

注6 文獻［10-12，19］的濾波器只有線性部分或者非線性部分，可能會造成當濾波器狀態靠近平衡點時收斂速度慢，遠離平衡點時收斂速度快.本文設計的有限時間濾波器式（4），同時包含線性部分和非線性部分，可以保證濾波器狀態無論靠近平衡點還是遠離平衡點時都具有較快的收斂速度.

注7 由定理1可知α∈(0，1/2)，ρδ＞2，根據穩定性分析可知，|ei|≤ερδ-i+1lμδ，μ=2c-1Hv，l=[rc(1-θ)-1]＞0，H為利普希茨常數，v=+h2，h1，h2＞0，分別為虛擬控制輸入信號的導數(dαi/dt)，(d2αi/dt2)的上界.當α的取值很小時，δ很大，根據ρδ＞2 可知ρ很小，則v=+h2和μ=2c-1Hv相對很小，因此lμδ很小.此外，選取盡可能小的ε使得濾波誤差中ερδ-i+1更小.因此α，ε的取值越小越好.另外，根據穩定性分析可知，q=max{q1，q2，q3，q4}，其中q1=qi1/υi，q2=qi2/υi，q3=qi3/υi，q4=qi4/υi與H有關，選取較小的qi1，qi2，qi3，qi4以及較大的υi，可以使μ=2c-1Hδ的值相對較小.

2.2 自適應有限時間控制器設計

首先，定義如下誤差變量：

其 中，Ψd=coth{[p1(t) +yd][yd-p2(t) ]}，αi，c=ξi1為有限時間濾波器的輸出.

注8 本文結合Pade 近似法和坐標變換，消除了輸入時延對控制效果的影響.zn=xn-αn-1，c+λ-1gn xn+1和實際控制器u對時延τ和引入的中間變量xn+1進行補償，xn+1在反步設計的最后一步被消除.

為消除濾波誤差ei的影響，引入補償信號ri，定義誤差補償變量hi=zi-ri，i=1，2，…，n.

接下來，將基于反步控制法設計控制器.

Step 1：選取Lyapunov函數為

對V01求導，得

由楊氏不等式，得：

定義θ1=max{1，}，a1，b1，c1，d1＞0.

將式（9）代入式（8），得：

設計虛擬控制輸入和補償信號為：

選取Lyapunov函數為：

對V1求導，得：

基于式（14），設計自適應律為：

結合式（10），將式（11）、式（12）、式（15）代入式（14），得：

Stepi(2 ≤i≤n-1)：選取Lyapunov函數為：

對V0i求導，得：

由楊氏不等式，得：

定 義θi=max{1}，ai，bi，ci＞0.將 式（18）代入式（17），得：

設計虛擬控制輸入和補償信號為：

選取Lyapunov函數為：

對Vi求導，得：

基于式（23），設計自適應律為：

結合式（19），將式（20）、式（21）和式（24）代入式（23），得：

Stepn：選取Lyapunov函數為

對V0n求導，得：

由楊氏不等式，得：

定義θn=max{1}，an，dn＞0.將式（27）代入式（26），得：

設計虛擬控制輸入和補償信號為：

選取Lyapunov函數為：

對Vn求導，得：

基于式（32），設計自適應律為：

結合式（28），將式（29）、式（30）和式（33）代入式（32），得：

3 穩定性分析

閉環系統的穩定性可總結為如下定理：

定理2 對于非線性系統（1），若滿足假設1～假設3，則在控制律式（29），自適應律式（15）、式（24）、式（33）的作用下，閉環系統實際有限時間穩定；輸出滿足約束且輸出誤差在有限時間T內收斂到關于零的任意小鄰域.其中，

t0為系統運行的初始時刻.

證明：基于式（34）、引理2、定理1 和楊氏不等式，可得

其中，|gi(?)| ＜Λi2＞0，mi＞0.

將式（35）～ 式（37）代入式（34），得：

其中，χ=[χi，，ri]，i=1，2，…，n.

令a0=min{a01，a02}；b0=min{b01，b02}；w0=max{w01，w02}，則

由閉環系統的實際有限時間穩定可知，hi，，ri有界，因此z1=h1+r1有界.由yd有界可知Ψd有界，所以Ψ=Ψd+z1有界.從而x1保持在約束范圍內，即-p1(t) ＜x1＜p2(t).

注9 計算穩定時間T涉及的參數有：t0，a0，a，b0，w0，p，其中，t0=0，a0=min{a01，a02}，0 ＜a＜a0，b0=min{b01，b02}，w0=max{w01，w02}，1/2 ＜p＜1.根據穩定性分析中a01，a02，b01，b02，w01，w02的表達式可知，參數k11，kn1，li，σi1，σi2＞0，i=1，2，…，n.另 外，ki1＞ki1＞0.5，i=2，…，n-1；ki2＞1/(2p)，σi1＞σi2p，i=1，2，…，n.結合p的取值范圍進一步可知，ki2＞1，σi1＞σi2.因此，在保證閉環系統穩定性的前提下，可以恰當選取計算有限時間所涉及的參數.

注10 文獻［7-8］未考慮一階濾波器的濾波誤差影響.本文設計補償機制，消除了濾波誤差的影響.

注11 由η的表達式可知，當x1=(p2-p1)/2 時，η=0.采取如下兩種方法解決此問題：1）設系統運行時輸出x1的真實約束為-p01(t) ≤x1≤p02(t)，p01(t)，p02(t) ＞0（可由輸出的參考指令確定大概的范圍），只要(p2-p1)/2 ＜-p01或(p2-p1)/2 ＞p02時，可以保證η≠0，即p2＜p1-2p01且p1＞2p01或者p2＞2p02+p1且p1＞p01；2）當x1=(p2-p1)/2 時，令η=ε0，ε0為遠小于1的正常數.

注12 文獻［25］考慮了約束非線性系統的有限時間控制問題.文獻［27-28］研究了具有輸出約束和輸入時延的非線性系統控制問題.但是二者都將輸出約束轉化為輸出誤差約束問題.本文同時考慮輸出約束和輸入時延，設計只與輸出有關的非線性變換函數，保證輸出滿足約束，并提出有限時間反步控制策略.

注13 根據文獻［33］可知，Pade 近似法適用于時變時延情形.本文中，若考慮時變時延，首先需要假設輸入時延τ及其導數有界，則存在γ＞0，使得|λ-1|＜γ.在控制器的設計過程中，誤差補償機制以及前n-1 步的虛擬控制輸入、自適應律與常數時延情形相同.不同之處在于第n步控制輸入和自適應律中Φn的表達式不同.時變時延時，Φn=類似于常值時延時閉環系統的穩定性分析，可得時變時延下，由引理1 可知，閉環系統是實際有限時間穩定的.

4 仿真分析

為了驗證所設計的有限時間濾波器式（4）和控制策略的有效性，將本文濾波器式（4）與有限時間濾波器［19］以及一階濾波器做對比仿真.然后，將設計的控制策略應用于機械臂系統控制的仿真.

4.1 濾波器的對比仿真

將有限時間濾波器式（4）與一階濾波器［7-8］及有限時間濾波器［19］做對比，選取如下兩種濾波輸入信號：情形1，αi=1；情形2，αi=sint+sin(0.5t).

在相同的初值條件和參數下進行仿真，選取濾波器參數為：υi=0.1，ε=0.01，q11=q12=q13=500，q14=50.圖2、圖3為濾波器的對比結果.

圖2 情形1的對比結果Fig.2 The comparison results of case 1

圖3 情形2的對比結果Fig.3 The comparison results of case 2

如圖2、圖3 所示，本文的有限時間濾波器在兩種情形下，均具有最快的收斂速度和較好的估計精度.具體地，由圖2 可知，情形1 中，一階濾波器的估計誤差在0.19 s 收斂.有限時間濾波器作用下，估計誤差在0.14 s 收斂.而本文的有限時間濾波器式（4）的估計誤差在0.05 s 收斂.由圖3 可知，三種濾波器作用下，本文有限時間濾波器式（4）的估計誤差精度最高.

4.2 機械臂系統應用仿真

為了驗證設計的控制策略的有效性，進行如下的單鏈機械臂系統的仿真：

其中，q、分別代表連桿的角位置、角速度和角加速度，m為連桿質量，L為連桿長度，g=9.8 m/s2為重力加速度，u為連桿的控制扭矩.

考慮輸入時延，令x1=q，x2=，上述系統轉化為：

在相同的初值條件和控制器參數下進行以下兩種情形的對比仿真：

情形1：常值輸入時延τ=0.05 s；

情形2：時變輸入時延τ=[0.015+0.002sin(3t)]s.

仿真中，機械臂參數選取為：M=1 g?m-2，m=2 kg，L=0.1 m 且考慮連桿長度10%的不確定.參考指令yd=[0.28cos(0.5t)]+0.2 m，非對稱輸出約束函數 為p1(t)=[1.1+0.3sin(2t)] m，p2(t)=[0.69 +0.13sint] m.初值選取為：x1(0)=-0.09，x2(0)=0.01，x3(0)=0；(0)=(0)=0.05.濾波器參數選取 為：ε=0.6，ν1=0.36，q11=105，q12=70，q13=0.052，q14=1.45.控制器參數選取為p=0.8，k11=1.52，k12=2.34，k21=0.75，k22=5.35，σ11=2.15，σ12=2.1，σ21=2.5，σ22=2.01，l1=0.01，l2=0.23.結合計算有限時間所涉及的參數可得，a0=0.695，b0=0.006 25.常值時延時，Vn[χ(t0) ]=1.28，w0=52.11；時變時延時，Vn[χ(t0) ]=1.289 3，w0=64.62.令a=0.5 ＜a0，計算可得常值時延時，穩定時間T≤8.6 s；時變時延時，穩定時間T≤9.008 s.

仿真結果如圖4、圖5所示.圖4為輸出和跟蹤誤差的變化曲線，可以看出兩種情形下，輸出在8.6 s和9.008 s 內實現對參考指令yd的跟蹤，且始終保持在約束范圍內，跟蹤誤差收斂到零附近的小鄰域.圖5為狀態x2和誤差z1的變化曲線，由圖5 可知，z1收斂到零附近的小鄰域.圖6 為和u的變化曲線，能夠看出參數估計誤差收斂到零附近的小鄰域.根據以上分析可知，Pade 近似法既適用于常值時延的情形，也適用于時變時延的情形，本文設計的控制策略在兩種情形下均可以實現較好的性能.從仿真結果可以看出，常值時延下跟蹤精度優于時變時延，時變時延下，相比常值時延，控制輸入的變化更慢.

圖4 輸出和跟蹤誤差的變化曲線Fig.4 The curve of output and tracking error

圖5 x2和z1的變化曲線Fig.5 The curve of x2 and z1

圖6 和u的變化曲線Fig.6 The curve of and u

5 結論

本文研究了輸入時延和輸出約束影響下的不確定非線性系統的控制問題.首先構造新的非線性變換函數保證輸出不違反約束，設計了有限時間濾波器解決了“計算爆炸”問題.同時，設計了補償機制消除濾波誤差.基于此，設計了自適應反步有限時間控制策略.接著，利用Lyapunov理論證明了閉環系統的有限時間穩定性.最后，濾波器的對比仿真和機械臂系統的控制仿真體現了濾波器的優越性和控制策略的有效性.Pade 近似法只適用于短時延的情形，因此，未來將討論長時延影響下不確定非線性系統的控制問題.